DM ∼ Géométrie 1∼ Géométrie plane Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-3\,;2)$ et $B(5\,;-1)$.
On cherche à déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points du plan, que l'on note $\mathscr{P}$, qui vérifie : $$\Gamma = \{ M\in\mathscr{P}, \, (3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB})=0 \}.$$ On définit de plus les points $G$ et $H$ par les égalités vectorielles : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AB}$.
  1. Montrer que $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ et que $\overrightarrow{HA}-2\overrightarrow{HB}=\vec{0}$.
  2. En déduire que $M\in\Gamma$ si et seulement si $\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH}=0$.
  3. Déterminer et construire $\Gamma$.
1∼ Géométrie dans l'espace Dans un repère de l'espace on considère les points $A(1\,;-1 \,;-4)$ et $B(6\,;0 \,;3)$.
On définit de plus les droites $d_1$ et $d_2$ à l'aide des paramétrisations suivantes :
$M(x;y;z) \in d_1$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & -1 -2t \\ y & = & 2 + 3t \\ z & = & 4t \end{array} \right.$ $\text{ pour } t\in \mathbb{R}$
et
$M(x;y;z) \in d_2$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & -8+7t' \\ y & = & 4-2t' \\ z & = & -3+ 3t' \end{array} \right.$ $\text{ pour } t'\in \mathbb{R}$.
  1. Déterminer une représentation paramètrique de la droite $(AB)$.
  2. Montrer que $A$ est un point de $d_1$ et $B$ un point de $d_2$.
  3. Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $C$ dont on déterminera les coordonnées.
  4. Soit $M$ un point quelconque de $(AB)$. Montrer qu'il existe un réel $t$ tel que $CM^2=75t^2-42t+26$.
  5. En utilisant la question précédente, déterminer l'aire du triangle $ABC$.
1∼ Géométrie dans l'espace Soit $t$ un réel strictement positif.
Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points $A( t\,; 0\,; 0)$, $B\left( 0\,; 1+\dfrac{1}{t}\,; 0\right)$ et $C\left( 0\,; 0\,; 1+\dfrac{1}{t}\right)$.
  1. Construire une figure, en faisant apparaître le tétraèdre $OABC$, pour $t=2$.
  2. Pour quelle valeur de $t$ le volume de $OABC$ est-il minimal ?