Terminale ∼ Spécialité mathématique
Limites de fonctions Limites d'une fonction en l'infini Une fonction peut avoir trois types de comportement lorsque la variable tend vers l'infini. Limite finie Nous allons donner ici une définition précise à la notion intuitive qui est, qu'une fonction possède une limite finie $\ell$ en $+\infty$, lorsque les images peuvent être aussi proches de $\ell$ que souhaité si la variable est assez grande. -- Fonction possédant une limite finie en l'infini
Soient $f$ une fonction et $\ell$ un réel. On dit que la fonction $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}$. Cette définition est à rapprocher de celle de la limite d'une suite donnée dans le cours sur les suites numériques. Nous avons une définition similaire lorsque la variable tend vers $-\infty$.

Interprétation graphique
Déplacer les points A et B et faire glisser le graphe (shift+souris) Lorsque l'intervalle vert encadre la limite (en pointillés), nous voyons, en faisant glisser le graphique vers la droite, que pour $x$ assez grand, toutes les images sont dans cet intervalle. Et ce même si l'intervalle est proche de la limite. Il faudra alors glisser très loin vers la droite. -- Asymptote horizontale à une courbe
Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$, telle que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}$.
On dit alors que la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. Dans le graphique précédent la courbe de la fonction et son asymptote semblent de plus en plus proches lorsque les abscisses sont de plus en plus grandes.
Si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\ell}$, on parle également d'asymptote horizontale en $-\infty$.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}}$ $=$ $0$,
  2. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^n}}$ $=$ $0$,
  3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $=$ $0$.
Limite infinie -- Fonction possédant une limite infinie en l'infini
Soient $f$ une fonction. On dit que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, si tout intervalle du type $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}$. On a une définition similaire lorsque la variable tend vers $-\infty$, ou lorsque la limite est $-\infty$. On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty}$ ou encore $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty}$.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x}$ $=$ $+\infty$.
  2. Pour $n\geq 1$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^n}$ $=$ $+\infty$.
  3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$ $+\infty$.
  4. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x}$ $=$ $-\infty$.
  5. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}$ $=$ $-\infty$.
  6. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$.
  7. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$.
  8. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$.
Aucune limite Certaines fonctions ne possèdent aucune limite quand la variable tend vers l'infini. Une fonction qui oscille régulièrement n'admet pas de limite en l'infini.
Limites en un réel Limite finie -- Fonction possédant une limite finie en un réel
Soient $f$ une fonction, $a$ et $\ell$ deux réels. On dit que la limite de $f$ en $a$ est égale $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell}$. Certaines fonctions possèdent une limite en un réel, même si ce réel ne fait pas partie de l'ensemble de définition.
On a ici une fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=}$ $0,2$.
On peut remarquer que cette fonction n'est pas définie en $2$, mais pourtant, pour $x$ suffisamment proche de $2$ les nombres $f(x)$ sont aussi proches que l'on veut de $0,2$. Limite infinie -- Fonction possédant une limite infinie en un réel
Soient $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que $f$ diverge vers $+\infty$ en $a$ si tout intervalle ouvert de la forme $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$. On a une définition similaire pour une fonction divergeant vers $-\infty$. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$\$\{1\}$ par $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{(x-1)^2}}$.
On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{(x-1)^2}=}$ $+\infty$.
En effet, lorsque $x$ est proche de $1$, $(x-1)^2$ est proche de $0$, tout en étant positif. Et, plus un nombre est proche de $0$, plus son inverse en est éloigné. Par exemple : $0,000\,1$ est proche de $0$, alors que son inverse $\dfrac{1}{0,000\,1}$ $=$ $10\, 000$ en est éloigné.
Déplacer le graphique (shift+souris) pour observer la position de la courbe et de la droite d'équation $x=1$ Nous remarquons sur ce graphique que la courbe se rapproche de la droite verticale d'équation $x=1$. On parle ici d'asymptote verticale. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$\$\{2\}$ par $\displaystyle{h(x)=\frac{1}{x-2}}$.
On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^+}\frac{1}{x-2}=}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{1}{x-2}=}$ $-\infty$.
L'écriture $x\rightarrow2^+$ signifie que $x$ se rapproche de $2$, en étant plus grand que $2$.
On peut également noter cela : $x\overset{>}{\longrightarrow}2$ et dire que $x$ se rapproche de $2$ par valeurs supérieures.
Et justement, dans ce cas, si $x\overset{>}{\longrightarrow}2$ alors $x-2\rightarrow 0$, en étant positif. Donc son inverse se rapproche bien de $+\infty$.
Et si : $x\overset{<}{\longrightarrow}2$ alors $x-2\rightarrow 0$, en étant négatif. Son inverse se rapproche alors de $-\infty$.
Sur ce graphique nous pouvons à nouveau observer une asymptote verticale d'équation $x=1$. Voici maintenant quelques exemples classiques à retenir.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}}$ $=$ $-\infty$.

  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$.

  3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}}$ $=$ $+\infty$.
Récapitulatif sur la notion d'asymptote On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soient de plus $a$ et $b$ des nombres réels.
Limite Interprétation graphique
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$
ou

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}$
La droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b}$
ou

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b}$
La droite d'équation $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$.
Méthode pour déterminer une limite Limite d'une somme On considère dans le tableau suivant deux fonctions $f$ et $g$ dont on connaît les limites (soit en un réel, soit en l'infini).
On s'intéresse alors à la limite de la fonction $f+g$.
La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction $f$ converge vers un réel $\ell$ et qu'une fonction $g$ converge vers un réel $\ell'$, alors la fonction $f+g$ converge vers le réel $\ell+\ell'$.
$\lim f$ $\ell$ $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim g$ $\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim f+g$ $\ell+\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Nous allons observer plusieurs exemples où $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty}$ et pourtant $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}$ donnera des résultats différents. Pour $f(x)=x^2+3$ et $g(x)=-x^2$, on a bien :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}$ $-\infty$.
Et on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}=$ $3$. Pour $f(x)=x^2$ et $g(x)=-4x^2$, on a bien :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}$ $-\infty$.
Et on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} -3x^2}$ $=$ $-\infty$.

Nous pourrions trouver d'autres exemples avec encore d'autres résultats pour la limite de $f+g$. Ainsi on ne peut pas "prévoir" à l'avance le résultat de la limite. D'où l'expression "forme indéterminée".
Limite d'un produit Nous procédons ici de même que pour la somme en présentant les résultats sous forme de deux tableaux, les possibilités étant plus nombreuses.

La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction $f$ converge vers un réel $\ell$ et qu'une fonction $g$ converge vers un réel $\ell'$, alors la fonction $f\times g$ converge vers le réel $\ell\times\ell'$.
$\lim f$ $\ell$ $\ell>0$ $\ell>0$ $\ell<0$ $\ell<0$
$\lim g$ $\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$
$\lim f\times g$ $\ell\times\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$

$\lim f$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
$\lim g$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ou $-\infty$
$\lim f\times g$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ Forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Comme pour la limite d'une somme, nous allons ici donner deux exemples donnant des résultats différents. Pour $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}$ et $g(x)=x$, on a bien :

$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) =}$ $0$ et $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x) =}$ $+\infty$.
Et on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x}{x}}$ $=$ $1$. Pour $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}$ et $g(x)=x^3$, on a bien :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}$ $+\infty$.

Et on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^2}$ $=$ $+\infty$. Lorsqu'une forme indéterminée se présente, il faut effectuer des calculs, travailler sur les expressions algébriques pour lever l'indétermination et trouver la limite. Il ne faudra donc pas se contenter d'écrire qu'il y a une forme indéterminée et ne plus rien faire.
Limite d'un quotient Nous allons donner ici aussi deux tableaux, le premier sera pour un quotient dont le dénominateur à une limite non nulle.

$\lim f$ $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\infty$
$\lim g$ $\ell'\neq0$ $\infty$ $\ell'>0$ $\ell'<0$ $\ell'>0$ $\ell'<0$ $\infty$
$\lim\dfrac{f}{g}$ $\dfrac{\ell}{\ell'}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ Forme indéterminée

Limite d'un quotient dont le dénominateur à une limite nulle.
$\lim f$ $\ell>0$ $\ell>0$ $\ell<0$ $\ell<0$ $0$
$\lim g$ $0^+$ $0^-$ $0^+$ $0^-$ $0$
$\lim \dfrac{f}{g}$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ Forme indéterminée
Calculer : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1-2x^3}{1+\dfrac{1}{x}}}$. Nous avons que : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}$ $=$ $-\infty$ donc : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1-2x^3}$ $=$ $+\infty$.
De plus : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$, donc : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1+\dfrac{1}{x}}$ $=$ $1$.

Ainsi, par quotient de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1-2x^3}{1+\frac{1}{x}}}$ $=$ $+\infty$. Calculer : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3-10x}$. On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} 10x=}$ $+\infty$.
Nous sommes donc en présence d'une forme indéterminée. Pour comprendre la méthode qui va suivre, il faut avoir l'intuition que $x^3$ va exploser beaucoup plus vite que $10x$. Ainsi c'est sans doute $x^3$ qui va l'emporter. Pour cela, nous allons le mettre en facteur dans l'expression algébrique.
$x^3-10x$ $=$ $x^3\left( 1 - \dfrac{10x}{x^3}\right)$ $=$ $x^3\left( 1- \dfrac{10}{x^2}\right)$.
On a alors que :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =}$ $+\infty$, et :
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty} 1 - \dfrac{10}{x^2}}$ $=$ $1 -0$ $=$ $1$.

On peut alors conclure, par produit de limites :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3-10x}$ $=$ $+\infty$. Calculer : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}}$. Le numérateur possède une forme indéterminée qui ressemble à celle de l'exercice précédent. Nous allons y mettre $x^2$ en facteur.
La limite devrait donc être $+\infty$ au numérateur, mais également au dénominateur. Ceci est à nouveau une forme indéterminée. Nous allons pour cela mettre en facteur le terme de plus haut degré, au numérateur et au dénominateur.

$\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}$ $=$ $\dfrac{ x^2\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ x\left( 3+\frac{1}{x} \right) }$ $=$ $\dfrac{ x\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ 3+\frac{1}{x} }$.

On a alors : Par quotient de limites, on obtient :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}}$ $=$ $+\infty$.
Limite de fonctions polynômes et rationnelles en l'infini Les méthodes utilisées dans la résolution des exercices précédents peuvent être généralisées à tous polynômes et fonctions rationnelles (c'est-à-dire quotient de plynômes) lorsqu'on cherche une limite en $+\infty$ ou $-\infty$.
ATTENTION ! Ces propriétés sont valables uniquement lorsque la variable tend vers l'infini. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3-x^2+8}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3}$ $=$ $-\infty$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-3x^2+1}{3x^6-x+4}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3}{3x^6}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{3x^3}}$ $=$ $0$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x-1}{x+1}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{x}}$ $=$ $2$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2+11}{x-1}}$ $=$ $\displaystyle{\frac{4^2+11}{4-1}}$ $=$ $\dfrac{27}{3}$ $=$ $9$.
Limites de fonctions composées -- Fonction composée
Soit $v$ est une fonction définie sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que, pour tout réel $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$.

On appelle fonction composée $v\circ u$ la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $I$ par :

$f(x)$ $=$ $v \circ u(x)$ $=$ $v(u(x)).$ Si pour tout réel $x>0$ : $f(x)=\sqrt{x+1}$, alors $f$ est la composée des fonctions $u$ et $v$ définies par : $u(x)= x+1$ et $v(x)= \sqrt{x}$. Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies pour tout réel $x$ par : $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$.
Déterminer les expressions algébriques des fonctions : $u\circ v$ et $v\circ u$. Pour tout réel $x$ :

$u\circ v(x)$ $=$ $u(v(x))$ $=$ $u(x+1)$ $=$ $(x+1)^2$ $=$ $x^2+2x+1$.

$v\circ u(x)$ $=$ $v(u(x))$ $=$ $v(x^2)$ $=$ $x^2+1$. La composition des fonctions n'est pas une opération commutative. C'est-à-dire que de manière générale : $u\circ v$ $\neq$ $v\circ u$. -- Limite d'une fonction composée
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles que $f=g\circ h$.

Si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} h(x)=b}$ et $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c}$, alors on a :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(h(x))}$ $=$ $c.$ Déterminer : $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{ \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 } } }$. La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$, avec $u(x)$ $=$ $\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }$.
Nous allons donc, tout d'abord, déterminer la limite de $\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }$ en $-\infty$.
Puisque la fonction $u$ est une fonction rationnelle et que l'on cherche une limite en l'infini, on utilise la propriété qui nous permet de ne conserver que les termes de plus haut degré.
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4 }{ x^2}}$ $=$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$.

Or, $\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\sqrt{X}}$ $=$ $+\infty$, ainsi par composition de limites :
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }}}$ $=$ $+\infty$.
Théorème de comparaison et d'encadrement des limites -- Comparaison de limites
Si pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$, et si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}$,
alors, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty$.
La courbe de la fonction $f$ est toujours au-dessus de celle de la fonction $g$, qui elle monte de plus en plus. Nécessairement la fonction $f$ aura des valeurs globalement de plus en plus grandes. -- Encadrement de limites (ou théorème des gendarmes)
Si pour $x$ assez grand, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$, et si avec $\ell\in\mathbb{R}$ :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}v(x)}$ $=$ $\ell$,

alors, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}$ $=$ $\ell$.
La courbe de la fonction $f$ est "emprisonnée" par celles des fonctions $g$ et $h$, qui se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre. Les valeurs de la fonction $f$ sont donc de plus en plus proches de la limite commune des fonctions $g$ et $h$. On peut écrire des propriétés similaires lorsque la variable tend vers $-\infty$ ou encore un réel $a$ pour le théorème des gendarmes.
Limite en l'infini de la fonction exponentielle
Courbe représentative de la fonction exponentielle
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x}$ $=$ $+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}$ $=$ $0$. Preuve
Pour tout entier $n$, $(\text{e}^n)$ est une suite géométrique de raison $\text{e}$ $>1$, ainsi $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n}$ $=$ $+\infty$.
Il nous reste à démontrer la limite lorsque la variable est un nombre réel.
Soit $A>0$, puisque $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n}$ $=$ $+\infty$, il existe donc $n_0$, tel que pour tout $n\geq n_0$, $\text{e}^n$ $\in$ $]A\,;+\infty[$.
Pour tout réel $x\geq n_0$, il existe un entier $n$ compris entre $n_0$ et $x$. C'est-à-dire $x\geq n$ et puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a : $\text{e}^x\geq\text{e}^n$.
Comme $n\geq n_0$, on a $\text{e}^n \in ]A;+\infty[$ et on en déduit $\text{e}^x\in]A;+\infty[$.
Ce qui démontre bien que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x = +\infty}$.

Pour la limite en $-\infty$ on procède par changement de variable.
On pose $X=-x$ et on a alors :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}X}$ $=$ $+\infty$ et $\text{e}^x=\text{e}^{-X}$ $=$ $\dfrac{1}{\text{e}^X}$.

Ainsi :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}$ $=$ $\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^X}}$ $=$ $0$ d'après ce qui précéde. -- Croissances comparées --
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$ $=$ $+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord que pour tout réel $x\geq 0$, : $\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1$.

On définit pour tout réel $x$ la fonction $\phi$ par : $\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1$.
Le but étant de montrer que $\phi$ est positive sur $[0;+\infty[$.

Pour tout réel $x$, on a $\phi'(x)$ $=$ $\text{e}^x - x - 1$.
On a de plus que $\phi''(x)$ $=$ $\text{e}^x-1$ et puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et que $\text{e}^0$ $=$ $1$, on a que pour tout $x\geq0$, $\phi''(x)\geq 0$.
Ainsi, la fonction $\phi'$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.
Or, $\phi'(0)$ $=$ $\text{e}^0-0+1$ $=$ $0$, donc pour tout $x\geq0$, $\phi'(x)\geq 0$.

Ainsi, la fonction $\phi$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

Or, $\phi(0)$ $=$ $\text{e}^0 - 1$ $=$ $0$, donc, pour tout $x\geq0$, $\phi(x)\geq 0.$
C'est-à-dire, que pour tout réel $x\geq0$, $\text{e}^x$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}x^2+x+1$.
Pour tout $x>0$, on obtient alors :
$\dfrac{\text{e}^x}{x}$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{1}{x}$.
Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x}$ $=$ $+\infty$, et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$, donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$.
Par comparaison de limites, on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$ $=$ $+\infty$.

Preuve du point 2
Il suffit d'appliquer à nouveau le changement de variable $X=-x$.
En effet, $x\rightarrow-\infty$, si et seulement si $X\rightarrow +\infty$, et $\text{e}^x$ $=$ $\dfrac{1}{\text{e}^X}$.
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} x\text{e}^x}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} -\dfrac{X}{\text{e}^X}}$ $=$ $0$ d'après le point 1. -- Croissances comparées --
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}}$ $=$ $+\infty$,

  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord, par récurrence, que : pour tout entier $n$, pour tout réel $x>0$, $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.

Initialisation.
Pour $n=0$, $\dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!}$ $=$ $x$, et nous savons que $\text{e}^x$ $\geq$ $x+1$ $\geq$ $x$.
La propriété est bien vérifiée pour $n=0$.

Hérédité.
Supposons que pour un certain entier $n$, $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, et montrons alors que : $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}$.
Pour cela, posons, pour tout $x$, $\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}$, et montrons que la fonction $\phi$ ainsi définie est positive pour $x>0$.

On a : $\phi'(x)$ $=$ $\text{e}^x - (n+2)\dfrac{x^{n+1}}{(n+2)!}$ $=$ $\text{e}^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ $\geq$ $0$ par hypothèse de récurrence.
La fonction $\phi$ est donc croissante sur $[0\,;+\infty[$, et puisque $\phi(0)$ $=$ $\text{e}^0-\dfrac{0^{n+2}}{(n+2)!}$ $=$ $1$, pour tout $x\geq0 $, $\phi(x)\geq0$. Ainsi, pour tout $x\geq0$, $\text{e}^x$ $\geq$ $\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}$. Ce qui démontre bien l'hérédité.

Conclusion.
D'après le proncipe de récurrence on a, pour tout entier $n$, pour tout réel $x\geq0$, $\text{e}^x\geq\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.
Ainsi, pour tout entier $n$, pour tout $x>0$, $\dfrac{\text{e}^x}{x^n}\geq\dfrac{x}{(n+1)!}$, et puisque $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{(n+1)!}}$ $=$ $+\infty$, par comparaison de limites, nous avons bien que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n}}$ $=$ $+\infty$.

Preuve du point 2
On procède à nouveau à l'aide du changement de variable $X=-x$.
Formulaire Dans le formulaire ci-dessous le nombre $n$ est un entier naturel non nul.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $+\infty$ 		$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x }$ $=$ $+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $0$ 		$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^x }$ $=$ $0$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} }$ $=$ $+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^n\text{e}^{-x} }$ $=$ $0$ 4 		4 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^{x}} }$ $=$ $0$