Terminale ∼ Spécialité mathématique
Livret de révision Suites numériques ★★ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$ par : $u_{n+1}=20+0,5u_n$.
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $u_n=40-40\times0,5^n$.
  2. Déterminer alors le sens de variation de la suite $(u_n)$ ainsi que sa limite lorsque $n$ ted vers $+\infty$.
  3. Déterminer le premier entier $n$ tel que $u_n>38$.
★★ Le directeur d’une réserve marine a recensé $3\,000$ cétacés dans cette réserve au 1er juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\,000$.
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année : On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1er juin de l’année $2017 + n$. On a donc $u_0 = 3\,000$.
  1. Justifier que $u_1 = 2\,926$.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95\times u_n+ 76$.
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    A B C D E F G H I
    1 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 7
    2 $u_n$ 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq 1\,520$. On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
  5. On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 1\,520$.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1480 \times 0,95^n + 1\,520$.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  6. Compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur strictement à $2\,000$. n = 0 u = 3000 while ... n = ... u = ...
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
★★ Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à $12\,000$ individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les $60\,000$ individus.

Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de $5$% par an.
L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc $v_0 = 12$.

  1. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.$$
    1. Justifier que $g$ est croissante sur $[0;60]$.
    2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$.
  2. On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
    1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 55$.
    3. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    4. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$.
      En déduire la valeur de $\ell$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
  3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les $50\,000$ individus avec ce second modèle.
    Il utilise l'algorithme incomplet suivant. n = 0 u = 12 while ... u = ... n = ... print(...) Compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r~\geq~50$.
★★★ En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses $5\,000$ collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.
En mai 2020, seuls $200$ d'entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que $85$ % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.
Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0 = 200$.

Partie A :
  1. Calculer $a_1$.
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n,\,$ $a_{n+1} = 0,85a_n + 450$.
  3. \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par: $v_n = a_n - 3\,000$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\,$ $a_n = - 2\,800 \times 0,85^n + 3\,000$.
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2\,500$, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.
Partie B :

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}$$ où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.
  1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0\, ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0 \, ; + \infty[$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.$$
    2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $$0 \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$$ En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.
Fonctions ★★ Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x}$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(0,\vec{i},\vec{j})$.
  1. Soit $g$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par $g(x)=x^2-1+\ln(x)$.
    1. Déterminer, pour tout $x\geq1$ l'expression de $g'(x)$.
    2. Dresser le tableau de variation de $g$ sur $[1;+\infty[$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur cet intervalle.
    1. Montrer que pour tout $x\geq1$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
    2. En déduire les variations de $f$ sur $[1;+\infty[$.
    3. Déterminer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
    4. La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle une asymptote horizontale et/ou verticale ? Justifier votre réponse.
    1. Démontrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$.
    2. En utilisant le fait que $f(\alpha)=2$, montrer que $\ln(\alpha)=\alpha^2-2\alpha$.
Partie B
On donne en annexe un repère dans lequel est tracée la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$.
  1. Construire dans le repère de l'annexe la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.
  2. Soit $M_2$ le point d'abscisse $2$ de $\mathcal{C}$ et $N_2$ celui d'abscisse $2$ de $\Delta$.
    Placer ces points dans le repère de l'annexe et donner la valeur exacte de la distance $M_2N_2$.
  3. Pour tout entier naturel $k\geq2$, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
    1. Montrer que, pour tout entier $k\geq2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
    2. Peut-on affirmer que pour $k$ assez grand, la distance $M_kN_k$ est proche $0$ ?
    3. Après exécution de l'algorithme ci-dessous la variable $k$ vaut $1\, 416\, 361$ (le temps d'exécution peut être un peu long). Comment interpréter cette valeur ?
from math import* d = log(2)/2 k = 2 while d > 0.00001: k = k + 1 d = log(k)/k print(k) ★★ Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé : La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3\,;0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;3)$.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)$ et de $f'(1)$.
  2. En déduire une équation de la droite $T_B$.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}.$$
  1. Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
  5. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. On admet que, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}$.
    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
  6. Soit $F$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2(x)+2\ln(x)$.
    1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
    2. Peut-on affirmer que $F$ est concave sur $[\text{e}\,;+\infty[$ ?
    3. Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en $\text{e}$.
★★★ Partie A : établir une inégalité
Sur l'intervalle $[0\,; +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.
  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,; +\infty[$.
  2. En déduire que pour tout $x \in [0\,; +\infty[$, $\ln(x + 1) \leqslant x$.
Partie B : application à l'étude d'une suite
On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.
  1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 0$.
    2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 1 $.
    3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
  3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
    1. Écrire un algorithme Python qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
    2. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}.$
★ On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x\text{e}^{- x} + 1.$$ On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.
    1. Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x)$.
    2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$.
    2. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
  3. Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x + 1$.
  4. L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$.
    À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel $x$, l'expression et le signe de $f''(x)$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$.
    Instruction Réponse
    1 f(x)=x*exp(-x)+1 $x\text{e}^{-x}+1$
    2 g(x)=Dériver( Dériver(f(x)) ) $\text{e}^{-x}(x-2)$
    3 Résoudre( g(x) >= 0 ) $x\geq2$
    1. Déterminer le sens de variation de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    2. Déterminer l'intervalle de $\mathbb{R}$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave.
    3. En déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$ sur l'intervalle $]-~\infty~;~2]$.
  5. On souhaite maintenant déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$.
    On admet qu'il existe $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$, $F(x)=\text{e}^{-x}(ax+b)+cx+d$.
    1. Déterminer l'expression de $F'(x)$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
    2. Justifier alors que $a=b=-1$ et $c=1$.
    3. En déduire la valeur de $d$ et donner l'expression algébrique de $F(x)$.
    4. La courbe $\mathcal{C}_F$ représentative de $F$ admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
      Justifier la réponse.
★★ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;4]$ par : $$f(x) = (3 x - 4) \text{e}^{-x} + 2.$$
  1. On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
    Montrer que l'on a, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4]$, $f'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}$.
  2. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;4]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~4]$.
    2. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'obtenir un encadrement à $10^{-4}$ de $\alpha$. Donner cet encadrement.
      3. from math import* def f(x): return (3*x-4)*exp(-x)+2 x = 0 while f(x) < 0: x = x+... print(...)
  4. On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $f''(x) = (3 x - 10)\text{e}^{-x}$.
    1. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
    2. Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
5 points Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\, ; +\infty[$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point $A(1\, ; 4)$.
  1. Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
    On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: $f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
  2. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.$$
  3. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
    4. Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\, ; +\infty[$ par: $$f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.$$
  4. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  5. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0\, ; +\infty[$.
  6. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.$$
  7. Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.
★★★ Une entreprise fabrique un composant électronique de haute technologie. Sa production hebdomadaire maximale est de $80$ pièces.
Pour une production $x\in[0\,;80]$, on note $C_T(x)$ le coût total de production et $C_m(x)$ le coût marginal de production.
On rappelle que $C_m(x)$ représente le coût de production du $x+1$ ème composant et on admet que $C_m(x)=C'_T(x)$.

Le prix unitaire d'un de ces composants est de $6\,500$ euros et on estime que tous les composants produits sont vendus. On note de plus $R(x)$ la recette associée à la vente de tous les composants. Les coûts et la recette sont exprimés en centaines d'euros.

Une étude a montré que pour tout $x\in[0\,;80]$, on a $C_m(x)=x+\dfrac{100}{0,1x+1}$ et $C_T(0)=30$.
  1. Déterminer les variations du coût total $C_T$ sur $[0\,;80]$.
    1. Montrer que l'équation réduite de la tangente en $0$ à la courbe représentative de $C_T$ dans un repère orthonormé du plan est $y=100x+30$
    2. En déduire que le coût total de production pour un seul composant produit est proche de $13\,000$ euros.
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;80]$ par $f(x)=\dfrac{1}{0,1x+1}$.
    1. Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x)=10\ln(0,1x+1)$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;80]$.
    2. En déduire, pour tout $x\in[0\,;80]$, l'expression de $C_T(x)$.
    1. En notant $B(x)$ le bénéfice associée à une production de $x$ composants, justifier que $B(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+65x-1\,000\ln(0,1x+1)-30$.
    2. On rappelle qu'en langage Python la fonction $\ln$ est notée $\log$.
      L'algorithme ci-dessous affiche $48$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. from math import* def B(x): return -0.5*x**2+65*x-1000*log(0.1*x+1)-30 max = B(0) xmax = 0 for i in range(1,81): if B(i) > max: max = B(i) xmax = i print(xmax)
    3. Montrer que pour tout $x\in[0\,;80]$, $B'(x)=\dfrac{-x^2+55x-350}{x+10}$.
    4. Dresser le tableau de variations de $B(x)$ sur $[0\,;80]$.
    5. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?
Probabilités ★ On s'intéresse à la clientèle d'un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que:

• 70 % des clients achètent leur billet sur internet;
• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :

• $A$ : "Le client choisit une visite avec un audioguide ";
• $B$ : "Le client achète son billet sur internet avant sa visite".
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$.
  3. On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.
    D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse.
  4. On observe un échantillon de 50 visiteurs. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de visiteurs ayant choisi une visite avec audioguide dans cet échantillon.
    1. Quelle loi de probabilité suit la variable $X$ ?
    2. Déterminer $E(X)$ l'espérance de $X$.
    3. Déterminer $P(X\geq 25)$.
★★ Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que : On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : On a donc $p_{1} = 0,1$.

Partie A - Les premières parties
  1. Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
  3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
Partie B - Un grand nombre de parties
  1. Compléter l'arbre de probabilité suivant : Xmin = -10 Xmax = 3 Ymin = -8 Ymax = 8 segment([-9,0],[-5,3]) segment([-9,0],[-5,-3]) texte("G",[-4.8,2.8]) texte("n",[-4.2,2.5],10) texte("G",[-4.8,-3.2]) texte("n",[-4.2,-3.5],10) texte("_",[-4.8,-2.1]) segment([-3.8,3.5],[0,5]) segment([-3.8,3],[0,1.5]) segment([-3.8,-3.5],[0,-5]) segment([-3.8,-3],[0,-1.5]) texte("G",[0.5,4.7]) texte("n+1",[1.1,4.4],10) texte("G",[0.5,1.3]) texte("n+1",[1.1,1.1],10) texte("_",[0.6,2.3],20) texte("G",[0.5,-5.4]) texte("n+1",[1.1,-5.7],10) texte("_",[0.6,-4.3],20) texte("G",[0.5,-1.7]) texte("n+1",[1.1,-2.0],10) texte("...",[-8,2]) texte("...",[-8,-2]) texte("...",[-2.5,5]) texte("...",[-2.5,1.5]) texte("...",[-2.5,-1.3]) texte("...",[-2.5,-5])
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$.
  3. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$.
    1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et en déduire que pour tout entier $n$ : $p_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
★★ Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : On considère un groupe de $300$ personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe : On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
$A$ : «la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée» ;
$R_1$ : «la personne a réussi l’examen à la première présentation» ;
$R_2$ : «la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation» ;
$R_3$ : «la personne a réussi l’examen à la troisième présentation».
  1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
    2. Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
    1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
    2. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    3. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
  3. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, $\{ X=1 \}$ correspond à l’événement $R_1$.
    1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    2. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
  4. On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les $300$ du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les $300$ personnes du groupe.
    On admet que la probabilité de l’évènement $R_3$ est égale à $\dfrac{1}{6}$.
    1. Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à $1-\left(\dfrac{5}{6} \right)^n$.
      2. On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où $p$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0\,;1[$. def seuil(p): n = 1 while 1-(5.0/6)**n <= p: n = n+1 return n
    2. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0.9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
★★ Une roue de loterie se compose de secteurs identiques de trois couleurs : rouge, vert, bleu. Tous les secteurs sont équiprobables, quel que soit le lancé.
Un joueur lance la roue. On note : Partie A
la roue se compose de 12 secteurs : 3 rouges, 5 verts et 4 bleus.
    1. Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous pour qu'il représente l'expérience aléatoire.
    2. Calculer la probabilité d'obtenir, à la fin du jeu, un secteur bleu.
  2. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.
    1. Calculer $P(X=-3)$ et $P(X=-2)$.
    2. Donner la loi de probabilité de $X$.
    3. Est-il intéressant de jouer à ce jeu ?
Partie B
La roue se compose maintenant de 3 secteurs rouges, 4 secteurs bleus et $n$ secteurs verts, $n$ étant un entier naturel non nul.
Soit $X_n$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.
  1. Montrer que pour tout entier $n$, $E(X_n)>0$ ?
  2. Le gérant de la loterie décide de rendre payant la participation à son jeu.
    Pour une participation de $2$ euros, existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle le gain moyen du gérant soit inférieur à $0,30$ euros par partie ?
★★ Partie A
Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$.
On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.
On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange.
Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.
  1. Montrer $X_n$ prend les valeurs $1$ et $(n + 1)$.
  2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
    Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant:
    $x_i$ $1$ $n+1$
    $P\left(X_n = x_i\right)$
  3. Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ?
    Montrer que $E\left(X_n\right) =n + 1 - n \times 0,95^n$.
Partie B
  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20~; +\infty[$ par $f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95)$.
    Montrer que $f$ est décroissante sur $[20~; +\infty[$.
  2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
  3. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[20~; +\infty[$.
    Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
  4. En déduire le signe de $f$ sur $[20~; +\infty[$.
Partie C
On cherche à comparer deux types de dépistages.
La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.
En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum. Géométrie dans l'espace ★★ Soit $d$ la droite dont une paramétrisation est : $$\left\{\begin{array}{rcl} x & = & 1-2t \\ y & = & 3t \\ z & = & -3+t \end{array}\right., t\in\mathbb{R}.$$
  1. Donner les coordonnées de deux points appartenant à $d$.
  2. Donner les coordonnées de deux vecteurs directeurs de $d$.
  3. Le point $A(5;-6;5)$ appartient-il à $d$ ?
  4. Soit $B(1;0;-9)$. Le point $C$ milieu de $[AB]$ est-il un point de $d$ ?
  5. Déterminer la distance $AB$.
  6. Soit $\Delta$ la droite passant par $B$ et dirigé par $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$.
    Déterminer la position relative de $d$ et $\Delta$. Préciser leur(s) éventuel(s) point(s) d'intersection.
★★ ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
    1. Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
  3. Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$.
★★ On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$, le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$.
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé $(A, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E})$.
    1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
    2. En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$, $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$.
    3. Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
    4. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x-y+z-2=0$.
  2. On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    2. On considère le point $L$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\, ; \dfrac{1}{6}\, ; \dfrac{5}{6}\right)$.
      Montrer que $L$ est le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.
  3. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $$V=\frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
    1. Calculer le volume de la pyramide $FBGI$.
    2. En déduire l'aire du triangle $BGI$.
★★ On se place dans un repère orthonormée de l'espace et on considère le plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est : $$2x-y+z=4.$$ On considère de plus les points $A(6\,;-1\,;3)$, $B(0\,;0 \,;4)$, $C(2\,;-1 \,;-1)$ et $D\left( \dfrac{5}{2}\,; 0\,;-1 \right)$.
On note $d$ la droite perpendiculaire à $\mathscr{P}$ passant par $A$.
  1. Déterminer lesquels des points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à $\mathscr{P}$ ?
  2. Quelle est la nature du triangle $BCD$ ?
  3. Donner une paramétrisation de $d$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonale de $A$ sur $\mathscr{P}$.
  5. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
★★ Dans un repère de l'espace on considère le plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est : $$x-2y+z=5.$$ On considère de plus le point $A(5\,;0\,;-6)$ et $B(1\,;-2\,;0)$.
  1. Justifier que le point $B$ appartient à $\mathscr{P}$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire à $\mathscr{P}$ et passant par $A$.
  3. Déterminer les coordonnées de $C$ intersection de $d$ et $\mathscr{P}$.
  4. Soit $M$ un point de $d$.
    Montrer qu'il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que : $\cos\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right)$ $=$ $\sqrt{\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56}}$.
  5. Déterminer $\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56} }$.

    Que peut-on en déduire pour l'angle $\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right)$ lorsque $M$ s'éloigne de $C$ ?
★ Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(\text{O}\,; \vec{i},\ \vec{j}\, , \vec{k})$, on considère les points: $\text{A}$ de coordonnées $(2~;~0~;~0)$, $\text{B}$ de coordonnées $(0~;~3~;~0)$ et $\text{C}$ de coordonnées $(0~;~0~;~1).$
L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
    1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).
    2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
  2. On note $d$ la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    2. Montrer que la droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right)$.
    3. Calculer la distance OH.
  3. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.
★★ Dans un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k})$ on considère : Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
  2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$.
    1. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que: $$AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.$$
    2. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;2~; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.
      On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
  3. Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
  4. On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;3~;0)$.
    Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
  5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$.
    On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.