Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
mardi 17 mai 2022
Sujet d'Asie Exercice 1
7 points
 Lors d'une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d'une part, d'une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d'autre part, d'un sac contenant cinq jetons portant les numéros 1, 2, 3, 4 et 5.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d'être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante : Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.
  1. Un joueur fait une partie et on note BB l'évènement « la case obtenue est blanche », RR l'évènement « la case obtenue est rouge\» et GG l'évènement « le joueur gagne la partie ».
    1. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle PB(G)P_B(G).
    2. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à 0,30,3.
      Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant:
      BB
      RR
      overlineGoverline{G}
      overlineGoverline{G}
      GG
      GG
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
    1. Montrer que P(G)=0,4P(G) = 0,4.
    2. Un joueur gagne la partie. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu une case blanche en lançant la roue?
  3. Les évènements BB et GG sont-ils indépendants ? Justifier.
  4. Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
    On note XX la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
    1. Expliquer pourquoi XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
    2. Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3} près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
    3. Calculer P(X⩾4)P (X \geqslant 4) arrondie à 10−310^{-3} près.
      Donner une interprétation du résultat obtenu.
  5. Un joueur fait nn parties et on note pnp_n la probabilité de l'évènement « le joueur gagne au moins une partie ».
    1. Montrer que pn=1−0,6np_n = 1 - 0,6^n.
    2. Déterminer la plus petite valeur de l'entier nn pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à 0,990,99.
Exercice 2
7 points
 Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.   Partie A Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les 3030 minutes, l'organisme du patient élimine 10 % de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de 0,250,25 mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant :
pour tout entier naturel nn, on note unu_n la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de nn périodes de trente minutes. On a donc u0=1u_0 = 1.
  1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel n,un+1=0,9un+0,25n,\: u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25.
    1. Montrer par récurrence sur nn que, pour tout entier naturel n,un⩽un+1<5n,\: u_n \leqslant u_{n+1} < 5.
    2. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.
  4. On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à 1,81,8 mg.
    1. Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
      Exécuter
      


      2. 


    2. 
Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      3. 


    

    5. 

  5. 
Soit (vn)\left(v_n\right) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par vn=2,5−unv_n = 2,5 - u_n.


      

    1. 
Montrer que (vn)\left(v_n\right) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme (v0)\left(v_0\right).

      2. 

    2. 
Montrer que, pour tout entier naturel n,un=2,5−1,5×0,9nn,\: u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n.

      3. 

    3. 
Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse 33 mg. 


      

D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier.


      4. 

    

    6. 








  Partie B


Après une injection initiale de 11 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.




Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de 0,50,5 mg par heure.




La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée
par la fonction ff, définie sur [0 ; +∞[[0~;~ +\infty[, par 

f(t)=2,5−1,5e−0,2t,f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},

où tt désigne la durée de la perfusion exprimée en heures.




On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à 1,81,8 mg.




    

  1. 
Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?

    2. 

  2. 
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

    3. 

  3. 
Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.

    4. 




















Exercice 3 
7 points






Le solide ABCDEFGH est un cube. On se place dans le repère orthonormé (A ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right) de l'espace dans lequel les coordonnées des points B, D et E sont : 

B(3 ; 0 ; 0),D(0 ; 3 ; 0)et E(0 ; 0 ; 3).\text{B}(3~;~0 ~;~0) , \text{D} (0~;~3~;~0)\: \text{et E}(0~;~0~;~3).






A
B
C
D
E
F
G
H
i⃗\vec{i}
j⃗\vec{j}
k⃗\vec{k}







On considère les points P(0 ; 0 ; 1)\text{P}(0~;~0~;~1), Q(0 ; 2 ; 3)\text{Q}(0~;~2~;~3) et R(1 ; 0 ; 3)\text{R}(1~;~0~;~3).




    

  1. 
Placer les points P, Q et R sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.

    2. 

  2. 
Montrer que le triangle PQR est isocèle en R.

    3. 

  3. 
Justifier que les points P, Q et R définissent un plan.

    4. 

  4. 
On s'intéresse à présent à la distance entre le point E et le plan (PQR).

      

    1. 
Montrer que le vecteur u⃗(2 ; 1 ; −1)\vec{u}(2~;~1~;~- 1) est normal au plan (PQR).

      2. 

    2. 
En déduire une équation cartésienne du plan (PQR).

      3. 

    3. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d)(d) passant par le point E et orthogonale au plan (PQR).

      4. 

    4. 
Montrer que le point L(23 ; 13 ; 83)\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right) est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR).

      5. 

    5. 
 Déterminer la distance entre le point E et le plan (PQR).

      6. 

    

    5. 

  5. 
En choisissant le triangle EQR comme base, montrer que le volume du tétraèdre EPQR est 23\dfrac23.


    

On rappelle que le volume VV d'un tétraèdre est donné par la formule : 

V=13×aire d’une base×hauteur correspondante.V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}.


    6. 

  6. 
Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle PQR.

    7. 
















Exercice 4 
7 points


Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R}. On considère les points A(1 ; 3)A(1~;~3) et B(3 ; 5)B(3~;~5).




On donne ci-dessous Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point A.



0246−2−4−612345−1
A
B
Cf\mathcal{C}_f





Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.



  Partie A


    

  1. 
Déterminer graphiquement les valeurs de f(1)f(1) et f′(1)f'(1).

    2. 

  2. 
La fonction ff est définie par l'expression f(x)=ln⁡(ax2+1)+bf(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b, où aa et bb sont des nombres réels positifs.

      

    1. 
Déterminer l'expression de f′(x)f'(x).

      2. 

    2. 
Déterminer les valeurs de aa et bb à l'aide des résultats précédents.

      3. 

    

    3. 



  Partie B

On admet que la fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par 

f(x)=ln⁡(x2+1)+3−ln⁡(2).f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).




    

  1. 
Montrer que ff est une fonction paire.

    2. 

  2. 
Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.

    3. 

  3. 
Déterminer l'expression de f′(x)f'(x).


    

Étudier le sens de variation de la fonction ff sur R\mathbb{R}.


    

Dresser le tableau des variations de ff en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de ff en −∞-\infty et +∞+\infty.

    4. 

  4. 
À l'aide du tableau des variations de ff, donner les valeurs du réel kk pour lesquelles l'équation f(x)=kf(x) = k admet deux solutions.

    5. 

  5. 
Résoudre l'équation f(x)=3+ln⁡2f(x) = 3 + \ln 2.

    6. 




  Partie C

On rappelle que la fonction ff est définie sur RR par f(x)=ln⁡(x2+1)+3−ln⁡(2)f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).




    

  1. 
Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion
de la courbe Cf\mathcal{C}_f.

    2. 

  2. 
Montrer que, pour tout nombre réel xx, on a : f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}.

    3. 

  3. 
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction ff est convexe.

    4.