DM ∼ Géométrie Exercice 1 ∼ Géométrie plane Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(3;2)A(-3\,;2) et B(5;1)B(5\,;-1).
On cherche à déterminer l'ensemble Γ\Gamma des points du plan, que l'on note P\mathscr{P}, qui vérifie : Γ={MP,(3MA+2MB)(MA2MB)=0}.\Gamma = \{ M\in\mathscr{P}, \, (3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB})=0 \}. On définit de plus les points GG et HH par les égalités vectorielles : AG=25AB\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} et AH=2AB\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AB}.
  1. Montrer que 3GA+2GB=03\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0} et que HA2HB=0\overrightarrow{HA}-2\overrightarrow{HB}=\vec{0}.
  2. En déduire que MΓM\in\Gamma si et seulement si MGMH=0\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH}=0.
  3. Déterminer et construire Γ\Gamma.
Exercice 2 ∼ Géométrie dans l'espace Dans un repère de l'espace on considère les points A(1;1;4)A(1\,;-1 \,;-4) et B(6;0;3)B(6\,;0 \,;3).
On définit de plus les droites d1d_1 et d2d_2 à l'aide des paramétrisations suivantes :
M(x;y;z)d1M(x;y;z) \in d_1 \Longleftrightarrow {x=12ty=2+3tz=4t\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & -1 -2t \\ y & = & 2 + 3t \\ z & = & 4t \end{array} \right.  pour tR\text{ pour } t\in \mathbb{R}
et
M(x;y;z)d2M(x;y;z) \in d_2 \Longleftrightarrow {x=8+7ty=42tz=3+3t\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & -8+7t' \\ y & = & 4-2t' \\ z & = & -3+ 3t' \end{array} \right.  pour tR\text{ pour } t'\in \mathbb{R}.
  1. Déterminer une représentation paramètrique de la droite (AB)(AB).
  2. Montrer que AA est un point de d1d_1 et BB un point de d2d_2.
  3. Montrer que les droites d1d_1 et d2d_2 sont sécantes en un point CC dont on déterminera les coordonnées.
  4. Soit MM un point quelconque de (AB)(AB). Montrer qu'il existe un réel tt tel que CM2=75t242t+26CM^2=75t^2-42t+26.
  5. En utilisant la question précédente, déterminer l'aire du triangle ABCABC.
Exercice 3 ∼ Géométrie dans l'espace Soit tt un réel strictement positif.
Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points A(t;0;0)A( t\,; 0\,; 0), B(0;1+1t;0)B\left( 0\,; 1+\dfrac{1}{t}\,; 0\right) et C(0;0;1+1t)C\left( 0\,; 0\,; 1+\dfrac{1}{t}\right).
  1. Construire une figure, en faisant apparaître le tétraèdre OABCOABC, pour t=2t=2.
  2. Pour quelle valeur de tt le volume de OABCOABC est-il minimal ?