La Cartographie
Construire une carte revient à représenter les points d’une sphère à plat sur un plan. Il existe de
nombreuses façon de procéder mais aucune des méthodes ne pourra se faire sans déformation
Oronce Fine137Oronce Fine (1494-1555)
1. La Quadrature du cercle
On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $E$ et de rayon $1$ dont $[AC]$ et $[BD]$ sont deux diamètres perpendiculaires.
Soit $G$ le point d'intersection entre la bissectrice de $\widehat{AED}$ et le cercle $\mathcal{C}$.
On construit sur le segment $[AG]$ le point $H$ tel que ce dernier divise $AG$ en « moyenne et extrême raison » , c'est-à-dire tel que :
$$\dfrac{AG}{HG}=\dfrac{HG}{AH}=\phi,$$
avec $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ le fameux nombre d'or.
La parallèle à $(BD)$ passant par $H$ coupe $(AC)$ en $K$.
Oronce Fine affirme alors que la longueur $EK$ est égale au demi-côté du carré équivalent au cercle, à savoir que $EK=\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}$.
Effectuons alors des calculs pour déterminer la valeur de $EK$.
Dans le triangle isocèle $AEG$ on a $\widehat{AEG} = \dfrac{\pi}{4}$ et $\widehat{EAG} = \widehat{EGA} = \dfrac{3\pi}{8}$.
D'après la formule d'Al-Kashi on obtient :
$AG^2=AE^2+EG^2-2AE\times EG\times \cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right)$ $=$ $1+1-2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $2-\sqrt{2}$.
Ainsi, $AG=\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
D'après les relations $\dfrac{AG}{HG}=\dfrac{HG}{AH}=\phi$, on a :
$HG=\dfrac{AG}{\phi}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\phi}$,
et $AH=\dfrac{HG}{\phi}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\phi^2}$.
On se place maintenant dans le triangle rectangle $AKH$ où $\widehat{KAH} =\dfrac{3\pi}{8}$, et on obtient :
$AK=AH\times\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\phi^2}\times\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ $=$ $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2\phi^2}$.
On a alors :
$EK=1-AK$ $=$ $1-\dfrac{2-\sqrt{2}}{2\phi^2}$.
En utilisant une valeur approchée de $\phi$ ceci nous donne $EK\approx 0,888\,125$.
Or, $2Ek=\sqrt{\pi}$ d'après Oronce Fine, ce qui donnerai $\pi=4EK^2 \approx 3,155$.
2. Les Cartes D'Oronce Fine
XVIe siècle : représentation cartographique de la Terre en forme de cœur : Cartographie cordiforme.
L’Asie et L’Amérique sont collées, et on peut y voir la représentation d’un continent au Pôle Sud nommé « Terra Australis ».
La Terre Australe Inconnue est un continent imaginaire et non encore découvert qui est une grande masse continentale présente au Sud, qui ferait un contrepoids à la masse continentale présente au nord.
3. La renovation des Mathématiques en France
En 1531, Oronce Fine écrit un poème destiné à François 1er, ayant pour but de l’inciter à revaloriser et renouveler les mathématiques.
Ce fut un succès puisque grâce à lui, François 1er crée au Collège de France une « chaire » (une sorte de matière/cours) de mathématiques enseignée par O.Fine
Oronce Fine crée aussi des ouvrages mathématiques. Il écrit « Protomathesis » en 1532. C’est un condensé de connaissances et bases mathématiques vulgarisées et organisées.
Gérard Mercator
1. Longitiude et Latitude
2. Les Projections
Projection : représenter une surface non plane sur une surface plane d'une carte
Il existe plusieurs types de projections
3. La projection de Mercator
Problème des navigateurs
1569 : Mercator resout le problème et fournit une carte qui repond au exigence des navigateurs
On sait pas exactement comment il l'a fait mais on peut reconstituer.