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Variables aléatoires
Définition n°1
Soit Ω\Omega un univers associé à une expérience aléatoire.

• On appelle variable aléatoire XX toute fonction définie sur Ω\Omega et à valeurs dans R\mathbb{R}.

• On note x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n les valeurs prises par XX.
On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire XX la fonction qui à chaque xix_i associe le nombre P(X=xi)P(X=x_i).
On peut résumer cela dans un tableau :
xix_i x1x_1 x2x_2 ⋯\cdots xnx_n
P(X=xi)P(X=x_i) p1p_1 p2p_2 ⋯\cdots pnp_n
On a : ∑i=0nP(X=xi)=1\displaystyle{\sum_{i=0}^nP(X=x_i)=1}.
Définition n°2
Soit nn un entier naturel non nul.
Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs xix_i, pour 0≤i≤n0\leq i\leq n, et soient pi∈[0;1]p_i\in[0;1] les probabilités associées à ces événements.
L'espérance de la variable aléatoire XX, notée E(X)E(X), est la moyenne des valeurs xix_i pondérées par leurs probabilités xix_i. E(X)=x1×p1+x2×p2+⋯xn×pnE(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots x_n\times p_n ou encore E(X)=∑i=0nxi×pi.E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.
Définition n°3
Soit pp un nombre réel de l'intervalle [0;1][0;1].
Une épreuve de Bernoulli de paramètre pp est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée "succès", et a pour probabilité pp, et l'autre appelée "échec" et a pour probabilité 1−p1-p.

🖉 Évènements {X=a}\{X=a\}, {X≤a}\{X\leq a\} 🖉

Ex : Une pièce de monnaie déséquilibrée est telle que la probabilité d'obtenir pile vaut P(F)=0,1P(F)=0,1. On la lance trois fois et on s'intéresse à la variable aléatoire XX qui compte le nombre de piles obtenu.
1- Construire un arbre de probabilité illustrant la situation.
2- Dresser un tableau donnant la loi de probabilité de XX.
3- Donner l'espérance de XX.
4- Déterminer P(X≤1)P(X\leq 1) et P(X>1)P(X > 1).
Sol :1-
F
F
F
F
F
F
F
P
P
P
P
P
P
P
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
2- P(X=0)P(X=0) == 0,9×0,9×0,90,9\times0,9\times0,9 == 0,7290,729.
P(X=1)=0,1×0,92+0,9×0,1×0,9P(X=1)=0,1\times0,9^2+0,9\times0,1\times0,9 ++ 0,92×0,10,9^2\times0,1 == 0,2430,243.
P(X=2)=3×0,12×0,9P(X=2)=3\times0,1^2\times0,9 == 0,0270,027.
P(X=3)=0,13P(X=3)=0,1^3 == 0,0010,001.
ii 00 11 22 33
P(X=i)P(X=i) 0,7290,729 0,2430,243 0,0270,027 0,0010,001
3- E(X)=0×0,729+1×0,243+2×0,027+E(X)=0\times0,729+1\times0,243+2\times0,027+ 3×0,013\times0,01 == 0,30,3.
4- P(X≤1)P(X\leq1) == P(X=0)+P(X=1)P(X=0)+P(X=1) == 0,729+0,2430,729+0,243 == 0,9720,972. == 0,9720,972.
P(X>1)P(X>1) == P(X=2)+P(X=3)P(X=2)+P(X=3) == 0,027+0,0010,027+0,001 == 0,0280,028
ou P(X>1)P(X>1) == 1−P(X≤1)1-P(X\leq 1) == 1−0,9721-0,972 == 0,0280,028