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Variables aléatoires
Définition n°1
Soit $\Omega$ un univers associé à une expérience aléatoire.

• On appelle variable aléatoire $X$ toute fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.

• On note $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ les valeurs prises par $X$.
On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ la fonction qui à chaque $x_i$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
On peut résumer cela dans un tableau :
$x_i$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_n$
$P(X=x_i)$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_n$
On a : $\displaystyle{\sum_{i=0}^nP(X=x_i)=1}$.
Définition n°2
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$, pour $0\leq i\leq n$, et soient $p_i\in[0;1]$ les probabilités associées à ces événements.
L'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs $x_i$ pondérées par leurs probabilités $x_i$. $$E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots x_n\times p_n$$ ou encore $$E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.$$
Définition n°3
Soit $p$ un nombre réel de l'intervalle $[0;1]$.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée "succès", et a pour probabilité $p$, et l'autre appelée "échec" et a pour probabilité $1-p$.

🖉 Évènements $\{X=a\}$, $\{X\leq a\}$ 🖉

Ex : Une pièce de monnaie déséquilibrée est telle que la probabilité d'obtenir pile vaut $P(F)=0,1$. On la lance trois fois et on s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de piles obtenu.
1- Construire un arbre de probabilité illustrant la situation.
2- Dresser un tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
3- Donner l'espérance de $X$.
4- Déterminer $P(X\leq 1)$ et $P(X > 1)$.
Sol :1-
2- $P(X=0)$ $=$ $0,9\times0,9\times0,9$ $=$ $0,729$.
$P(X=1)=0,1\times0,9^2+0,9\times0,1\times0,9$ $+$ $0,9^2\times0,1$ $=$ $0,243$.
$P(X=2)=3\times0,1^2\times0,9$ $=$ $0,027$.
$P(X=3)=0,1^3$ $=$ $0,001$.
$i$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=i)$ $0,729$ $0,243$ $0,027$ $0,001$
3- $E(X)=0\times0,729+1\times0,243+2\times0,027+$ $3\times0,01$ $=$ $0,3$.
4- $P(X\leq1)$ $=$ $P(X=0)+P(X=1)$ $=$ $0,729+0,243$ $=$ $0,972$. $=$ $0,972$.
$P(X>1)$ $=$ $P(X=2)+P(X=3)$ $=$ $0,027+0,001$ $=$ $0,028$
ou $P(X>1)$ $=$ $1-P(X\leq 1)$ $=$ $1-0,972$ $=$ $0,028$