Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Mercredi 19 mai 2022
Sujet d'Amérique du Nord
Exercice 1
7 points
Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
D'après une étude statistique : À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
On considère un vélo de la société pris au hasard.
Pour tout entier naturel non nul nn, on définit les évènements suivants : Pour tout entier naturel non nul nn, on note ana_n la probabilité de l'évènement AnA_n et bnb_n la probabilité de l'évènement BnB_n. Ainsi a1=0,5a_1 = 0,5 et b1=0,5b_1 = 0,5.
  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
    A1A_1
    B1B_1
    B2B_2
    B2B_2
    A2A_2
    A2A_2
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    1. Calculer a2a_2.
    2. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
    1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les nn-ième et n+1n + 1-ième matins.
    2. AnA_n
      BnB_n
      Bn+1B_{n+1}
      Bn+1B_{n+1}
      An+1A_{n+1}
      An+1A_{n+1}
      ana_n
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
    3. Justifier que pour tout entier naturel non nul nn\, : an+1=0,6an+0,24a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul nn\, : an=0,60,1×0,6n1a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}.
  3. Déterminer la limite de la suite (an)\left(a_n\right) et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  4. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que an0,599a_n \geqslant 0,599 et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2
7 points
  Partie A Soit pp la fonction définie sur l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4] par : p(x)=x33x2+5x+1.p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1.
  1. Déterminer les variations de la fonction pp sur l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4].
  2. Justifier que l'équation p(x)=0p(x) = 0 admet dans l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4] une unique solution qui sera notée α\alpha.
  3. Déterminer une valeur approchée du réel α\alpha au dixième près.
  4. Donner le tableau de signes de la fonction pp sur l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4].
  Partie B Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4] par : f(x)=ex1+x2.f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
    1. Déterminer la dérivée de la fonction ff sur l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4].
    2. Justifier que la courbe Cf\mathcal{C}_f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
  1. Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe Cf\mathcal{C}_f comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
    0123−1−2−30.511.522.533.5
    Représentation de la courbe Cf\mathcal{C}_f
    Vue de profil du toboggan
    1. D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
    2. On admet que la fonction ff'', dérivée seconde de la fonction ff, a pour expression pour tout réel xx de l'intervalle [3 ; 4][-3~;~4] : f(x)=p(x)(x1)ex(1+x2)3f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}pp est la fonction définie dans la partie A.
      En utilisant l'expression précédente de ff'', répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
Exercice 3
7 points
Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.
On utilise le repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O};\, \vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k}) tel que ı=16OB,ȷ=18OD\vec{\imath} = \dfrac16\overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\jmath} = \dfrac18\overrightarrow{\text{OD}} et k=14OE\vec{k} =\dfrac14\overrightarrow{\text{OE}}.
S
A
B
C
D
E
F
G
H
T
O
R
i\vec{i}
j\vec{j}
k\vec{k}
Dans ce repère on a, en particulier C(6 ; 8 ; 0)\text{C}(6~;~8~;~0), F(6 ; 0 ; 4)\text{F}(6~;~0~;~4) et G(6 ; 8 ; 4)\text{G}(6~;~8~;~4).
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour sommets A(6 ; 0 ; 2)\text{A}(6~;~0~;~2), R(6 ; 3 ; 4)\text{R}(6~;~3~;~4) et T(3 ; 0 ; 4)\text{T}(3~;~0~;~4). Enfin, S est le point de coordonnées (3 ; 52 ; 0)\left(3~;~\dfrac52~;~0\right).
    1. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.
    2. Calculer le produit scalaire ARAT\overrightarrow{\text{AR}} \cdot \overrightarrow{\text{AT}}.
    3. En déduire une valeur approchée à 0,10,1 degré près de l'angle RAT^\widehat{\text{RAT}}.
    1. Justifier que le vecteur n(223)\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ART).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (ART).
  1. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).
    1. Soit Δ\Delta la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S.
      Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta : {x=3+2ky=522kz=3k,avec kR.\left\{\begin{array}{l c r} x&=&3+2k\\ y&=& \dfrac52 - 2k\\ z &=& 3k \end{array}\right.,\: \text{avec }\:k \in \mathbb{R}.
    2. Soit L le point d'intersection de la droite Δ\Delta, avec le plan (ART).
      Démontrer que L a pour coordonnées (5 ; 12 ; 3)\left(5~;~\dfrac12~;~3\right).
  2. L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH].
    Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.
    S
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    T
    O
    R
    i\vec{i}
    j\vec{j}
    k\vec{k}
    N
    L
    1. Montrer que, pour tout réel tt de l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], le point N de coordonnées (0 ; 84t ; 4t)(0~;~8 - 4t~;~4t) est un point du segment [DK].
    2. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.
Exercice 4
7 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Question 1
Le réel aa est définie par a=ln(9)+ln(33)+ln(19)a = \ln (9) + \ln \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) + \ln \left(\dfrac19 \right) est égal à :
  1. 112ln(3)1 - \dfrac12 \ln (3)
  2. 12ln(3)\dfrac12 \ln (3)
  3. 3ln(3)+123 \ln (3) + \dfrac12
  4. 12ln(3)- \dfrac12 \ln (3)

Question 2
On note (E)(E) l'équation suivante lnx+ln(x10)=ln3+ln7\ln x + \ln (x - 10) = \ln 3 + \ln 7 d'inconnue le réel xx.
  1. 33 est solution de (E)(E).
  2. 5465 - \sqrt{46} est solution de (E)(E).
  3. L'équation (E)(E) admet une unique solution réelle.
  4. L'équation (E)(E) admet deux solutions réelles.

Question 3
La fonction ff est définie sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+ \infty[ par l'expression f(x)=x2(1+lnx)f(x) = x^2(- 1 + \ln x). On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
  1. Pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+ \infty[, f(x)=2x+1x\:f'(x) = 2x + \dfrac1x.
  2. La fonction ff est croissante sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+ \infty[.
  3. f(e)f'\left(\sqrt{\text{e}} \right) est différent de 00.
  4. La droite d'équation y=12ey = - \dfrac12 \text{e} est tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse e\sqrt{\text{e}}.

Question 4
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au milllième, est :
  1. 0,6830,683
  2. 0,3460,346
  3. 0,2300,230
  4. 0,1650,165

Question 5
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au milllième, est :
  1. 0,0780,078
  2. 0,2590,259
  3. 0,3370,337
  4. 0,9220,922

Question 6
Un sac contient 2020 jetons jaunes et 3030 jetons bleus.
On réalise l'expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :
  1. 0,40,4
  2. 1,21,2
  3. 22
  4. 2,52,5