DM ∼ Arithmétique Triplets pythagoriciens Soient $x$, $y$ et $z$ trois entiers naturels. On considère l'équation $(E)$ : $$x^2+y^2=z^2.$$ Toute solution dans $\mathbb{N}$ de $(E)$ est appelé triplet pythagoricien.

1. Montrer que $(3\,;4\,;5)$ est un triplet pythagoricien puis déterminer un triplet pythagoricien dont un des termes vaut $500$ et les autres sont non nuls.
2. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, dont on expliquera les lignes 5 et 6, déterminer la probabilité qu'un triplet soit un triplet pythagoricien lorsque chacun des nombres le composant est compris entre $0$ et $100$.
from math import floor, sqrt c = 0 for i in range(0,101): for j in range(0,101): if sqrt(i**2+j**2) == floor(sqrt(i**2+j**2)): if i**2+j**2 < 10001: c = c+1 print(c)
3. Montrer qu'un triplet pythagoricien ne contenant pas $0$ ne peut contenir deux termes identiques.
4. Soit $(x\,;y\,;z)$ un triplet pythagoricien et $d$ un diviseur commun à $x$, $y$ et $z$.
   Montrer que $\left(\dfrac{x}{d}\,; \dfrac{y}{d} \,; \dfrac{z}{d} \right)$ est un triplet pythagoricien.
5. Soient $u$ et $v$ deux entiers naturels tels que $u>v$. Montrer que le triplet $(u^2-v^2 \, ; 2uv \,; u^2+v^2)$ est un triplet pythagoricien.
6. À partir de la question précédente, déterminer un triplet pythagoricien dont tous les termes sont supérieurs à $1\,000$ en détaillant les calculs.

Égalité de Sophie Germain Pour tout entier naturel $n$, on définit le nombre $P(n)=n^4+4$ et on cherche à déterminer pour quelles valeurs de $n$, $P(n)$ est premier.

1. Déterminer si $P(15)$ et $P(17)$ sont des nombres premiers ou non.
2. Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels. Montrer que : $$n^4+4m^4 = (n^2+2m^2+2mn)(n^2+2m^2-2mn).$$
3. En déduire une factorisation pour $P(n)$.
4. Déterminer alors que $n^4+4$ est premier si et seulement si $n=1$.
5. Démontrer que $4^{545}+545^4$ n'est pas premier.