🖉 Union / Intersection / Contraire 🖉
$A$ et $B$ sont deux évènements d'un univers probabilisé.
Intersection
$A\cap B$ est l'évènement constitué de toutes les issues favorables à $A$ et $B$.
Union / Réunion
$A\cup B$ est l'évènement constitué de toutes les issues favorables à $A$ et/ou $B$.
Évènement contraire
$\overline{A}$ est l'évènement constitué de toutes les issues défavorables à $A$.
Formules
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
$$P(\overline{A})=1-P(A).$$
$$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).$$
Ex : Le tableau suivant donne la répartition dans une entreprise des salariés en fonction de leur sexe ($F$ ou $H$) et du fait qu'ils sont fumeurs ou non ($C$ ou $\overline{C}$). Déterminer $P_{C}(H)$.
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$F$ |
$H$ |
Total |
| $C$ |
30 |
35 |
65 |
| $\overline{C}$ |
90 |
45 |
135 |
| Total |
120 |
80 |
200 |
Sol :
$P(C)=\dfrac{65}{200}$ et $P(H\cap C)$ $=$ $\dfrac{35}{200}$.
Ainsi :
$P_C(H)$ $=$ $\dfrac{P(H\cap C)}{P(C)}$ $=$ $\dfrac{\frac{35}{200}}{\frac{65}{200}}$ $=$ $\dfrac{35}{65}$ $=$ $\dfrac{7}{13}$.
🖉 Dans un arbre 🖉
En lisant l'arbre on a :
$P(R)=0,4$
3 $P(\overline{R})=0,6$
$P_R(J)=0,25$
3 $P_R(\overline{J})=0,75$
$P_{\overline{R}}(J)=0,3$
3 $P_{\overline{R}}(\overline{J})=0,7$
En utilisant l'arbre on obtient :
$P(R\cap J)$ $=$ $0,4\times0,25$ $=$ $0,1$
$P(R\cap \overline{J})$ $=$ $0,4\times0,75$ $=$ $0,3$
$P(\overline{R}\cap J)$ $=$ $0,6\times0,3$ $=$ $0,18$
$P(\overline{R}\cap \overline{J})$ $=$ $0,6\times0,7$ $=$ $0,42$
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$P(J)$
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$=$
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$P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)$
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$=$
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$0,1+0,18$
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$=$
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$0,28$.
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$P_J(R)=\dfrac{P(R\cap J)}{P(J)}$ $=$ $\dfrac{0,1}{0,28}$ $\approx$ $0,357\,1$.