DM ∼ Géométrie dans l'espace Dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère les points $\text{A}(-3~;~1~;~3)$, $\text{B}(2~;~2~;~3),\,$ $\text{C}(1~;~7~;~-1), \,$ $\text{D}(-4~;~6~;~-1)$ et $\text{K}(-3~;~14~;~14).$

1. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}},\: \overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{AD}}$.
   2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
   3. Calculer l'aire du rectangle ABCD.
2. 1. Justifier que les points A, B et D définissent un plan.
   2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2~;~10~;~13)$ est un vecteur normal au plan (ABD).
   3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).
3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.
   2. Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).
   3. Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut $\sqrt{273}$.
4. Calculer le volume $V$ de la pyramide KABCD. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule: $$V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.$$