Terminale ∼ Spécialité mathématique
Livret de révision 1Suites numériques Exercice 1★★ Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=0u_0=0 et pour tout entier nn par : un+1=20+0,5unu_{n+1}=20+0,5u_n.
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier nn : un=40−40×0,5nu_n=40-40\times0,5^n.
  2. Déterminer alors le sens de variation de la suite (un)(u_n) ainsi que sa limite lorsque nn ted vers +∞+\infty.
  3. Déterminer le premier entier nn tel que un>38u_n>38.
Exercice 2★★ Le directeur d’une réserve marine a recensé 30003\,000 cétacés dans cette réserve au 1er juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 20002\,000.
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année : On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite (un)(u_n). Selon ce modèle, pour tout entier naturel nn, unu_n désigne le nombre de cétacés au 1er juin de l’année 2017+n2017 + n. On a donc u0=3000u_0 = 3\,000.
  1. Justifier que u1=2926u_1 = 2\,926.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=0,95×un+76u_{n+1} = 0,95\times u_n+ 76.
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite (un)(u_n). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    A B C D E F G H I
    1 nn 0 1 2 3 4 5 6 7
    2 unu_n 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite (un)(u_n) ?
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un≥1520u_n \geq 1\,520. On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
  5. On désigne par (vn)(v_n) la suite définie par, pour tout entier naturel nn, vn=un−1520v_n = u_n - 1\,520.
    1. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 0,950,95 dont on précisera le premier terme.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=1480×0,95n+1520u_n = 1480 \times 0,95^n + 1\,520.
    3. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).
  6. Compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur strictement à 20002\,000.
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
Exercice 3★★ Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 1200012\,000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 6000060\,000 individus.

Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 55% par an.
L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn)\left(v_n\right) où vnv_n représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en 2016+n2016 + n. On a donc v0=12v_0 = 12.

  1. Déterminer la nature de la suite (vn)\left(v_n\right) et donner l'expression de vnv_n en fonction de nn.
  2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=12u_0 = 12 et, pour tout entier naturel nn : un+1=−1,1605un2+1,1unu_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n.

  1. On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=−1,1605x2+1,1x.g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.
    1. Justifier que gg est croissante sur [0;60][0;60].
    2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation g(x)=xg(x) = x.
  2. On remarquera que un+1=g(un)u_{n+1} = g\left(u_n\right).
    1. Calculer la valeur arrondie à 10−310^{-3} de u1u_1. Interpréter.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0⩽un⩽un+1⩽550 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 55.
    3. En déduire la convergence de la suite (un)\left(u_n\right).
    4. Justifier que la limite ℓ\ell de la suite (un)\left(u_n\right) vérifie g(ℓ)=ℓg(\ell) = \ell.
      En déduire la valeur de ℓ\ell et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
  3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 5000050\,000 individus avec ce second modèle.
    Il utilise l'algorithme incomplet suivant.
    Compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier rr tel que ur ≥ 50u_r~\geq~50.
Exercice 4★★★ En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses 50005\,000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.
En mai 2020, seuls 200200 d'entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que 8585 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (an)\left(a_n\right).
Le terme ana_n désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le nn-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi a0=200a_0 = 200.

Partie A :
  1. Calculer a1a_1.
  2. Justifier que pour tout entier naturel n,n,\, an+1=0,85an+450a_{n+1} = 0,85a_n + 450.
  3. \item On considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie pour tout entier naturel n par: vn=an−3000v_n = a_n - 3\,000.
    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est une suite géométrique de raison 0,850,85.
    2. Exprimer vnv_n en fonction de nn pour tout entier naturel nn.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel n,n,\, an=−2800×0,85n+3000a_n = - 2\,800 \times 0,85^n + 3\,000.
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 25002\,500, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.
Partie B :

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=5un+4un+2u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2} où unu_n désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de nn mois après le mois de mai 2020.
  1. Démontrer que la fonction ff définie pour tout x∈[0;+∞[x \in [0\, ; +\infty[ par f(x)=5x+4x+2f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2} est strictement croissante sur [0;+∞[[0 \, ; + \infty[.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 0⩽un⩽un+1⩽4.0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.
    2. Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.
  3. On admet que pour tout entier naturel nn, 0⩽4−un⩽3×(12)n.0 \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n. En déduire la limite de la suite (un)\left(u_n\right) et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.
2Fonctions Exercice 5★★ Partie A
On considère la fonction ff définie sur [1;+∞[[1;+\infty[ par f(x)=x−ln⁡(x)xf(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x}.

On note C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormal (0,i⃗,j⃗)(0,\vec{i},\vec{j}).
  1. Soit gg la fonction définie sur [1;+∞[[1;+\infty[ par g(x)=x2−1+ln⁡(x)g(x)=x^2-1+\ln(x).
    1. Déterminer, pour tout x≥1x\geq1 l'expression de g′(x)g'(x).
    2. Dresser le tableau de variation de gg sur [1;+∞[[1;+\infty[ et en déduire le signe de g(x)g(x) sur cet intervalle.
    1. Montrer que pour tout x≥1x\geq1, f′(x)=g(x)x2f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}.
    2. En déduire les variations de ff sur [1;+∞[[1;+\infty[.
    3. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}.
    4. La courbe C\mathcal{C} possède-t-elle une asymptote horizontale et/ou verticale ? Justifier votre réponse.
    1. Démontrer que l'équation f(x)=2f(x)=2 admet une unique solution α\alpha sur [1;+∞[[1;+\infty[ dont on donnera une valeur approchée à 10−210^{-2}.
    2. En utilisant le fait que f(α)=2f(\alpha)=2, montrer que ln⁡(α)=α2−2α\ln(\alpha)=\alpha^2-2\alpha.
Partie B
On donne en annexe un repère dans lequel est tracée la courbe C\mathcal{C} représentative de la fonction ff.
  1. Construire dans le repère de l'annexe la droite Δ\Delta d'équation y=xy=x.
  2. Soit M2M_2 le point d'abscisse 22 de C\mathcal{C} et N2N_2 celui d'abscisse 22 de Δ\Delta.
    Placer ces points dans le repère de l'annexe et donner la valeur exacte de la distance M2N2M_2N_2.
  3. Pour tout entier naturel k≥2k\geq2, on note respectivement MkM_k et NkN_k les points d'abscisse kk de C\mathcal{C} et Δ\Delta.
    1. Montrer que, pour tout entier k≥2k\geq2, la distance MkNkM_kN_k entre les points MkM_k et NkN_k est donnée par MkNk=ln⁡(k)kM_kN_k=\dfrac{\ln(k)}{k}.
    2. Peut-on affirmer que pour kk assez grand, la distance MkNkM_kN_k est proche 00 ?
    3. Après exécution de l'algorithme ci-dessous la variable kk vaut 14163611\, 416\, 361 (le temps d'exécution peut être un peu long). Comment interpréter cette valeur ?
Exercice 6★★ Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé : La droite TAT_A est parallèle à l’axe des abscisses. La droite TBT_B coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3;0)(3\,;0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;3)(0\,;3).
0.511.522.533.544.550.511.522.53
AA
BB
y
x
TAT_A
TBT_B
O
Cf\mathcal{C}_f
On note f′f' la fonction dérivée de ff.

Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de f′(1e)f'\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right) et de f′(1)f'(1).
  2. En déduire une équation de la droite TBT_B.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction ff est définie sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[ par : f(x)=2+ln⁡(x)x.f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}.
  1. Par le calcul, montrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f passe par les points AA et BB et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers 00 par valeurs supérieures, et la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers +∞+\infty.
  3. Montrer que, pour tout x∈]0;+∞[x\in]0\,;+\infty[, f′(x)=−1−ln⁡(x)x2f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.
  4. Dresser le tableau de variations de ff sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[.
  5. On note f′′f'' la fonction dérivée seconde de ff. On admet que, pour tout x∈]0;+∞[x\in]0\,;+\infty[, f′′(x)=1+2ln⁡(x)x3f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}.
    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel ff est convexe.
  6. Soit FF la fonction définie sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[ par F(x)=12ln⁡2(x)+2ln⁡(x)F(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2(x)+2\ln(x).
    1. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[.
    2. Peut-on affirmer que FF est concave sur [e;+∞[[\text{e}\,;+\infty[ ?
    3. Déterminer la primitive de ff qui s'annule en e\text{e}.
Exercice 7★★★ Partie A : établir une inégalité
Sur l'intervalle [0;+∞[[0\,; +\infty[, on définit la fonction ff par f(x)=x−ln⁡(x+1)f(x) = x - \ln(x + 1).
  1. Étudier le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[[0\,; +\infty[.
  2. En déduire que pour tout x∈[0;+∞[x \in [0\,; +\infty[, ln⁡(x+1)⩽x\ln(x + 1) \leqslant x.
Partie B : application à l'étude d'une suite
On pose u0=1u_0 = 1 et pour tout entier naturel nn, un+1=un−ln⁡(1+un)u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n).
On admet que la suite de terme général unu_n est bien définie.
  1. Calculer une valeur approchée à 10−310^{-3} près de u2u_2.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, un⩾0u_n \geqslant 0.
    2. Démontrer que la suite (un)(u_n) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel nn, un⩽1u_n \leqslant 1 .
    3. Montrer que la suite (un)(u_n) est convergente.
  3. On note ℓ\ell la limite de la suite (un)(u_n). Déterminer la valeur de ℓ\ell.
    1. Écrire un algorithme Python qui, pour un entier naturel pp donné, permet de déterminer le plus petit rang NN à partir duquel tous les termes de la suite (un)\left(u_n\right) sont inférieurs à 10−p10^{-p}.
    2. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier naturel nn à partir duquel tous les termes de la suite (un)\left(u_n\right) sont inférieurs à 10−15.10^{-15}.
Exercice 8★ On considère ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=xe−x+1.f(x) = x\text{e}^{- x} + 1. On note Cf\mathcal{C}_{f} la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthonormé du plan et f′f' la fonction dérivée de ff.
    1. Montrer que, pour tout réel x,f′(x)=e−x(1−x)x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x).
    2. En déduire le sens de variation de ff sur R\mathbb{R}.
    1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [−1 ; 0][-1~;~0].
    2. Donner un encadrement de α\alpha à 10−310^{-3} près.
  3. Montrer que l'équation réduite de la tangente TT à Cf\mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 00 est y=x+1y = x + 1.
  4. L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} par rapport à TT.
    À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel xx, l'expression et le signe de f′′(x)f''(x) où f′′f'' désigne la dérivée seconde de ff.
    Instruction Réponse
    1 f(x)=x*exp(-x)+1 xe−x+1x\text{e}^{-x}+1
    2 g(x)=Dériver( Dériver(f(x)) ) e−x(x−2)\text{e}^{-x}(x-2)
    3 Résoudre( g(x) >= 0 ) x≥2x\geq2
    1. Déterminer le sens de variation de la dérivée f′f' de la fonction ff sur R\mathbb{R}.
    2. Déterminer l'intervalle de R\mathbb{R} sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave.
    3. En déduire la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} par rapport à TT sur l'intervalle ]− ∞ ; 2]]-~\infty~;~2].
  5. On souhaite maintenant déterminer la primitive FF de la fonction ff sur R\mathbb{R} qui s'annule en 00.
    On admet qu'il existe aa, bb et cc tels que pour tout réel xx, F(x)=e−x(ax+b)+cx+dF(x)=\text{e}^{-x}(ax+b)+cx+d.
    1. Déterminer l'expression de F′(x)F'(x) en fonction de aa, bb et cc.
    2. Justifier alors que a=b=−1a=b=-1 et c=1c=1.
    3. En déduire la valeur de dd et donner l'expression algébrique de F(x)F(x).
    4. La courbe CF\mathcal{C}_F représentative de FF admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
      Justifier la réponse.
Exercice 9★★ On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ;4][0~;4] par : f(x)=(3x−4)e−x+2.f(x) = (3 x - 4) \text{e}^{-x} + 2.
  1. On désigne par f′f' la dérivée de la fonction ff.
    Montrer que l'on a, pour tout xx appartenant à l'intervalle [0 ; 4][0~;~4], f′(x)=(7−3x)e−xf'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}.
  2. Étudier les variations de ff sur l'intervalle [0 ;4][0~;4] puis dresser le tableau de variations de ff sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.
    1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [0 ; 4][0~;~4].
    2. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'obtenir un encadrement à 10−410^{-4} de α\alpha. Donner cet encadrement.
      3.
  4. On admet que la dérivée seconde de la fonction ff est la fonction f′′f'' définie sur l'intervalle [0 ; 4][0~;~4] par f′′(x)=(3x−10)e−xf''(x) = (3 x - 10)\text{e}^{-x}.
    1. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction ff est convexe.
    2. Montrer que la courbe représentative C\mathcal{C} de la fonction ff possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
Exercice 105 points Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe Cf\mathcal{C}_f représentative d'une fonction ff, deux fois dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[]0\, ; +\infty[.
La courbe Cf\mathcal{C}_f admet une tangente horizontale TT au point A(1;4)A(1\, ; 4).
01234560.511.522.533.54−0.5
A
Cf\mathcal{C}_f
TT
  1. Préciser les valeurs f(1)f(1) et f′(1)f'(1).
    On admet que la fonction ff est définie pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~ +\infty[ par: f(x)=a+bln⁡xxf(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \, où aa et bb sont deux nombres réels.
  2. Démontrer que, pour tout réel xx strictement positif, on a : f′(x)=b−a−bln⁡xx2.f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.
  3. En déduire les valeurs des réels aa et bb.
    4. Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction ff est définie pour tout réel xx de l'intervalle ]0;+∞[]0\, ; +\infty[ par: f(x)=4+4ln⁡xx.f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.
  4. Déterminer les limites de ff en 00 et en +∞+\infty.
  5. Déterminer le tableau de variations de ff sur l'intervalle ]0;+∞[]0\, ; +\infty[.
  6. Démontrer que, pour tout réel xx strictement positif, on a : f′′(x)=−4+8ln⁡xx3.f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.
  7. Montrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f possède un unique point d'inflexion BB dont on précisera les coordonnées.
Exercice 11★★★ Une entreprise fabrique un composant électronique de haute technologie. Sa production hebdomadaire maximale est de 8080 pièces.
Pour une production x∈[0;80]x\in[0\,;80], on note CT(x)C_T(x) le coût total de production et Cm(x)C_m(x) le coût marginal de production.
On rappelle que Cm(x)C_m(x) représente le coût de production du x+1x+1 ème composant et on admet que Cm(x)=CT′(x)C_m(x)=C'_T(x).

Le prix unitaire d'un de ces composants est de 65006\,500 euros et on estime que tous les composants produits sont vendus. On note de plus R(x)R(x) la recette associée à la vente de tous les composants. Les coûts et la recette sont exprimés en centaines d'euros.

Une étude a montré que pour tout x∈[0;80]x\in[0\,;80], on a Cm(x)=x+1000,1x+1C_m(x)=x+\dfrac{100}{0,1x+1} et CT(0)=30C_T(0)=30.
  1. Déterminer les variations du coût total CTC_T sur [0;80][0\,;80].
    1. Montrer que l'équation réduite de la tangente en 00 à la courbe représentative de CTC_T dans un repère orthonormé du plan est y=100x+30y=100x+30
    2. En déduire que le coût total de production pour un seul composant produit est proche de 1300013\,000 euros.
  3. Soit ff la fonction définie sur [0;80][0\,;80] par f(x)=10,1x+1f(x)=\dfrac{1}{0,1x+1}.
    1. Montrer que la fonction FF définie par F(x)=10ln⁡(0,1x+1)F(x)=10\ln(0,1x+1) est une primitive de ff sur [0;80][0\,;80].
    2. En déduire, pour tout x∈[0;80]x\in[0\,;80], l'expression de CT(x)C_T(x).
    1. En notant B(x)B(x) le bénéfice associée à une production de xx composants, justifier que B(x)=−12x2+65x−1000ln⁡(0,1x+1)−30B(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+65x-1\,000\ln(0,1x+1)-30.
    2. On rappelle qu'en langage Python la fonction ln⁡\ln est notée log⁡\log.
      L'algorithme ci-dessous affiche 4848. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
      Exécuter
      

      3. 



    3. 
Montrer que pour tout x∈[0;80]x\in[0\,;80], B′(x)=−x2+55x−350x+10B'(x)=\dfrac{-x^2+55x-350}{x+10}.

      4. 


    4. 
Dresser le tableau de variations de B(x)B(x) sur [0;80][0\,;80].

      5. 


    5. 
Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?

      6. 

    

    5. 






















3Probabilités






Exercice 12★


On s'intéresse à la clientèle d'un musée. 




Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée. 




Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que: 







• 70 % des clients achètent leur billet sur internet; 




• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 
35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ; 




• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec un audioguide. 






On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : 






• AA : "Le client choisit une visite avec un audioguide "; 




• BB : "Le client achète son billet sur internet avant sa visite". 







    

  1. 
Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 

    2. 










  2. 
Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,410,41. 

    3. 





  3. 
On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide. 

    
Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée. 

    
D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse.

    4.  





  4. 
On observe un échantillon de 50 visiteurs. On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre de visiteurs ayant choisi une visite avec audioguide dans cet échantillon.


      

    1. 
Quelle loi de probabilité suit la variable XX ?

      2. 




    2. 
Déterminer E(X)E(X) l'espérance de XX.

      3. 





    3. 
Déterminer P(X≥25)P(X\geq 25).

      4. 




    



    5. 































Exercice 13★★

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. 




On admet que :




On note, pour tout entier naturel nn non nul :



On a donc p1=0,1p_{1} = 0,1.







Partie A - Les premières parties


    

  1. 
Montrer que p2=0,62p_{2} = 0,62. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 

    2. 




  2. 
Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.

    3. 







  3. 
Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

    4. 






Partie B - Un grand nombre de parties



    

  1. 
Compléter l'arbre de probabilité suivant :





    2. 










  2. 
Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, pn+1=15pn+35p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}. 

    3. 





  3. 
On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier nn par : un=pn−34u_n=p_n-\dfrac{3}{4}.


      

    1. 
Déterminer la nature de la suite (un)(u_n) et en déduire que pour tout entier nn :
		
	pn=34−134(15)np_{n} = \dfrac{3}{4}  - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n. 

      2. 




    2. 
Déterminer la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right) quand nn tend vers +∞+ \infty. 


      3. 




    



    4. 


























Exercice 14★★



Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :




On considère un groupe de 300300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :



On interroge au hasard une personne du groupe considéré.




On considère les événements suivants :





AA : «la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée» ;


R1R_1 : «la personne a réussi l’examen à la première présentation» ;


R2R_2 : «la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation» ;


R3R_3 : «la personne a réussi l’examen à la troisième présentation».





    

  1. 
Modéliser la situation par un arbre pondéré.


    2. 









Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.





  2. 

      


    1. 
Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.

      2. 



    2. 
Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à 13\dfrac{1}{3}.

      3. 






    3. 
La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

      4. 





    

    3. 




  3. 
On note XX la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, {X=1}\{ X=1 \} correspond à l’événement R1R_1.



      

    1. 
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire XX.

      2. 







    2. 
Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

      3. 



    




    4. 



  4. 
On choisit, successivement et de façon indépendante, nn personnes parmi les 300300 du groupe étudié, où nn est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de nn personnes parmi les 300300 personnes du groupe.


    


On admet que la probabilité de l’évènement R3R_3 est égale à 16\dfrac{1}{6}.



      

    1. 
Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à 1−(56)n1-\left(\dfrac{5}{6} \right)^n.



      2. 






On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où pp est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[]0\,;1[.




      



    2. 
Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0.9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

      3. 







    





    5. 

































Exercice 15★★


Une roue de loterie se compose de secteurs identiques de trois couleurs : rouge, vert, bleu. Tous les secteurs sont équiprobables, quel que soit le lancé.




Un joueur lance la roue.



On note :



Partie A



 la roue se compose de 12 secteurs : 3 rouges, 5 verts et 4 bleus.


    
	
  1. 
			
      
				
    1. Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous pour qu'il représente l'expérience aléatoire.
      2. 
				

      BB
      VV
      RR
      VV
      RR
      BB
      …\dots
      …\dots
      …\dots
      …\dots
      …\dots
      …\dots
      


				

				
				
    2. Calculer la probabilité d'obtenir, à la fin du jeu, un secteur bleu.
      3. 
				
				
				
			
    
	
    2. 
	
	
	
  2.  Soit XX la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.
			
			
      
				
    1. Calculer P(X=−3)P(X=-3) et P(X=−2)P(X=-2).
      2. 
				
				
				
				
    2. Donner la loi de probabilité de XX.
      3. 
				
				
				
				
				
				
    3. Est-il intéressant de jouer à ce jeu ?
      4. 
				
			
    
	
    3. 




Partie B



La roue se compose maintenant de 3 secteurs rouges, 4 secteurs bleus et nn secteurs verts, nn étant un entier naturel non nul.



Soit XnX_n la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.


    

  1. 
Montrer que pour tout entier nn, E(Xn)>0E(X_n)>0 ?

    2. 




  2. 
Le gérant de la loterie décide de rendre payant la participation à son jeu.

    

Pour une participation de 22 euros, existe-t-il une valeur de nn pour laquelle le gain moyen du gérant soit inférieur à 0,300,30 euros par partie ?

    3. 



























Exercice 16★★

Partie A






Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de 0,050,05. 




On possède un test de dépistage de cette maladie.




On considère un échantillon de nn personnes (n⩾20n \geqslant 20) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.




On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces nn individus, on teste le mélange. 




Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.




Soit XnX_n la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.




    

  1. 
Montrer XnX_n prend les valeurs 11 et (n+1)(n + 1). 

    2. 

  2. 
Prouver que P(Xn=1)=0,95nP\left(X_n = 1\right) = 0,95^n.


    

Établir la loi de XnX_n en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant: 


    

    

    
	xix_i
	11
	n+1n+1

    

    
	P(Xn=xi)P\left(X_n = x_i\right)
	
	

    

    


    


    3. 

  3. 
Que représente l'espérance de XnX_n dans le cadre de l'expérience ?


    

Montrer que E(Xn)=n+1−n×0,95nE\left(X_n\right) =n + 1 - n \times  0,95^n. 

    4. 





Partie B




    

  1. 
On considère la fonction ff définie sur [20 ;+∞[[20~; +\infty[ par f(x)=ln⁡(x)+xln⁡(0,95)f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95).


    

Montrer que ff est décroissante sur [20 ;+∞[[20~; +\infty[.

    2. 

  2. 
Montrer que lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty.

    3. 

  3. 
Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution aa sur [20 ;+∞[[20~; +\infty[. 

    

Donner un encadrement à 0,10,1 près de cette solution.

    4. 

  4. 
En déduire le signe de ff sur [20 ;+∞[[20~; +\infty[. 

    5. 




Partie C






On cherche à comparer deux types de dépistages. 




La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus. 




La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que E(Xn)<nE\left(X_n\right)  < n.




En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant 8787 personnes maximum.













































4Géométrie dans l'espace















Exercice 17★★

Soit dd la droite dont une paramétrisation est :


{x=1−2ty=3tz=−3+t,t∈R.\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & 1-2t \\
y & = & 3t \\
z & = & -3+t
\end{array}\right., t\in\mathbb{R}.





    


  1. 
Donner les coordonnées de deux points appartenant à dd.

    2. 





  2. 
Donner les coordonnées de deux vecteurs directeurs de dd.

    3. 





  3. 
Le point A(5;−6;5)A(5;-6;5) appartient-il à dd ?

    4. 




  4. 
Soit B(1;0;−9)B(1;0;-9). Le point CC milieu de [AB][AB] est-il un point de dd ?

    5. 




  5. 
Déterminer la distance ABAB.

    6. 





  6. 
Soit Δ\Delta la droite passant par BB et dirigé par u⃗(310)\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}.


    

Déterminer la position relative de dd et Δ\Delta. Préciser leur(s) éventuel(s) point(s) d'intersection.


    7. 










































Exercice 18★★

ABCDEFGH est un cube.





A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
 



I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].




On munit l'espace du repère orthonormé (A;AB→,AD→,AE→)\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right).



    


    1. 


    1. Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
      2. 





    2. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
      3. 





    




    2. 


  2. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

    3. 








  3. 
Soit MM le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées
du point MM.

    4. 























Exercice 19★★

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH de côté 11, le milieu II de [EF][EF] et JJ le symétrique de EE par rapport à FF.





D
A
B
C
H
E
F
G
J
I




Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé (A,AB→,AD→,AE→)(A, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}).



    

  1. 

      

    1. 
Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.

      2. 




    2. 
En déduire les coordonnées des vecteurs DJ→\overrightarrow{DJ}, BI→\overrightarrow{BI} et BG→\overrightarrow{BG}.

      3. 







    3. 
Montrer que DJ→\overrightarrow{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI)(BGI).

      4. 




    4. 
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (BGI)(BGI) est 2x−y+z−2=02x-y+z-2=0.

      5. 




    

    2. 






  2. 
On note dd la droite passant par FF et orthogonale au plan (BGI)(BGI).


      

    1. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.

      2. 





    2. 
On considère le point LL de coordonnées (23;16;56)\left(\dfrac{2}{3}\, ; \dfrac{1}{6}\, ; \dfrac{5}{6}\right).


      

Montrer que  LL est le point d’intersection de la droite dd et du plan (BGI)(BGI).


      3. 





    

    3. 



  3. 
On rappelle que le volume VV d'une pyramide est donné par la formule

V=13×B×hV=\frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h


où B\mathcal{B} est l'aire d’une base et hh la hauteur associée à cette base.



      

    1. 
Calculer le volume de la pyramide FBGIFBGI.

      2. 




    2. 
En déduire l'aire du triangle BGIBGI.

      3. 



    


    4. 























Exercice 20★★

On se place dans un repère orthonormée de l'espace et on considère le plan P\mathscr{P} dont une équation cartésienne est :

2x−y+z=4.2x-y+z=4.

On considère de plus les points A(6;−1;3)A(6\,;-1\,;3), B(0;0;4)B(0\,;0 \,;4), C(2;−1;−1)C(2\,;-1 \,;-1) et D(52;0;−1)D\left( \dfrac{5}{2}\,; 0\,;-1 \right).




On note dd la droite perpendiculaire à P\mathscr{P} passant par AA.


    

  1. Déterminer lesquels des points AA, BB, CC et DD appartiennent à P\mathscr{P} ?
    2. 






  2. Quelle est la nature du triangle BCDBCD ?
    3. 





  3. Donner une paramétrisation de dd.
    4. 




  4. 
Déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonale de AA sur P\mathscr{P}.

    5. 




  5. En déduire le volume du tétraèdre ABCDABCD.
    6. 






























Exercice 21★★


Dans un repère de l'espace on considère le plan P\mathscr{P} dont une équation cartésienne est :

x−2y+z=5.x-2y+z=5.


On considère de plus le point A(5;0;−6)A(5\,;0\,;-6) et B(1;−2;0)B(1\,;-2\,;0).



    


  1. 
Justifier que le point BB appartient à P\mathscr{P}.

    2. 




  2. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd, perpendiculaire à P\mathscr{P} et passant par AA.

    3. 






  3. 
Déterminer les coordonnées de CC intersection de dd et P\mathscr{P}.

    4. 





  4. 
Soit MM un point de dd. 

    
Montrer qu'il existe t∈Rt\in\mathbb{R} tel que :  cos⁡(MB→,MC→)\cos\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right) == 6t2−12t+66t2−12t+56\sqrt{\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56}}.

    5. 




  5. 
Déterminer lim⁡t→+∞6t2−12t+66t2−12t+56\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56} }.



    

Que peut-on en déduire pour l'angle (MB→,MC→)\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right) lorsque MM s'éloigne de CC ?

    6. 


























Exercice 22★

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗, j⃗,k⃗)(\text{O}\,; \vec{i},\ \vec{j}\, , \vec{k}), on considère les points:

A\text{A} de coordonnées (2 ; 0 ; 0)(2~;~0~;~0), B\text{B} de coordonnées (0 ; 3 ; 0)(0~;~3~;~0) et C\text{C} de coordonnées
(0 ; 0 ; 1).(0~;~0~;~1).



A
B
C
O






L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.




    


  1. 

      

    1. 


Montrer que le vecteur n⃗(326)\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix} est normal au plan (ABC).

      2. 

    2. 
En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : 3x+2y+6z−6=03x + 2y + 6z - 6 = 0.

      3. 


    

    2. 


  2. 
On note dd la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC). 


      

    1. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.

      2. 

    2. 
Montrer que la droite dd coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées (1849 ; 1249 ; 3649)\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right).

      3. 

    3. 
Calculer la distance OH.

      4. 


    
 

    3.    

  3. 
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: V=13BhV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h, où B\mathcal{B} est l'aire d'une
base et hh est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.


    

En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.


    4. 





















Exercice 23★★







Dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k}) on considère : 



Le but de cet exercice est de déterminer le point de dd le plus proche du point AA et d’étudier quelques propriétés de ce point.




On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.




A
B
C
zz
xx
yy
i⃗\vec{i}
j⃗\vec{j}
k⃗\vec{k}
u⃗\vec{u}
OO








    

  1. 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd. 

    2. 


  2. 
Soit tt un nombre réel quelconque, et MM un point de la droite dd, le point MM ayant pour coordonnées (t ; t ; 0)(t~;~t~;~0).


      

    1. 
On note AMAM la distance entre les points AA et MM. Démontrer que: 

AM2=2t2−8t+14.AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.


      2. 

    2. 
Démontrer que le point M0M_0 de coordonnées (2 ;2 ;0)(2~;2~; 0) est le point de la droite dd pour lequel la distance AMAM est minimale. 


      

On admettra que la distance AMAM est minimale lorsque son carré AM2AM^2 est minimal. 

      3. 

    

    3. 

  3. 
Démontrer que les droites (AM0)(AM_0) et dd sont orthogonales. 

    4. 


  4. 
On appelle A′A' le projeté orthogonal du point AA sur le plan d'équation cartésienne z=0z = 0. Le point A′A' admet donc pour coordonnées (1 ;3 ;0)(1~;3~;0). 


    

Démontrer que le point M0M_0 est le point du plan (AA′M0)(AA'M_0) le plus proche du point OO, origine du repère. 


    5. 

  5. 
Calculer le volume de la pyramide OM0A′AOM_0A'A. 


    

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: V=13BhV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h, où B\mathcal{B} est l'aire  d'une base et hh est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

    6.