Terminale Générale ∼ DM n°1 Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=\sqrt{1+0,1u_n^2}$ et $u_0=2$.

1. Donner les valeurs approchées à $10^{-3}$ de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $\,\,\,0\leq u_{n+1}\leq u_n$.
3. Que peut-on déduire de la question précédente pour la suite $(u_n)$ ?
4. Soit $v_n$ la suite définie pour tout entier $n$ par $v_n=-\dfrac{10}{9}+u_n^2$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. Montrer que pour tout entier $n$ : $u_n=\dfrac{1}{3}\sqrt{10+26\times(0,1)^n}$.
   4. Montrer alors que la limite $\ell$ de $(u_n)$ est une des solutions de l'équation $x=\sqrt{1+0,1x^2}$.
5. Question bonus (très difficile) :
   Montrer que pour tout entier $n$ : $u_n=\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$, où $11\dots114$ est un nombre s'écrivant avec $n$ chiffres $1$.

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites définies par $u_0=20$, $v_0=60$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}$ et $v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{4}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche les 101 premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$. u = 20 v = 60 print([0,u,v]) for i in range(1,101): u_prec = u u = ... v = (...+2*v)/4.0 print([i,u,v])
3. Montrer que les suites $(u_n+v_n)$ et $(v_n-u_n)$ sont géométriques.
4. Exprimer $u_n+v_n$ et $v_n-u_n$ en fonction de $n$.
5. En déduire l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
6. Déterminer la limite de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.