Blaise Pascal
1. Biographie Né à Clermont-Ferrand, en Auvergne, Blaise Pascal perdit sa mère, Antoinette Bégon, lorsqu'il avait trois ans. Son père, Étienne Pascal, très intéressé par les mathématiques et les sciences, était juge et membre de la petite noblesse.

En 1631, Étienne déménagea avec ses enfants à Paris : profondément religieux, il éduque lui-même son fils qui montre une intelligence extraordinaire. En effet, très tôt, Blaise se révèle très doué pour les mathématiques et les sciences, peut-être aidé par les conversations fréquentes de son père avec des savants de l’époque (Roberval, Marin Mersenne, René Descartes).

À 11 ans, Pascal avait déjà écrit un livre sur la physique des sons et des corps vibrants . Son père voulait qu'il étudie d'abord le latin et le grec ancien. À 16 ans, il écrit un traité sur les sections coniques : son travail a été en partie perdu, mais il en reste un résultat qu'on appelle le théorème de Pascal. Descartes, voyant le manuscrit, crut qu’il avait été écrit par le père de Pascal.En 1639, la famille s’installe à Rouen, où Étienne devient commissaire délégué par le Roi pour l'impôt et la levée des tailles.

À 18 ans (1641), Pascal construit la Pascaline, une machine à calculer mécanique capable d’effectuer des additions et des soustractions, afin d’aider son père dans son travail. Il en existe encore quelques exemplaires, exposés au musée des Arts et Métiers à Paris et au muséum d'histoire naturelle Henri-Lecoq de Clermont-Ferrand.

Il s'occupa ensuite d'expériences sur l'air et le vide (de 1646 à 1654), domaine où Torricelli avait déjà fait des découvertes. Il prouva l'existence du vide et de la pression de l'air (pression atmosphérique), et expliqua comment s'équilibrent les pressions des liquides ou des gaz.

À la fin de 1654, il abandonne les mathématiques et la physique et se consacre à la réflexion philosophique et religieuse. Ses deux livres les plus connus, Les Provinciales et les Pensées ont été écrits pendant cette période.

En 1659, Pascal tombe gravement malade. Son mode de vie se fait plus en plus austère. Il refuse même les médicaments prescrits par ses médecins en disant : « La maladie est l'état naturel du chrétien ». Il se tourne vers la religion janséniste, malgré son interdiction en 1661 par Louis XIV. En 1662, sa maladie se fait de plus en plus violente et il meurt à Paris le 19 août. Il est enterré dans l'église Saint-Étienne-du-Mont. 2. Pascal et les Mathématiques 2.1 Raisonnement par récurrence Pascal est le premier à avoir énoncé le principe du raisonnement par récurrence Voici ce que dit Pascal à la page 7 de son Traité du triangle arithmétique de 1654, à propos de la formule que nous notons maintenant $$ {n \choose k} = {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}, $$ qu’il démontre par récurrence sur n:

« Quoi que cette proposition ait une infinité de cas, j’en donnerai une démonstration bien courte, en supposant deux lemmes.
Le 1. qui est évident de soi-même, que cette proportion se rencontre dans la seconde base […].
Le 2. que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la base suivante.
D’où il se voit, qu’elle est nécessairement dans toutes les bases : car, elle est dans la seconde base par le premier lemme, donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la quatrième, et à l’infini.»
Il faut donc seulement démontrer le second lemme […]
On voit clairement ici le progrès réalisé. Au langage près, on est bien en présence d’une récurrence telle que nous la pratiquons : l’initialisation par le lemme 1 (ici on commence à n=2 ), puis par le lemme 2 passage d’un terme au suivant, indéfiniment répété (hérédité).

2.2 Problème des partis Le problème des partis joue un rôle fondamental dans l'histoire du calcul des probabilités.
Ce problème a été posé à Pascal par le chevalier de Méré. Pascal, dans sa correspondance avec Fermat (1654), le présente ainsi: Ariane et Bernard jouent à un jeu qui consiste en plusieurs parties de « pile ou face ». Chaque partie rapporte 1 point à celui qui la gagne. Le premier qui a 3 points est le vainqueur du jeu et il gagne 64 euros (cette somme s’appelle la « mise »). Mais Ariane et Bernard sont obligés de s’arrêter avant d’avoir pu terminer le jeu. Quand ils s’arrêtent, Ariane a gagné deux parties (elle a donc 2 points) et Bernard une partie (il a donc 1 point). Avant de se séparer, ils veulent se partager la mise puisque personne ne l’a complètement gagnée. Mais alors, comment partager la mise, c’est-à-dire que donner à Ariane et Bernard pour que le partage soit équitable ? Quel partage proposez-vous et pourquoi ?
lorsque Ariane gagne la prochaine partie, il gagne tout l'argent qui est en jeu; et si Bernard gagne ils seront deux parties à deux parties, et par conséquent s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise c'est à dire 32 euros.
Considérez donc que si Ariane gagne il lui appartient 64 et s'il perd il lui appartient 32. Donc s'ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, Ariane doit dire :"je suis sûr d'avoir 32 € car la perte même me les donne,mais pour les 32 autres peut être je les aurai peut être vous les aurez; le hasard est égal; partageons donc ces 32 € et vous me donnerez ou vous me donnerez outre cela mes 32 € qui me sont sûrs" elle aura donc 48 et Bernard 16.
Ce problème, qui a ensuite été étudié par Huygens et Jacques Bernoulli, est considéré comme ayant été à l’origine de la théorie des probabilités.

2.3 Cycloïde Définition : Trajectoire d'un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite

Cycloïde

Remarque: Pour trouver l'aire de la cyloïde on utilise la méthode des rectangles (voir son cours sur les intégrales).