Centres étrangers 10 juin 2021 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Question 1
On considère la fonction $g$ définie sur $]0\, ; +\infty[$ par $g(x)= x^2+ 2x - \dfrac{3}{x}$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:
  1. $y=7(x - 1)$.
  2. $y = x - 1$.
  3. $y = 7x + 7$.
  4. $ y = x +1$.
Question 2
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{3n}{n + 2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  1. $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 1$.
  2. $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 3$.
  3. $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac{3}{2}$.
  4. On ne peut pas la déterminer.
Question 3
Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement $10$ tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d'avoir $4$ boules noires et $6$ boules rouges?
  1. $0,166\,2$.
  2. $0,4$.
  3. $0,111\,5$.
  4. $0,888\,6$.
Question 4
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\text{e}^x - x$.
  1. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$.
  2. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty $.
  3. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -\infty$.
  4. On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Question 5
Un code inconnu est constitué de $8$ signes.
Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc $36$ signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
  1. environ 0,3 seconde.
  2. environ 8 heures.
  3. environ 3 heures.
  4. environ 470 heures.
5 points Au 1er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait $10\,560$ panneaux solaires.
On observe, chaque année, que $2$ % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que $250$ nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10\,560$ et, pour tout entier naturel $n,\,$ $u_{n+1} = 0,98u_n +250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l'année $2020 +n$.
    1. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
    2. On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à $12\,000$.
      À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
    3. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier. u = 10560 n = 0 while ......: u = ... n = ...
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant 12\,500$.
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 12\,500$, pour tout entier naturel $n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont on précisera le premier terme.
    2. Exprimer, pour tout entier naturel $n,\,$ $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire, pour tout entier naturel $n,\,$ $u_n$ en fonction de $n$.
    4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
      Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0\,; +\infty[$ par $$f(x) = 12\,500 - 500 \text{e}^{-0,02x+1,4},$$ où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020.
  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera $12\,000$.
5 points $ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$.
Il existe donc $a \in [0\,;1]$ tel que $\overrightarrow{CJ} =a \overrightarrow{CG}$.
On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.
On note $K$ et $L$ les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.
On se place dans le repère $\left(A\,; \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a = \dfrac{2}{3}$
  1. Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    1. Montrer que le point de coordonnées $\left(0\,; 0 \,;\dfrac{2}{3}\right)$ est le point $K$.
    2. Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.
    1. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
    2. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.
    3. Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré ?
Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(0\, ; 0\,;1- \dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0~;1~;\dfrac{a}{2}\right)$.
On rappelle que $a \in [0~;1]$.
  1. Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.
  2. Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
  3. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un losange ? Justifier.
  4. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.
5 points Partie A

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$.
On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.
On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange.
Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.
  1. Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n + 1)$.
  2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
    Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant:
    $x_i$ $1$ $n+1$
    $P\left(X_n = x_i\right)$
  3. Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ?
    Montrer que $E\left(X_n\right) =n + 1 - n \times 0,95^n$.
Partie B
  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20~; +\infty[$ par $f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95)$.
    Montrer que $f$ est décroissante sur $[20~; +\infty[$.
  2. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
  3. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[20~; +\infty[$.
    Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.
  4. En déduire le signe de $f$ sur $[20~; +\infty[$.
Partie C

On cherche à comparer deux types de dépistages.
La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.
En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum. 5 points Partie A : Détermination d'une fonction $f$ et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = \text{e}^x+ ax + b\text{e}^{-x}$$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine $O$, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
  1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
  2. En utilisant l'expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    1. Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.
    2. Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
    3. En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$.
  4. On considère l'équation différentielle : $$(E):\quad y' +y =2\text{e}^x - x - 1$$
      Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}.$$ est solution de l'équation $(E)$.
    1. Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$.
    2. En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$.
Partie B : Étude de la fonction $g$ sur $[1~;~+\infty[$
  1. Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $$\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right).$$
  2. En déduire une expression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
  3. On admettra que, pour tout $x \in [1 \,; +\infty[,\,$ $\text{e}^x - 2 > 0$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1~; +\infty[$.