TSTMG ∼ Variables aléatoires discrètes finies - Loi binomiale La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :
$x_i$ $0$ $1$ $2$ $4$
$P(X= x_i)$ $0,35$ $0,20$ $0,20$
  1. Compléter le tableau.
  2. Calculer l’espérance de $X$.
  3. Déterminer $P(X \leq 2)$ et $P(X > 3)$.
Pour un jeu de grattage à 5 €, 15 millions de tickets peuvent être émis par la Française des Jeux. Les différents lots sont répartis ainsi :
Nombre de lots $3$ $3$ $5$ $10$ $1\,000$ $3\,000$ $12\,500$ $375\,002$ $1\,772\,496$ $1\,500\,000$ $11\,235\,981$
Gain du lot en € $500\,000$ $100\,000$ $15\,000$ $5\,000$ $1\,000$ $500$ $100$ $20$ $10$ $5$ $0$
Tous les billets sont vendus.
  1. Calculer la recette de la Française des Jeux.
  2. Quelle est la somme totale redistribuée aux joueurs ?
  3. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de gagner le montant maximum et la probabilité de ne rien gagner.
  4. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $10$ et $0,3$.
Calculer $E(X)$ et déterminer, à $10^{-3}$ près, à l’aide de la calculatrice :

$P(X = 5)$ ; $P(X \leq 7)$ ; $P(X < 6)$ ; $P(X \geq 4)$ ; $P( X > 3)$ et $P(2 \leq X \leq 5)$. Un candidat passe un concours qui comporte un questionnaire à choix multiples noté sur 16. Ce Q.C.M a 8 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a 4 réponses possibles dont une seule est correcte et le candidat répond au hasard. Chaque réponse juste rapporte 2 points.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes.
  1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
  2. Quel est le nombre moyen de réponses exactes ?
  3. À l’aide du triangle de Pascal, déterminer tous les coefficients binomiaux pour $n = 8$.
  4. En utilisant les résultats précédents, calculer, à $10^{-6}$ près, les probabilités des évènements :
Une usine fabrique en grande quantité des puces GPS pour la téléphonie mobile. On admet que $97$ % des pièces produites sont conformes.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $80$ pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu’on puisse assimiler tout échantillon de $80$ pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.
  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Déterminer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
  3. Calculer, à $10^{-6}$ près, les probabilités des évènements suivants :
On considère le programme Python ci-dessous : from random import* s = 0 for i in range(0,60): r = randint(1,10) if r == 10 : s = s + 1 print(s) Quelle est la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la valeur de la variable s à la fin du programme soit comprise entre 4 et 7 inclus ? Une compagnie aérienne dispose d’un avion de $574$ places. Les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres et la probabilité qu’un passager soit présent à l’embarquement est de $0,95$.
  1. On suppose dans cette question que la compagnie a vendu exactement $574$ places et on nomme $X$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui embarquent parmi les $574$ possibles.
    1. Quelle loi de probabilité suit $X$ ? On précisera ses paramètres.
    2. Quelle est l’espérance de $X$ ? Interpréter le résultat.
    3. La compagnie estime que les bénéfices sont satisfaisants s’il y a plus de $540$ passagers sur un vol.
      Quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité que les bénéfices ne soient pas satisfaisants ?
  2. Pour maximiser les bénéfices, la compagnie décide de vendre sur chaque vol $595$ billets. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui embarquent parmi les $595$ possibles.
    Déterminer le risque de surbooking, c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait plus de passagers que de places disponibles.
    On donnera le résultat en pourcentage avec une décimale.
Dans un aéroport, un groupe de $80$ personnes s'apprêtent à passer un portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,022$.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.
  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
  3. Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:
  4. Déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leq n) \geq 0,9$.
Un représentant d’une marque d’automobiles démarche dix clients par jour. On suppose que chaque client lui commande une voiture neuve avec la probabilité de $\frac{1}{20}$. Il est également supposé que la décision d’un client n’a aucun impact sur celles des autres.
On note $V$ la variable aléatoire modélisant le nombre de voitures vendues par ce représentant lors d'une journée.
  1. Calculer la probabilité, pour le représentant, de vendre un jour choisi au hasard au mois de janvier :
    1. aucune voiture;
    2. exactement trois voitures.
  2. Déterminer $P(V\geq1)$ et interpréter le résultat.
  3. Sachant que le représentant touche $200$ euros de commission par voiture vendue, calculer la probabilité qu’il gagne au moins $400$ euros dans une journée.
  4. Combien de voitures, le représentant peut-il espérer vendre dans une journée ? Tous les résultats seront à arrondir à $10^{-3}$.
  5. Que représente le résultat affiché par cet algorithme pour le représentant ? from random import* def journee(): nbVoitures = 0 for i in range(0,10): a = randint(1,20) if a == 1: nbVoitures = nbVoitures+1 return 200*nbVoitures somme = 0 for i in range(0,31): somme = somme+journee() print(somme)
  6. Quelle caractéristique de la variable aléatoire $V$ est estimée par l'algorithme suivant ? from random import* def journee(): nbVoitures = 0 for i in range(0,10): a = randint(1,20) if a == 1: nbVoitures = nbVoitures+1 return 200*nbVoitures somme = 0 for i in range(0,31): somme = somme+journee() print(somme/31)