Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Jeudi 12 mai 2022
Sujet de Métropole
Exercice 1
7 points
Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :  Partie A Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
On considère les évènements suivants : On note M\overline{M} et T\overline{T} respectivement les évènements contraires de MM et TT.
  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
  2. M
    M
    T
    T
    T
    T
    ...
    ...
    ...
    ...
    ...
    ...
  3. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
  4. Démontrer que la probabilité de TT est égale à 0,6940,694.
  5. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
    Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
    1. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
    2. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
 Partie B On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de 0,6940,694.
  1. Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note XX la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par XX ? Justifier et préciser ses paramètres.
    2. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
    3. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
  2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à 0,990,99 ?
Exercice 2
7 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.


Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. La courbe de sa fonction dérivée ff' est donnée ci-dessous.
On admet que ff' admet un maximum en 32- \dfrac{3}{2} et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (12 ; 0)\left(- \dfrac12~;~0\right).
00.5−0.5−1−1.5−2−2.5−3−3.5−4−4.50.5−0.5−1−1.5−2−2.5
La courbe ci-dessous représente la fonction dérivée ff' de ff. Question 1
  1. La fonction ff admet un maximum en 32- \dfrac{3}{2} ;
  2. La fonction ff admet un maximum en 12- \dfrac{1}{2} ;
  3. La fonction ff admet un minimum en 12- \dfrac{1}{2};
  4. Au point d'abscisse 1-1, la courbe de la fonction ff admet une tangente horizontale.

Question 2
  1. La fonction ff est convexe sur ] ; 32[\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[ ;
  2. La fonction ff est convexe sur ] ; 12[\left]- \infty~;~- \dfrac12\right[ ;
  3. La courbe Cf\mathcal{C}_f représentant la fonction ff n'admet pas de point d'inflexion ;
  4. La fonction ff est concave sur ] ; 12[\left] - \infty~;~- \dfrac12\right[.

Question 3
La dérivée seconde ff'' de la fonction ff vérifie :
  1. f(x)0f''(x) \geqslant 0 pour x] ; 12[x \in \left]-\infty~;~- \dfrac12\right[ ;
  2. f(x)0f''(x) \geqslant 0 pour x[2 ; 1]x \in [- 2~;~- 1] ;
  3. f(32)=0f''\left(- \dfrac32 \right) = 0 ;
  4. f(3)=0f''(- 3) = 0.

Question 4
On considère trois suites (un)\left(u_n\right), (vn)\left(v_n\right) et (wn)\left(w_n\right). On sait que, pour tout entier naturel nn, on a : unvnwnu_n \leqslant v_n\leqslant w_n et de plus: limn+un=1\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= 1 et limn+wn=3\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 3.
On peut alors affirmer que :
  1. la suite (vn)\left(v_n\right) converge ;
  2. Si la suite (un)\left(u_n\right) est croissante alors la suite (vn)\left(v_n\right) est minorée par u0u_0 ;
  3. 1v031 \leqslant v_0 \leqslant 3 ;
  4. la suite (vn)\left(v_n\right) diverge.

Question 5
On considère une suite (un)\left(u_n\right) telle que, pour tout entier naturel nn non nul: unun+11nu_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac1n.
On peut alors affirmer que :
  1. la suite (un)\left(u_n\right) diverge ;
  2. la suite (un)\left(u_n\right) converge ;
  3. limn+un=0\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0 ;
  4. limn+un=1\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1.

Question 6
On considère (un)\left(u_n\right) une suite réelle telle que pour tout entier naturel nn, on a : n<un<n+1n < u_n < n + 1.
On peut affirmer que:
  1. Il existe un entier naturel NN tel que uNu_N est un entier ;
  2. la suite (un)\left(u_n\right) est croissante ;
  3. la suite (un)\left(u_n\right) est convergente ;
  4. La suite (un)\left(u_n\right) n'a pas de limite.
Exercice 3
7 points
On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le repère (A ; AB, AD, AE)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right) et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: V=13×B×hV = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times hB\mathcal{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur relative à cette base.
A
B
C
D
E
F
G
H
K
  1. Préciser les coordonnées des points E, F{}, G et K.
  2. Montrer que le vecteur n(2 2 1)\vec{n}\begin{pmatrix}2 \ -2 \ 1\end{pmatrix} est orthogonal au plan (EGK).
  3. Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne : 2x2y+z1=0.2x - 2y + z - 1 = 0.
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d)(d) orthogonale au plan (EGK) passant par F{}.
  5. Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées (59 ; 49 ; 79)\left(\frac59~;~\frac49~;~\frac79\right).
  6. Justifier que la longueur LF est égale à 23\dfrac23.
  7. Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à 16\dfrac16.
  8. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.
  9. On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.
Exercice 4
7 points
 Partie A : Étude de deux fonctions On considère les deux fonctions ff et gg définies sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+\infty[ par:

f(x)=0,06(x2+13,7x)f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad et g(x)=(0,15x+2,2)e0,2x2,2.\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)\text{e}^{0,2x} - 2,2.
On admet que les fonctions ff et gg sont dérivables et on note ff' et gg' leurs fonctions dérivées respectives.
  1. On donne le tableau de variations complet de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+\infty[.
    xx 00 6,856,85 ++\infty f(6,85)f(6,85) f(x)f(x) croissante décroissante 00 -\infty
    xx006,856,85++\infty
    f(6,85)f(6,85)
    f(x)f(x)
    00-\infty
    1. Justifier la limite de ff en ++\infty.
    2. Justifier les variations de la fonction ff.
    3. Résoudre l'équation f(x)=0f(x) = 0.
    1. Déterminer la limite de gg en ++\infty.
    2. Démontrer que, pour tout réel xx appartenant à [0 ; +[[0~;~+\infty[ on a : g(x)=(0,03x+0,29)e0,2xg'(x) = (- 0,03x + 0,29)\text{e}^{0,2x}.
    3. Étudier les variations de la fonction gg et dresser son tableau de variations sur [0 ; +[[0~;~+\infty[.
      Préciser une valeur approchée à 10210^{-2} près du maximum de gg.
    4. Montrer que l'équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution non nulle et déterminer, à 10210^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.
 Partie B : trajectoires d'une balle de golf Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions ff et gg étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que 13,713,7 est la valeur qui annule la fonction ff et une approximation de la valeur qui annule la fonction gg.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de ff et gg sur l'intervalle [0 ; 13,7][0~;~13,7].
024681012140.511.522.53−0.5
Cg\mathcal{C}_g
Cf\mathcal{C}_f
Pour xx représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 0<x<13,70 < x < 13,7), f(x)f(x) (ou g(x)g(x) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0,9140,914 mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (Cf\mathcal{C}_f ou Cg\mathcal{C}_g selon le modèle) en son point d'abscisse 00. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel dd tel que tan(d)\tan (d) est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (Cf\mathcal{C}_f ou Cg\mathcal{C}_g selon le modèle) en son point d'abscisse 13,713,7. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel aa tel que tan(a)\tan (a) est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
024681012140.511.522.53−0.5
Cg\mathcal{C}_g
Cf\mathcal{C}_f
dd
aa
Le schéma illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe Cf\mathcal{C}_f
024681012140.511.522.53−0.5
Cg\mathcal{C}_g
Cf\mathcal{C}_f
dd
aa
Le schéma illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe Cg\mathcal{C}_g
  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, xx représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et f(x)f(x) la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
    2. Vérifier que f(0)=0,822f'(0) = 0,822.
    3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    4. Quelle propriété graphique de la courbe Cf\mathcal{C}_f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
  2. Seconde modélisation
    1. on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, xx représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et g(x)g(x) la hauteur correspondante de la balle.
      Selon ce modèle :
      1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
        On précise que g(0)=0,29g'(0) = 0,29 et g(13,7)1,87g'(13,7) \approx -1,87.
      2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
      3. Justifier que 6262 est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :
A B C D E F G H I J K L M
1 tan(θ)\tan(\theta) 0,815 0,816 0,817 0,818 0,819 0,82 0,821 0,822 0,823 0,824 0,825 0,826
2 θ\theta en ° 39,18 39,21 39,25 39,28 39,32 39,35 39,39 39,42 39,45 39,49 39,52 39,56
3
4 tan(θ)\tan(\theta) 0,285 0,286 0,287 0,288 0,289 0,29 0,291 0,292 0,293 0,294 0,295 0,296
5 θ\theta en ° 15,91 15,96 16,01 16,07 16,12 16,17 16,23 16,28 16,33 16,38 16,44 16,49
 Partie C : interrogation des modèles À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
Angle de décollage en degré Hauteur maximale en yard Angle d'atterrissage en degré Distance horizontale en yard au point de chute
2424 3232 5252 137137
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.