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TSTMG ∼ Fonction exponentielle de base $a$ Introduction Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=1,2$.
Pour tout entier $n$, on a : $u_n$ $=$ $1,2^n$.
$n$
$1,2^n$
Saisir une valeur pour $n$ et valdier pour visualiser la construction du nuage de points $(n\,; 1,2^n)$.

On remarque qu’une courbe « lisse » peut passer par tous les points de ce nuage, et qu’elle représente alors une fonction continue et dérivable.
La formule $u_n = 1,2^n$ est alors prolongée par celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, par $f (x) = 1,2^x$.
La courbe de cette fonction (en bleu) passe parfaitement par les points du nuage précédent.
Fonctions exponentielles
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On admet qu'il existe une fonction $f$, definie sur $\mathbb{R}$, prolongeant la suite geometrique $\left(a^{n}\right)$.
Pour tout reel $x,$ on a : $ f(x)$ $=$ $a^{x}$.
Cette fonction s'appelle fonction exponentielle de base $a$.
• Si $0 < a < 1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

• Si $a > 1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Si $a = 1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est constante sur $\mathbb{R}$, égale à $1$.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)$ $=$ $0,99^x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Soient $a$ un nombre réel strictement positif et k un nombre réel non nul. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=k\times a^x$.
• Si $k > 0$, alors la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $x\mapsto a^x$.
• Si $k < 0$, alors la fonction $f$ a le sens de variation contraire de la fonction $x\mapsto a^x$. • La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=-1\times0,8^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(t)=2,5\times1,01^t$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Soient $a$ et $b$ des réels strictement positifs, et $x$ et $y$ des nombres réels.
• $a^0$ $=$ $1$ • $a^1$ $=$ $a$ • $a^{-x}$ $=$ $\dfrac{1}{a^x}$ • $a^x\times a^y$ $=$ $a^{x+y}$ • $(a^x)^y$ $=$ $a^{x\times y}$ • $(ab)^x$ $=$ $a^x\times b^x$ • $\left( \dfrac{a}{b} \right)^x$ $=$ $\dfrac{a^x}{b^x}$ • $\dfrac{a^x}{a^y}$ $=$ $a^{x-y}$
-- Racine $n$-ième
Soient $a$ et $b$ des réels positifs et $n$ un entier naturel non nul.
Si $a^n$ $=$ $b$, alors $a$ est la racine $n$-ième de $b$ et on note : $a=\sqrt[n]{b}$.
Soient $x$ un nombre réel positif et $n$ un entier naturel non nul.
On a a : $\sqrt[n]{x}$ $=$ $x^{\frac{1}{n}}$. Sur $[0\,;+\infty[$, l'équation $x^5=3$ a pour solution : $x$ $=$ $\sqrt[5]{3}$ $=$ $3^{\frac{1}{5}}$.