DM ∼ Probabilités Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsqu'un sondage permet la découverte de vestiges, il est dit positif.
On note $V_n$ l'événement : « le $n^{\text{ième}}$ sondage est positif » et $p_n$ sa probabilité.

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :

• si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif;
• si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_1=1$.

1. Calculer les probabilités des événements suivants :
   
   $A$ : « les deuxième et troisième sondages sont positifs »;
   
   $B$ : « les deuxième et troisième sondages sont négatifs ».
   
   On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
2. Calculer la probabilité $p_3$ pour que le troisième sondage soit positif.
3. Le nombre $n$ désigne un entier naturel, $n\geq2$.
   1. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
   2. Établir pour tout entier naturel $n$ non nul, que $p_{n+1} = 0,5p_n+0,1$.
4. On note $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=p_n-0,2$.
   1. Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique.
   2. Exprimer $u_n$, puis $p_n$ en fonction de $n$.
   3. Calculer la limite de la suite $(p_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat.
   4. Écrire un algorithme Python pour déterminer le premier entier $n$ tel que $p_n<0,2-10^{-12}$.
      On pourra s'inspirer de la correction de l'exercice 1 du cours n°1.

Soit $b$ un entier naturel choisi aléatoirement entre $1$ et $10$.
On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $f$, pour tout $x$ par : $$f(x)=(x+b)\text{e}^{-bx}.$$

1. Montrer que pour tout $x$, $f'(x)=(1-b^2-bx)\text{e}^{-bx}$.
2. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
3. Justifier que $f$ atteint son maximun en $x=\dfrac{1}{b}-b$.
4. Quelle est la probabilité que $f$ ne soit pas majorée par $1\,000$ ?

Soient $a$ et $c$ deux entiers choisis aléatoirement entre $0$ et $10$.
Quelle est la probabilité que le polynôme $P(x)=ax^2+5x+c$ possède deux racines distinctes ?