Document de travail pour le voyage à Lisbonne Autour des mathématiques La ville de Lisbonne fut durant les XV$^{\text{e}}$ et XVI$^{\text{e}}$ siècles un centre scientifique d'importance en Europe. Les rois du Portugal en ont fait leur capitale en 1255, à la fin de la période musulmane, et son port va alors jouer un rôle d'importance pour son essort. Les constructeurs de navires vont réussir la prouesse technique d'augmenter les capacités de tonnage sur cette période. Les bateaux pourront alors posséder une puissance d'artillerie bien supérieure à tout ce qui existait à l'époque, et pourront également transporter bien plus de marchandises.
À cette époque se généralise en Europe, et notamment au Portugal, le mouvement universitaire, qui cherche en sciences à obtenir des textes grecs que seuls des savants arabes avaient pu récupérer et améliorer. Certains sont même originaux et ne doivent rien aux penseurs antiques.
Le Portugal possédait alors la technologie et les connaissances scientifiques pour pouvoir traverser les étendues océaniques et se lancer dans les Grandes Découvertes. Il est en effet nécessaire pour naviguer sur des mers inconnues d'être capable de rapidement constituer des cartes, mais aussi de se situer sur la Terre grâce à l'astronomie et aux instruments de mesure associés. La volonté politique de conquêtes économiques va créer un besoin en scientifiques. C'est ainsi qu'un grand nombre de cartographes et d'astronomes se rendent à Lisbonne durant le XV$^{\text{e}}$, tel le génois Bartolomeo Colombo qui s'installe à Lisbonne au début des années 1470 en tant que cartographe et qui y sera rejoint par son frère Cristoforo en 1477. Portrait présumé de Christophe Colomb (Cristoforo Colombo) Cependant, même si le Roi João III refuse le projet d'expédition de Christophe Colomb, ce n'est pas qu'il ne croit pas qu'un trajet par l'ouest vers la Chine n'existe pas, il sait que la Terre est ronde, mais surtout, car ses propres cartographes l'ont averti que la Terre est bien plus grande que ce Colomb annonce. Un tel voyage, sans escale, était alors impossible pour les navires de l'époque. Ce n'est donc pas par ignorance que le Portugal n'a pas découvert le continent américain, mais bien à cause d'une connaissance plus fine des dimensions du monde que les autres puissances européennes.
Concernant les mathématiques, la cartographie et l'astronomie exploitent les domaines de la géométrie sphérique et de la trigonométrie. La Terre étant supposée sphérique à l'époque il faut travailler avec une autre géométrie que celle du plan, une géométrie de la sphère. Mais pour établir des cartes il faut réaliser des transformations qui permettent d'applatir une sphère, et comme nous le verrons cela ne peut se faire sans contrainte. Mappemonde de Diego Ribeo de 1529
Cliquer pour l'afficher en plein écran Par ailleurs, depuis l'Antiquité, la façon la plus pratique d'étudier les astres est de considérer que le ciel est en forme de voute, et que toutes les étoiles et planètes visibles sont inscrites sur une sphère que l'on observe depuis son centre. Pour noter les positions observées il faut utiliser des angles et la trigonométrie est donc nécessaire pour exploiter les données récoltées.
De nombreux instruments d'observation sont utilisés depuis l'Antiquité. La civilisation arabo-musulmane va contribuer à leurs développements et les Portugais vont généraliser leur emploi durant la période des Grandes Découvertes.
Les rois du Portugal vont créer des cabinets de physique regroupant de tels instruments, mais la plupart d'entre eux furent perdus et détruits durant le grand seisme du 1er novembre 1755 à Lisbonne. Astrolabe portugais datant de 1555 Boussole marine Quadrant de navigation
Challenge durant le voyage :
La géométrie sphérique La géométrie sphérique est une géométrie non euclidienne dans laquelle les objets appartiennent à un cercle. Les points de cette géométrie sont ceux de la sphère, mais la notion de droite n'est plus identique. En effet, la droite (au sens de la géométrie classique) reliant deux points de la sphère n'est pas sur la sphère. C'est la notion de « grand cercle » qui se substitue en partie à celle de « droite ».
On considère dans toute cette partie une sphère $\mathcal{S}$ de l'espace de centre $O$.
Soient $A$ et $B$ deux points de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $O$.
Un grand cercle passant par $A$ et $B$ est un cercle de centre $O$ passant par $A$ et $B$. On remarque que si $A$ et $B$ sont diamétralement opposés alors il existe une infinité de grands cercles passant par $A$ et $B$. Ce sont tous les cercles obtenus par l'intersection entre la sphère et tous les plans passant par la droite $(AB)$. On est ici dans la situation où $A$ et $B$ représentent par exemple le pôle nord et le pôle sud. Tous les méridiens correspondent à des demi-grands cercles.
Par contre, si les points $A$ et $B$ ne sont pas diamétralement opposés, alors le grand cercle passant par $A$ et $B$ est unique. C'est l'intersection entre le plan $(AOB)$ et la sphère.
Soient $A$ et $B$ deux points de la sphère $\mathcal{S}$.
Le plus court chemin entre $A$ et $B$ sur $\mathcal{S}$ est la longueur du plus petit arc du grand cercle passant par $A$ et $B$. Cette plus petite longueur correspond à ce que nous appelons la distance à « vol d'oiseau ».
On peut donc définir la distance en géométrie sphérique entre deux points d'une sphère comme la longueur du plus court chemin les reliant. On l'appelle distance orthodromique.
Si on définit un système de repérage basé en longitude et latitude sur une sphère de rayon $R$, alors on peut donner une formule pour obtenir la distance entre deux points.
Ainsi, la distance $D$ entre deux points dont on connaît les latitudes $\delta$ et $\delta'$, et les longitudes respectives $\lambda$ et $\lambda'$, vaut :
$$D=R \arccos\left( \sin\left( \delta \right)\sin\left( \delta' \right)+\cos(\delta)\cos(\delta')\cos\left( \lambda'-\lambda\right) \right).$$
Les coordonnées de Créteil sont : $\delta = 48,778\,2^{\circ}$ et $\lambda = 2,454\,3^{\circ}$.
Celles de Lisbonne sont : 11 $\delta' = 38,716\,7^{\circ}$ et $\lambda' = -9,133\,3^{\circ}$.
La distance à « vol d'oiseau » entre Créteil et Lisbonne est donc, d'après la formule précédente :
$$D=R \arccos\left(\sin(48,778\,2)\sin(38,716\,7)+\cos(48,778\,2)\cos(38,716\,7)\cos(-11,587\,6) \right).$$
En prenant $R\approx 6\,371$ km pour le rayon terrestre, on obtient une distance Créteil/Lisbonne de : $D\approx 1\,452$ km.

Si vous essayez d'effectuer ces opérations sur vos calculatrices, il y aura peut-être un problème avec la fonction arccos qui ne fonctionne pas toujours très bien avec des angles en degrés. Il vaut donc mieux tous les convertir en radians auparavant.
Soient $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ deux grands cercles distincts de la sphères $\mathcal{S}$.
On a alors que $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont sécants en exactement deux points diamétralement opposés. Ainsi, deux grands cercles ne sont jamais « parallèles » au sens de droites parallèles de la géométrie euclidienne.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de $\mathcal{S}$.
Le grand cercle passant par $A$ et $B$ est composé de deux arcs allant de $A$ à $B$. On note $\overset{\frown}{AB}$ le plus court des deux.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de $\mathcal{S}$.
Le triangle sphérique $ABC$ est constitué des trois arcs $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{Ac}$ et $\overset{\frown}{BC}$.
Soit $ABC$ un triangle sphérique.
Les plans $AOB$ et $AOC$ forment quatre angles dont un qui est « intérieur » au triangle. On l'appelle l'angle associé au sommet $A$.
On définit de même les angles associés au sommet $B$ et $C$. Pour définir l'angle associé à $A$ on aurait également pu imaginer les angles entre les tangentes en $A$ sur les grands cercles passant par $A$ et $B$ et par $A$ et $C$.
On peut voir qu'il existe des triangles rectangles, birectangles (avec deux angles droits) et trirectangles (avec trois angles droits).
Soit $ABC$ un triangle sphérique dont les mesures en radians des angles associés à chacun des sommets $A$, $B$ et $C$ sont notées respectivement $a$, $b$ et $c$.
L'aire $\mathcal{A}$ du triangle $ABC$ vérifie $$\mathcal{A}=R^2(a+b+c-\pi),$$ avec $R$ le rayon de la sphère. L'aire d'un triangle trirectangle vaut donc $R^2\left( \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\pi \right)$ $=$ $\dfrac{\pi}{2}R^2$.
Or, l'aire de la sphère est égale à $4\pi R^2$, ainsi l'aire d'un triangle trirectangle représente $\dfrac{1}{8}$ de celle de la sphère.

En effet, on a : $\dfrac{\frac{\pi}{2}R^2}{4\pi R^2}$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{2}}{4}$ $=$ $\dfrac{1}{8}$.

Dans la figure précédente, on peut imaginer, avec les cercles tracés, la sphère découpée en huit triangles trirectangles (quatre dans l'hémisphère nord et quatre dans la sud).
Une aire étant un nombre positif, nous avons la propriété suivante :
Soit $ABC$ un triangle sphérique dont les mesures en radians des angles associés à chacun des sommets $A$, $B$ et $C$ sont notées respectivement $a$, $b$ et $c$.
On a alors : $$a+b+c-\pi\geq 0.$$ Comme nous l'avions déjà remarqué sur l'exemple des triangles trirectangles, cette propriété signifie donc que la somme des mesures des angles d'un triangle sphérique est toujours supérieure à $180^{\circ}$ (ou $\pi$ radians).
Soient $A$ et $B$ deux points de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $O$ et de rayon $R$.
On note $\gamma$ la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
On a alors que la longueur de $\overset{\frown}{AB}$ vaut $\gamma R$.
Soit $ABC$ un triangle sphérique. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{BOC}$, $\beta$ celle de $\widehat{AOC}$ et $\gamma$ celle de $\widehat{AOB}$.
On dit alors que le triangle $ABC$ est de côtés $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$. Cette définition est justifiée par le fait que les longueurs des côtés $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{AC}$ et $\overset{\frown}{BC}$ sont toutes proportionnelles au rayon $R$ et valent respectivement $\alpha R$, $\beta R$ et $\gamma R$. La seule connaissance des angles par rapport au centre de la sphère définit donc la longueur de chaque côté.
Soit $ABC$ un triangle sphérique de côtés $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ et d'angles $a$, $b$ et $c$ associés aux sommets $A$, $B$ et $C$. On a alors : La géométrie sphérique possède encore de nombreux résultats et d'autres formules mais nous ne pouvons tous les exposer ici. Nous laissons le soin aux lectrices et lecteurs curieux de les découvrir par eux-mêmes.
Challenge :
La cartographie Construire une carte revient à représenter les points d'une sphère à plat sur un plan. Il existe de nombreuses façon de procéder mais aucune des méthodes ne pourra se faire sans déformation. Il est en effet impossible, par exemple, d'enlever l'écorce d'une orange et de la mettre à plat sans la déformer.
Les premiers cartographes grecs ont utilisé des transformations géométriques. La projection cylindrique par exemple imagine un cylindre qui entoure une sphère. À tout point $A$ de la sphère on peut associer un point $A'$ situé sur un diamètre de la sphère parallèle à la hauteur du cylindre tel que $(AA')$ soit perpendiculaire à ce diamètre. Le projeté du point $A$ est alors le point d'intersection entre la demi-droite $[A'A)$ et le cylindre. Pour la Terre, on peut décider d'orienter le cylindre parallèlement à l'axe passant par les pôles ou non. On obtient avec les projections cylindriques des cartes comme ci-dessous : On remarque qu'il y a une forte déformation lorsqu'on s'éloigne de l'équateur.
Un autre type de projection toujours construite à partir d'une méthode géométrique est la projection azimutale où on construit un plan tangent à la sphère et où chaque point du globe y est projeté orthogonalement. La projection gnomonique quand à elle considère également un plan tangent à la sphère. On trace la demi-droite d'origine le centre de la sphère et passant par un point du globe. Le point d'intersection avec le plan donne le projeté du point. Seul un hémisphère ne peut cependant être cartographié avec cette projection. Il existe de nombreuses autres projections et toutes déforment d'une façon particulière la réalité de la sphère. Cependant certaines propriétés peuvent être conservées et on classe les projections de la façon suivante : Chaque projection possède donc ses propres avantages et inconvénients et le cartographe qui les utilise effectue un choix en fonction de ceux-ci.
À l'heure actuelle les projections ne sont pas obtenues par des procédés géométriques mais à l'aide de formules. Le principe est, à partir d'un point de la sphère connu par deux coordonnées sphériques $(\lambda\,;\varphi)$, d'obtenir un point de coordonnées cartésiennes $(x\,;y)$ sur un plan.
Les coordonnées sphériques $(\lambda\,;\varphi)$ s'appellent longitude et la latitude et correspondent aux angles du schéma ci-dessous : Sur Terre, un point de l'équateur a pour latitude $\varphi = 0$ et un point du méridien de Greenwich a pour longitude $\lambda = 0$.
En fonction de la projection considérée on obtiendra les coordonnées du points $(x\,;y)$ du plan de la carte à partir d'une formule sur les coordonnées $(\lambda\,;\varphi)$ duquel il est issu. On aura parfois besoin de valeurs particulières $(\lambda_0 \,;\varphi_0)$ pour centrer la carte sur ces coordonnées et non pas en $(0\,;0)$. Le logo de l'ONU a été par exemple choisi pour être centré au pôle nord (avec $\lambda_0=0$ et $\varphi_0=90^{\circ}$) et ainsi ne favoriser aucun pays.
Généralement les formules s'obtiennent à l'aide de méthodes trigonométriques, en voici quelques exemples dans lesquels on note $R$ le rayon de la sphère et où les angles sont exprimés en radians et non pas en degrés.

Projection gnomonique
Valable pour $\varphi > 0$. $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & R \cot(\varphi)\sin(\lambda) \\\\ y & = & -R \cot(\varphi)\cos(\lambda) \end{array} \right.$$ Projection cylindrique équidistante $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \cos(\varphi_0)(\lambda-\lambda_0) \\\\ y & = & \varphi-\varphi_0 \end{array} \right.$$ Projection équivalente cylindrique de Lambert $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \lambda-\lambda_0 \\\\ y & = & \sin(\varphi) \end{array} \right.$$ Projection de Mercator $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & R(\lambda-\lambda_0) \\\\ y & = & R\ln\left(\tan\left( \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi}{2} \right)\right) \end{array} \right.$$ Projection de Bonne
On pose $\rho=\cot(\varphi_0)+\varphi_0-\varphi$ et $E=\dfrac{\cos(\varphi)}{\rho}(\lambda-\lambda_0)$. $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \rho\sin(E) \\\\ y & = & \cot(\varphi_0)-\rho\cos(E) \end{array} \right.$$ De l'Antiquité jusqu'à la Renaissance l'association entre points du plan et coordonnées n'existe pas. Il faudra attendre pour cela les idées révolutionnaires de Descartes du XVIIe siècle. Les formules précédentes ne sont pas utilisées et pourtant ces projections existaient et étaient répandues. Les cartographes de ces époques possédaient donc une maîtrise empirique des mathématiques qui leurs permettaient de répondre à des problématiques de conservation locale des angles, des distances ou des surfaces.
Il est aussi remarquables de voir que différentes projections ont traversé les époques en étant utilisés depuis l'Antiquité sans discontinuité. On retrouve ici aussi la circulation des savoirs de la Grèce antique vers la civilisation musulmane et un retour vers l'Europe.
Challenge durant le voyage :
Pedro Nunes Pedro Nunes, dont le nom latin est Petrus Nonius, est le premier grand mathématicien portugais connu. Il est né en 1502 à Alcácer do Sal, à une centaine de kilomètres au sud-est de Lisbonne, et est mort en 1518 à Coimbra, ville universitaire située à 200 km de Lisbonne. L'Université de Lisbonne avait déménagée définitivement vers Coimbra en 1537, du vivant donc de Pedro Nunes, suite à des tensions avec les étudiants.
Nous n'avons que peu d'information sur la biographie de Pedro Nunes. Nous savons qu'il était issu d'une famille juive convertie au christianisme, à une époque où l'inquisition exerçait son emprise dans la péninsule. Il entre à l'université de Salamanque en Espagne autour de 1517, où il dût étudier la philosophie, la médecine, la géographie, l'astronomie et les mathématiques. Il se marie en Espagne et retourne au Portugal. Il finit vraissemblablement ses études dans l'université de Lisbonne et une fois diplomé, en 1525, il y enseigne la morale, la philosophie, la logique et la métaphysique. L'université de Salamanque en Espagne En 1537, lorsque l'université déménage pour rejoindre Coimbra, Nunes enseigne les mathématiques. Jusqu'à ce moment les mathématiques n'étaient pas une discipline indépendante et étaient incorporées au cursus de médecine, mais le roi João III, poussé par les nobles du pays, demanda à Nunes de former les pilotes à la navigation océanique, qui sans maîtrise des mathématiques était impossible.
Il est remarquable de constater qu'à la même époque en France, François Ier, accède à la demande de Guillaume Budé, de créer le Collège de France, où seront données pour la première fois des leçons de mathématiques gratuites, ouvertes à tout public. Oronce Fine, cartographe du roi de France, sera le premier lecteur royal occupant la chaire de mathématiques, et sera l'adversaire, à distance, de Pedro Nunes.
Pedro Nunes devient en 1529 cosmographe royal, puis premier cosmographe du roi en 1547. Il conservera cette fonction jusqu'à sa mort. Le roi João III lui confie également l'éducation de ses frères cadets puis de son petit-fils, le futur roi Dom Sebastião. Portrait de João III en tant que patron des Universités de Coimbra Au début de sa carrière Nunes va traduire et commenter des œuvres d'autres scientifiques, ce qui était une pratique classique depuis le Moyen-Âge en Europe, mais il va par la suite rédiger ses propres ouvrages. En effet, les connaissances mathématiques et astronomiques sont incomplètes dans leurs applications à la navigation. Pedro Nunes va faire des apports d'importances dans ces sciences. Il s'inscrit en cela dans l'esprit de la Renaissance, où, dans les domaines scientifiques, on cherche à collecter l'ensemble des connaissances possibles, à les réorganiser et, parfois, à les dépasser. Mais surtout, on souhaite partager ces savoirs en imprimant des ouvrages autant en latin qu'en langue vernaculaire. Nunes va donc publier des livres écrits en latin, mais aussi en espagnol et portugais.
Voici une liste de certaines de ces œuvres originales, dans lesquelles on peut observer qu'il maîtrise la géométrie sphérique de son époque.
Challenge durant le voyage :
Les pavages du plan et le musée des Azulejos Voici une vidéo expliquant la classification des pavages du plan.
Challenge au musée des Azulejos :
Prendre en photo des azulejos contenant :