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TSTMG ∼ Fonction exponentielle de base aa 1Introduction Soit (un)(u_n) la suite géométrique de premier terme u0=1u_0=1 et de raison q=1,2q=1,2.
Pour tout entier nn, on a : unu_n == 1,2n1,2^n.
nn
1,2n1,2^n
Saisir une valeur pour nn et valdier pour visualiser la construction du nuage de points (n;1,2n)(n\,; 1,2^n).
123456−1−2−3−4123456−1

On remarque qu’une courbe
« lisse »
peut passer par tous les points de ce nuage, et qu’elle représente alors une
fonction
continue
et
dérivable.

La formule un=1,2nu_n = 1,2^n est alors prolongée par celle de la fonction ff définie sur
R\mathbb{R},
par
f(x)=1,2xf (x) = 1,2^x.

La courbe de cette fonction (en bleu) passe parfaitement par les points du nuage précédent.
0 0
2Fonctions exponentielles Definition 1
Soit aa un nombre réel strictement positif. On admet
qu'il existe
une fonction ff, definie sur
R\mathbb{R},
prolongeant la suite geometrique
(an)\left(a^{n}\right).

Pour tout reel x,x, on a :
f(x) f(x)
==
axa^{x}.

Cette fonction s'appelle
fonction exponentielle de base aa.
 Property 1
• Si
0<a<10 < a < 1,
la fonction
x↦axx\mapsto a^x
est
strictement
décroissante
sur R\mathbb{R}.


• Si
a>1a > 1,
la fonction
x↦axx\mapsto a^x
est
strictement
croissante
sur R\mathbb{R}.


• Si
a=1a = 1,
la fonction
x↦axx\mapsto a^x
est
constante
sur R\mathbb{R},
égale à 11.
123456−1−2−3−4123456−1
0 < a < 1
a >1
a=1
123456−1−2−3−4123456−1
1.00
f(x) = 1x
Exemple 1 La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)f(x) == 0,99x0,99^x est
strictement décroissante
sur R\mathbb{R}.
0 0
Property 2
Soient aa un nombre réel strictement positif et k un nombre réel non nul. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=k×axf(x)=k\times a^x.

• Si
k>0k > 0,
alors la fonction ff a
le même sens de variation
que la fonction
x↦axx\mapsto a^x.

• Si
k<0k < 0,
alors la fonction ff a
le sens de variation contraire
de la fonction
x↦axx\mapsto a^x.
 Exemple 2 • La fonction gg définie sur R\mathbb{R} par : g(x)=−1×0,8xg(x)=-1\times0,8^x est
strictement croissante
sur R\mathbb{R}.

• La fonction hh définie sur R\mathbb{R} par : h(t)=2,5×1,01th(t)=2,5\times1,01^t est
strictement croissante
sur R\mathbb{R}.
0 0
Property 3
Soient aa et bb des réels strictement positifs, et xx et yy des nombres réels.
•
a0a^0
==
11
 •
a1a^1
==
aa
 •
a−xa^{-x}
==
1ax\dfrac{1}{a^x}
 •
ax×aya^x\times a^y
==
ax+ya^{x+y}
 •
(ax)y(a^x)^y
==
ax×ya^{x\times y}
 •
(ab)x(ab)^x
==
ax×bxa^x\times b^x
 •
(ab)x\left( \dfrac{a}{b} \right)^x
==
axbx\dfrac{a^x}{b^x}
 •
axay\dfrac{a^x}{a^y}
==
ax−ya^{x-y}
0 0
Definition 2 -- Racine nn-ième
Soient aa et bb des réels positifs et nn un entier naturel non nul.
Si
ana^n == bb,
alors aa est
la racine nn-ième
de bb et on note :
a=bna=\sqrt[n]{b}.
 Property 4
Soient xx un nombre réel positif et nn un entier naturel non nul.
On a a :
xn\sqrt[n]{x}
==
x1nx^{\frac{1}{n}}.
 Exemple 3 Sur [0;+∞[[0\,;+\infty[, l'équation x5=3x^5=3 a pour solution :
xx
==
35\sqrt[5]{3}
==
3153^{\frac{1}{5}}.
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