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Dérivation
Définition n°1
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $x$ deux réels de $I$.
Si lorsque $x$ se rapproche de $a$, le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ se rapproche d'un nombre alors la fonction $f$ est dite dérivable en $a$ et : $$f'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a},$$ s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $a$.
Propriété n°1
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. Le nombre dérivée $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$.
2. L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$ est : $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ des nombres réels et $P$ un polynôme de degré au plus $3$.
$f(x)$ $f'(x)$
$c$ (constante) $0$
$x$ $1$
$ax$ $a$
$x^2$ $2x$
$ax^2$ $2ax$
$x^3$ $3x^2$
$ax^3$ $3ax^2$
$ax^2+bx+c$ $2ax+b$
$ax^3+bx^2+cx+d$ $3ax^2+2bx+c$
$\dfrac{1}{x}$ $-\dfrac{1}{x^2}$
$\dfrac{a}{x}$ $-\dfrac{a}{x^2}$
$\dfrac{a}{bx}$ $-\dfrac{a}{bx^2}$
$P(x)+\dfrac{a}{bx}$ $P'(x)-\dfrac{a}{bx^2}$
Propriété n°2
Propriété
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• Si pour tout $x\in I$, $f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$, $f'(x) < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$, $f'(x) = 0$ alors $f$ est constante sur $I$.

🖉 Application 🖉

Ex : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Sol : Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=3x^2 \geq 0$.
La fonction $f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$.

🖉 Lecture graphique 🖉

Pour déterminer graphiquement un nombre dérivé $f'(a)$ il faut calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ en $a$.
Ex : Dans le repère ci-contre est tracée la courbe représentative d'une fonction $f$, ainsi que sa tangente en $1$. Déterminer $f'(1)$.
Sol : Les points $(1\,;0)$ et $(2\,;3)$ sont sur la tangente. Ainsi : $f'(1) = \dfrac{3-0}{2-1}$ $=$ $3$.