Tout cocher/décocher

🖉 Calculer un terme 🖉

Suite définie par une formule explicite

Ex : Soit $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=45\times(0,6)^n$. Caculer $u_{8}$.
Sol : On remplace $n$ par $8$ dans la formule. $u_8 = 45\times(0,6)^8$ $\approx$ $0,756$.

Suite définie par récurrence

Ex : Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=0,1u_n+1$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
Sol :
$u_1=0,1u_0+1$ $=$ $0,1\times5+1$ $=$ $1,5$.
$u_2=0,1u_1+1$ $=$ $0,1\times1,5+1$ $=$ $1,15$.
$u_3=0,1u_2+1$ $=$ $0,1\times1,15+1$ $=$ $1,115$.

Définition n°1
• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout entier $n$ : $u_{n+1}-u_n \geq 0$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout entier $n$ : $u_{n+1}-u_n \leq 0$.

Ex : Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=10n+3$. Déterminer son sens de variation.
Sol :

$u_{n+1}-u_n$	$=$	$10(n+1)+3-(10n+3)$
	$=$	$10n+10+3-10n-3$
	$=$	$10$ $>$ $0$.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

🖉 Nuage de points 🖉

Ex : Construire le nuage de points associé au $5$ premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=1,05u_n$.
Sol : On calcule tout d'abord $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
$u_1=1,05\times4$ $=$ $4,2$ ; $u_2=4,41$ ; $u_3\approx 4,63$ ; $u_4 \approx 4,86 $.
Dans un repère on place ensuite les points de coordoonées $(0;\,u_0)$, $(1;\,u_1)$, $(2;\,u_2)$, $(3;\,u_3)$ et $(4;\,u_4)$.

Définition n°2
Une suite est dite arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison (noté $r$ en général). $$u_{n+1}=u_n+r.$$

Propriété n°1
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
• Si $r > 0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si $r < 0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si $r = 0$ alors $(u_n)$ est constante.

Propriété n°2
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. Pour tout entier $n$ :
$$u_{n} = u_0+nr$$ ou encore $$u_n = u_1+(n-1)r.$$

Propriété n°3
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par : $$S= \text{nombre de termes} \times \dfrac{ \text{premier terme}+\text{dernier terme} }{2}.$$

Définition n°3
Une suite est dite géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison (noté $q$ en général) : $u_{n+1}=u_n\times q.$

Propriété n°4
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 > 0$.
• Si $q > 1$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si $ 0 \leq q < 1$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si $q = 1$ alors $(u_n)$ est constante.

Propriété n°5
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Pour tout entier $n$ :
$$u_{n} = u_0\times q^n$$ ou encore $$u_n = u_1 \times q^{n-1}.$$

Propriété n°6
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par : $$S= \text{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}} }{1-q}.$$

⌨ Algorithme ⌨

Calculer un terme

Ex : Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=250$ et $u_{n+1} = 0,9u_n+10$. L'algorithme ci-dessous permet de calculer et d'afficher $u_8$ et $u_{10}$.

def u(n):
    u = 250
    for i in range(1,n+1):
        u = 0.9*u+10
    return u
    
print( u(8) )
print( u(10) )

⌨ Algorithme ⌨

Déterminer le premier terme vérifiant une condition

Ex : Soit $(u_n)$ la suite définie par $v_0=100$ et $v_{n+1} = 1,05v_n+25$. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer le premier terme de la suite supérieur ou égal à $5\,000$ et affiche son rang.

v = 100
while v < 5000:
    n = n+1
    v = 1.05*v+25

print(n)

🖉 Suites arithmético-géométriques 🖉

Ex : Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=3u_n+2$. La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier $n$ par $v_n=u_n+1$.

Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
Exprimer alors $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

Sol :

Pour tout entier $n$ :

$v_{n+1}$	$=$	$u_{n+1}+1$
	$=$	$3u_n+2+1$
	$=$	$3u_n+3$
	$=$	$3(u_n+1)$
	$=$	$3v_n$.

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $3$.

$v_0$ $=$ $u_0+1$ $=$ $2+1$ $=$ $3$.
On a alors :
$v_n=v_0\times3^n$ et donc $v_n=3\times3^n$ $=$ $3^{n+1}$.
De plus :
$v_n=u_n+1$ donc $u_n=v_n-1$.
Ainsi : $u_n=3^{n+1}+1$.