Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Jeudi 12 mai 2022
Sujet Centres Étrangers
Exercice 1
7 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
  1. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xex.f(x) =\dfrac{x}{\text{e}^x}. On suppose que ff est dérivable sur R\mathbb{R} et on note ff' sa fonction dérivée.
    1. f(x)=exf'(x) = \text{e}^{-x}.
    2. f(x)=xexf'(x) = x\text{e}^{-x}.
    3. f(x)=(1x)exf'(x) = (1- x)\text{e}^{-x}.
    4. f(x)=(1+x)exf'(x) = (1+x) \text{e}^{-x}.
  2. Soit ff une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle [3 ; 1][-3~;~1]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde ff''.
    00.511.5−0.5−1−1.5−2−2.5−3−3.5123−1−2−3
    On peut alors affirmer que :
    1. la fonction ff est convexe sur l'intervalle [1 ; 1][-1~;~1],
    2. la fonction ff est concave sur l'intervalle [2 ; 0][- 2~;~0],
    3. la fonction ff' est décroissante sur l'intervalle [2 ; 0][-2~;~0],
    4. la fonction ff' admet un maximum en x=1x = -1.
  3. On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=x3ex2.f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}. Si FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R} :
    1. F(x)=16(x3+1)ex2F(x) = - \dfrac16\left(x^3 + 1\right)\text{e}^{-x^2},
    2. F(x)=14x4ex2F(x) = - \dfrac14 x^4\text{e}^{-x^2},
    3. F(x)=12(x2+1)ex2F(x)=-\dfrac12\left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x^2},
    4. F(x)=x2(32x2)ex2F(x)= x^2\left(3 - 2x^2\right)\text{e}^{-x^2}.
  4. Que vaut : limx+ex+1ex1.\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x - 1}.
    1. 1-1.
    2. 11.
    3. ++ \infty.
    4. Cette limite n'existe pas.
  5. On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e2x+1f(x) = \text{e}^{2x +1}.
    La seule primitive FF sur R\mathbb{R} de la fonction ff telle que F(0)=1F(0) = 1 est la fonction :
    1. x2e2x+12e+1x \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - 2\text{e} + 1,
    2. x2e2x+1ex \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - \text{e},
    3. x12e2x+112e+1x \longmapsto \dfrac12\text{e}^{2x+1} - \dfrac12 \text{e} + 1,
    4. xex2+xx \longmapsto \text{e}^{x^2 + x}.
  6. Dans un repère, on a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur [2 ; 4][- 2 ~;~4].
    01234−1−20.511.522.5−0.5−1−1.5
    Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction ff'', dérivée seconde de ff ?
    1. 024−20.511.522.5−0.5−1−1.5
    2. 024−20.511.522.5−0.5−1−1.5
    3. 024−20.511.522.5−0.5−1−1.5
    4. 024−20.511.522.5−0.5−1−1.5
Exercice 2
7 points
Soit ff la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~ +\infty[ par f(x)=xln(x)+1.f(x) = x\ln (x) + 1. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère du plan.
  1. Déterminer la limite de la fonction ff en 00 ainsi que sa limite en ++\infty.
    1. On admet que ff est dérivable sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[ et on notera ff' sa fonction dérivée.
      Montrer que pour tout réel xx strictement positif : f(x)=1+ln(x).f'(x) = 1 + \ln (x).
    2. En déduire le tableau de variation de la fonction ff sur ]0 ; +[]0~;~ +\infty[. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de ff sur ]0 ; +[]0~;~ +\infty[ et les limites.
    3. Justifier que pour tout x]0 ; 1[,f(x)]0 ; 1[x \in ]0~;~1[,\:f(x) \in ]0~;~1[.
    1. Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 11.
    2. Étudier la convexité de la fonction ff sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[.
    3. En déduire que pour tout réel xx strictement positif : f(x)x.f(x) \geqslant x.
  2. On définit la suite (un)\left(u_n\right) par son premier terme u0u_0 élément de l'intervalle ]0 ; 1[]0~;~1[ et pour tout entier naturel nn : un+1=f(un).u_{n+1} = f\left(u_n\right).
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, on a : 0<un<10 < u_n < 1.
    2. Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite (un)\left(u_n\right).
    3. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.
Exercice 3
7 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O};\, \vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k}).
On considère les points A(3 ; 2 ; 2),\text{A}(3~;~-2~;~2),\quad B(6 ; 1 ; 5),\text{B}(6~;~1~;~5),\quad C(6 ; 2 ; 1)\text{C}(6~;~-2~;~-1)\quad et D(0 ; 4 ; 1).\text{D}(0~;~4~;~-1).
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule : V=13A×h.V = \dfrac13 \mathcal{A} \times h. A\mathcal{A} est l'aire de la base et hh la hauteur correspondante.
  1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
    1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
    2. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
    3. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
  2. On considère le point H(5 ; 0 ; 1)\text{H}(5~;~0~;~1).
    1. Montrer qu'il existe des réels α\alpha et β\beta tels que BH=αBC+βBD\overrightarrow{\text{BH}} = \alpha \overrightarrow{\text{BC}} + \beta \overrightarrow{\text{BD}}.
    2. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
    3. En déduire la distance du point A au plan (BCD).
  3. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle BCD.
Exercice 4
7 points
Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.
On établit la règle de jeu suivante:
  1. On considère que l'urne contient 22 jetons noirs et 33 jetons blancs.
    1. Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
    2. Calculer la probabilité de perdre 99 € sur une partie.
  2. On considère maintenant que l'urne contient 33 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera NN le nombre de jetons noirs.
    1. Soit XX la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
      Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
    2. Résoudre l'inéquation pour xx réel: x2+30x81>0.-x^2 + 30x - 81 > 0.
    3. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l'urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
    4. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d'obtenir un gain moyen maximal ?
  3. On observe 1010 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 77 jetons noirs ont été placés dans l'urne (avec 33 jetons blancs).
    Quelle est la probabilité d'avoir au moins 11 joueur gagnant 55 euros ?