Tout cocher/décocher

Définition n°1
Soient $a$, $b$, $c$ des nombres réels tels que $a\neq0$. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ est appelée polnôme du second degré.

La courbe représentative d'un polynôme du second degré dans un repère du plan est une parabole qui « pointe » vers le bas si $a >0$ et qui « pointe » vers le haut si $a <0$.

Propriété n°1
Soit $f$ un polynôme du second degré tel que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ trois réels, $a\neq 0$.

Sommet de la parabole

L'abscisse du sommet de la parabole représentant $f$ dans un repère du plan est $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Sens de variation

Si $a > 0$ :

Si $a < 0$ :

🖉 Expressions algébriques 🖉

Ex : Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2-6x+5$.
1. Montrer que pour tout $x$, $h(x)=(x-1)(x-5)$.
2. Montrer que pour tout $x$, $h(x)=(x-3)^2-4$.
Sol : 1. Pour tout réel $x$ on a :

$(x-1)(x-5)$	$=$	$x^2-5x-x+5$
	$=$	$x^2-6x+5$
	$=$	$h(x)$.

2. Pour tout réel $x$ on a :

$(x-3)^2-4$	$=$	$x^2-2\times3x+3^2-4$
	$=$	$x^2-6x+9-4$
	$=$	$x^2-6x+5$
	$=$	$h(x)$.

🖉 Équations du second degré 🖉

Pour résoudre une équation du second degré, on met tous les termes dans le membre de gauche et on factorise l'expression, puis on applique la régle du produit nul.
À partir de l'énoncé de la fiche précédente.
Ex : Résoudre l'équation $h(x)=0$.
Sol :

$h(x)$	$=$	$0$
$(x-1)(x-5)$	$=$	$0$

Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est :

$x-1$	$=$	$0$
$x$	$=$	$1$

$x-5$	$=$	$0$
$x$	$=$	$5$

L'équation admet donc deux solutions : $1$ et $5$.

🖉 Signe d'un polynôme 🖉

Pour trouver le signe d'un polynôme on dresse son tableau de signe à partir de sa forme factorisée.
À partir de l'énoncé de la fiche "Expressions algébriques".
Ex : Résoudre l'inéquation $h(x) \geq 0$.
Sol : On utilise l'expression $h(x)=(x-1)(x-5)$.
Valeurs charnières

$x-1$	$=$	$0$
$x$	$=$	$1$

$x-5$	$=$	$0$
$x$	$=$	$5$

Tableau de signes

Solutions :
Les solutions de l'inéquation $h(x)\geq0$ sont tous les nombres de : $$]-\infty\,;1]\cup [5\,;+\infty[.$$

🖉 Maximum / Minimun 🖉

Dans $f(x)=ax^2+bx+c$ :
• Si $a > 0$, la fonction $f$ présente un minimum atteint en $x=-\dfrac{b}{2a}$.

• Si $a < 0$, la fonction $f$ présente un maximum atteint en $x=-\dfrac{b}{2a}$.

cf. fiche "Sens de variation"
Ex : Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+3x-7$. Déterminer la valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Sol : La fonction $f$ est un polynôme du second de degré qui présente un maximum ( $-2 <0 $ ), qui est atteint en $x=-\dfrac{3}{2\times(-2)}$ $=$ $\dfrac{3}{4}$.

Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc :

$f\left( \dfrac{3}{4} \right)$ $=$ $-2\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+3\times\dfrac{3}{4}-7$ $=$ $-\dfrac{47}{8}$ $= -5,875$.

Propriété n°2
Soit $a$ un nombre réel. L'équation $x^2= a$ :
• n'admet aucune solution si $a < 0$.
• admet une unique solution si $a=0$ qui est $x=0$.
• admet deux solutions distinctes si $a >0 $ :

$x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$.

Ex : Résoudre l'équation $x^2=5$.
Sol : L'équation $x^2=5$ admet deux solutions : $x=-\sqrt{5}$ et $x=\sqrt{5}$.

Ex : Résoudre l'équation $x^2=-5$.
Sol : L'équation $x^2=-5$ n'admet aucune solution car $-5 <0$.

Propriété n°3
Soit $a$ un nombre réel. L'équation $x^3= a$ admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de $a$ et que l'on note $\sqrt[3]{a}$.

Ex : Résoudre l'équation $x^3=-8$.
Sol : L'équation $x^3=-8$ admet une unique solution : $x=\sqrt[3]{-8}$ $=$ $-2$ .

Ex : Résoudre l'équation $x^3=5$.
Sol : L'équation $x^3=5$ admet une unique solution $x=\sqrt[3]{5}$.