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Polynômes
Définition n°1
Soient aa, bb, cc des nombres réels tels que a≠0a\neq0. La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c est appelée polnôme du second degré.
La courbe représentative d'un polynôme du second degré dans un repère du plan est une parabole qui « pointe » vers le bas si a>0a >0 et qui « pointe » vers le haut si a<0a <0.
1234−1−212345−1−2
a > 0
a < 0
Propriété n°1
Soit ff un polynôme du second degré tel que pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec aa, bb et cc trois réels, a≠0a\neq 0.
Sommet de la parabole
L'abscisse du sommet de la parabole représentant ff dans un repère du plan est x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}.
Sens de variation
Si a>0a > 0 :
xx
f(x)f(x)
−∞-\infty
+∞+\infty
−b2a-\frac{b}{2a}
Si a<0a < 0 :
xx
f(x)f(x)
−∞-\infty
+∞+\infty
−b2a-\frac{b}{2a}

🖉 Expressions algébriques 🖉

Ex : Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=x2−6x+5h(x)=x^2-6x+5.
1. Montrer que pour tout xx, h(x)=(x−1)(x−5)h(x)=(x-1)(x-5).
2. Montrer que pour tout xx, h(x)=(x−3)2−4h(x)=(x-3)^2-4.
Sol : 1. Pour tout réel xx on a :
(x−1)(x−5)(x-1)(x-5) == x2−5x−x+5x^2-5x-x+5
== x2−6x+5x^2-6x+5
== h(x)h(x).

2. Pour tout réel xx on a :
(x−3)2−4(x-3)^2-4 == x2−2×3x+32−4x^2-2\times3x+3^2-4
== x2−6x+9−4x^2-6x+9-4
== x2−6x+5x^2-6x+5
== h(x)h(x).

🖉 Équations du second degré 🖉

Pour résoudre une équation du second degré, on met tous les termes dans le membre de gauche et on factorise l'expression, puis on applique la régle du produit nul.
À partir de l'énoncé de la fiche précédente.
Ex : Résoudre l'équation h(x)=0h(x)=0.
Sol :
h(x)h(x) == 00
(x−1)(x−5)(x-1)(x-5) == 00
Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est :
x−1x-1 == 00
xx == 11

x−5x-5 == 00
xx == 55
L'équation admet donc deux solutions : 11 et 55.

🖉 Signe d'un polynôme 🖉

Pour trouver le signe d'un polynôme on dresse son tableau de signe à partir de sa forme factorisée.
À partir de l'énoncé de la fiche "Expressions algébriques".
Ex : Résoudre l'inéquation h(x)≥0h(x) \geq 0.
Sol : On utilise l'expression h(x)=(x−1)(x−5)h(x)=(x-1)(x-5).
Valeurs charnières
x−1x-1 == 00
xx == 11

x−5x-5 == 00
xx == 55
Tableau de signes
xx
x−1x-1
x−5x-5
h(x)h(x)
−∞-\infty
+∞+\infty
11
55
00
00
00
00
−-
−-
−-
−-
++
++
++
++
++
Solutions :
Les solutions de l'inéquation h(x)≥0h(x)\geq0 sont tous les nombres de : ]−∞;1]∪[5;+∞[.]-\infty\,;1]\cup [5\,;+\infty[.

🖉 Maximum / Minimun 🖉

Dans f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c :
• Si a>0a > 0, la fonction ff présente un minimum atteint en x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}.

• Si a<0a < 0, la fonction ff présente un maximum atteint en x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}.

cf. fiche "Sens de variation"
Ex : Soit ff la fonction définie pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} par f(x)=−2x2+3x−7f(x)=-2x^2+3x-7. Déterminer la valeur maximale de ff sur R\mathbb{R}.
Sol : La fonction ff est un polynôme du second de degré qui présente un maximum ( −2<0-2 <0 ), qui est atteint en x=−32×(−2)x=-\dfrac{3}{2\times(-2)} == 34\dfrac{3}{4}.

Le maximum de ff sur R\mathbb{R} est donc :

f(34)f\left( \dfrac{3}{4} \right) == −2×(34)2+3×34−7-2\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+3\times\dfrac{3}{4}-7 == −478-\dfrac{47}{8} =−5,875= -5,875.
Propriété n°2
Soit aa un nombre réel. L'équation x2=ax^2= a :
• n'admet aucune solution si a<0a < 0.
• admet une unique solution si a=0a=0 qui est x=0x=0.
• admet deux solutions distinctes si a>0a >0 :
x=−ax=-\sqrt{a} et x=ax=\sqrt{a}.
Ex : Résoudre l'équation x2=5x^2=5.
Sol : L'équation x2=5x^2=5 admet deux solutions : x=−5x=-\sqrt{5} et x=5x=\sqrt{5}.

Ex : Résoudre l'équation x2=−5x^2=-5.
Sol : L'équation x2=−5x^2=-5 n'admet aucune solution car −5<0-5 <0.
Propriété n°3
Soit aa un nombre réel. L'équation x3=ax^3= a admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de aa et que l'on note a3\sqrt[3]{a}.
Ex : Résoudre l'équation x3=−8x^3=-8.
Sol : L'équation x3=−8x^3=-8 admet une unique solution : x=−83x=\sqrt[3]{-8} == −2-2 .

Ex : Résoudre l'équation x3=5x^3=5.
Sol : L'équation x3=5x^3=5 admet une unique solution x=53x=\sqrt[3]{5}.