DM ∼ GéométrieExercice 1∼ Géométrie plane
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(−3;2) et B(5;−1).
On cherche à déterminer l'ensemble Γ des points du plan, que l'on note P, qui vérifie :
Γ={M∈P,(3MA+2MB)⋅(MA−2MB)=0}.
On définit de plus les points G et H par les égalités vectorielles : AG=52AB et AH=2AB.
Montrer que 3GA+2GB=0 et que HA−2HB=0.
En déduire que M∈Γ si et seulement si MG⋅MH=0.
Déterminer et construire Γ.
Exercice 2∼ Géométrie dans l'espace
Dans un repère de l'espace on considère les points A(1;−1;−4) et B(6;0;3).
On définit de plus les droites d1 et d2 à l'aide des paramétrisations suivantes :
M(x;y;z)∈d1⟺⎩⎨⎧xyz===−1−2t2+3t4t pour t∈R
et
M(x;y;z)∈d2⟺⎩⎨⎧xyz===−8+7t′4−2t′−3+3t′ pour t′∈R.
Déterminer une représentation paramètrique de la droite (AB).
Montrer que A est un point de d1 et B un point de d2.
Montrer que les droites d1 et d2 sont sécantes en un point C dont on déterminera les coordonnées.
Soit M un point quelconque de (AB). Montrer qu'il existe un réel t tel que CM2=75t2−42t+26.
En utilisant la question précédente, déterminer l'aire du triangle ABC.
Exercice 3∼ Géométrie dans l'espace
Soit t un réel strictement positif.
Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points A(t;0;0), B(0;1+t1;0) et C(0;0;1+t1).
Construire une figure, en faisant apparaître le tétraèdre OABC, pour t=2.
Pour quelle valeur de t le volume de OABC est-il minimal ?