TSTMG ∼ Variables aléatoires discrètes finies - Loi binomiale Exercice 1 La loi de probabilité d’une variable aléatoire XX est donnée par le tableau ci-dessous :
xix_i 00 11 22 44
P(X=xi)P(X= x_i) 0,350,35 0,200,20 0,200,20
  1. Compléter le tableau.
  2. Calculer l’espérance de XX.
  3. Déterminer P(X2)P(X \leq 2) et P(X>3)P(X > 3).
Exercice 2 Pour un jeu de grattage à 5 €, 15 millions de tickets peuvent être émis par la Française des Jeux. Les différents lots sont répartis ainsi :
Nombre de lots 33 33 55 1010 10001\,000 30003\,000 1250012\,500 375002375\,002 17724961\,772\,496 15000001\,500\,000 1123598111\,235\,981
Gain du lot en € 500000500\,000 100000100\,000 1500015\,000 50005\,000 10001\,000 500500 100100 2020 1010 55 00
Tous les billets sont vendus.
  1. Calculer la recette de la Française des Jeux.
  2. Quelle est la somme totale redistribuée aux joueurs ?
  3. Calculer, à 10310^{-3} près, la probabilité de gagner le montant maximum et la probabilité de ne rien gagner.
  4. On note XX la variable aléatoire égale au gain du joueur. Calculer l’espérance de XX. Interpréter le résultat.
Exercice 3 Une variable aléatoire XX suit la loi binomiale de paramètres 1010 et 0,30,3.
Calculer E(X)E(X) et déterminer, à 10310^{-3} près, à l’aide de la calculatrice :

P(X=5)P(X = 5) ; P(X7)P(X \leq 7) ; P(X<6)P(X < 6) ; P(X4)P(X \geq 4) ; P(X>3)P( X > 3) et P(2X5)P(2 \leq X \leq 5). Exercice 4 Un candidat passe un concours qui comporte un questionnaire à choix multiples noté sur 16. Ce Q.C.M a 8 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a 4 réponses possibles dont une seule est correcte et le candidat répond au hasard. Chaque réponse juste rapporte 2 points.
Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes.
  1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
  2. Quel est le nombre moyen de réponses exactes ?
  3. À l’aide du triangle de Pascal, déterminer tous les coefficients binomiaux pour n=8n = 8.
  4. En utilisant les résultats précédents, calculer, à 10610^{-6} près, les probabilités des évènements :
Exercice 5 Une usine fabrique en grande quantité des puces GPS pour la téléphonie mobile. On admet que 9797 % des pièces produites sont conformes.
On note XX la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 8080 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu’on puisse assimiler tout échantillon de 8080 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.
  1. Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Déterminer l’espérance de XX. Interpréter le résultat.
  3. Calculer, à 10610^{-6} près, les probabilités des évènements suivants :
Exercice 6 On considère le programme Python ci-dessous :
Exécuter
Quelle est la probabilité, à 10310^{-3} près, que la valeur de la variable s à la fin du programme soit comprise entre 4 et 7 inclus ? Exercice 7 Une compagnie aérienne dispose d’un avion de 574574 places. Les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres et la probabilité qu’un passager soit présent à l’embarquement est de 0,950,95.
  1. On suppose dans cette question que la compagnie a vendu exactement 574574 places et on nomme XX la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui embarquent parmi les 574574 possibles.
    1. Quelle loi de probabilité suit XX ? On précisera ses paramètres.
    2. Quelle est l’espérance de XX ? Interpréter le résultat.
    3. La compagnie estime que les bénéfices sont satisfaisants s’il y a plus de 540540 passagers sur un vol.
      Quelle est, à 10310^{-3} près, la probabilité que les bénéfices ne soient pas satisfaisants ?
  2. Pour maximiser les bénéfices, la compagnie décide de vendre sur chaque vol 595595 billets. On note YY la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui embarquent parmi les 595595 possibles.
    Déterminer le risque de surbooking, c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait plus de passagers que de places disponibles.
    On donnera le résultat en pourcentage avec une décimale.
Exercice 8 Dans un aéroport, un groupe de 8080 personnes s'apprêtent à passer un portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,0220,022.
Soit XX la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 8080 personnes de ce groupe.
  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance de XX et interpréter le résultat.
  3. Donner la valeur arrondie à 10310^{-3} de:
  4. Déterminer la valeur du plus petit entier nn tel que P(Xn)0,9P(X \leq n) \geq 0,9.
Exercice 9 Un représentant d’une marque d’automobiles démarche dix clients par jour. On suppose que chaque client lui commande une voiture neuve avec la probabilité de 120\frac{1}{20}. Il est également supposé que la décision d’un client n’a aucun impact sur celles des autres.
On note VV la variable aléatoire modélisant le nombre de voitures vendues par ce représentant lors d'une journée.
  1. Calculer la probabilité, pour le représentant, de vendre un jour choisi au hasard au mois de janvier :
    1. aucune voiture;
    2. exactement trois voitures.
  2. Déterminer P(V1)P(V\geq1) et interpréter le résultat.
  3. Sachant que le représentant touche 200200 euros de commission par voiture vendue, calculer la probabilité qu’il gagne au moins 400400 euros dans une journée.
  4. Combien de voitures, le représentant peut-il espérer vendre dans une journée ? Tous les résultats seront à arrondir à 10310^{-3}.
  5. Que représente le résultat affiché par cet algorithme pour le représentant ?
  6. Quelle caractéristique de la variable aléatoire VV est estimée par l'algorithme suivant ?