Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Mercredi 18 mai 2022
Sujet Centres Étrangers Exercice 1
7 points
 Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur : Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques. On admet que: On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements : Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante   Partie A
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité P(J∩C)P(J \cap C).
  3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,1120,112.
  4. Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à 10−310^{-3}.
  5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 1515 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
  Partie B On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,1120,112.
On considère un échantillon de 3030 skieurs choisis au hasard.
Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi t'option coupe-file.
  1. On admet que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
  2. Calculer la probabilité qu'au moins un des 3030 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10−310^{-3}.
  3. Calculer la probabilité qu'au plus un des 3030 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10−310^{-3}.
  4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire XX.
Exercice 2
7 points
 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
  1. Un récipient contenant initialement 11 litre d'eau est laissé au soleil. Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 1515 %. Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
    1. 22 heures,
    2. 88 heures,
    3. 99 heures,
    4. 1313 heures.
  2. On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ par f(x)=4ln⁡(3x)f(x) = 4\ln (3x). Pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ , on a :
    1. f(2x)=f(x)+ln⁡(24)−ln⁡(32)f(2x) = f(x) + \ln (24) - \ln \left(\frac32\right),
    2. f(2x)=f(x)+ln⁡(16)f(2x) = f(x) + \ln (16),
    3. f(2x)=ln⁡(2)+f(x)f(2x) = \ln (2) + f(x),
    4. f(2x)=2f(x)f(2x) = 2f(x).
  3. On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]1 ; +∞[]1~;~+\infty[ par : g(x)=ln⁡(x)x−1.g(x) = \dfrac{\ln (x)}{x - 1}. On note Cg\mathcal{C}_g la courbe représentative de la fonction gg dans un repère orthogonal. La courbe Cg\mathcal{C}_g admet :
    1. une asymptote verticale et une asymptote horizontale,
    2. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale,
    3. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale,
    4. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.


    4. Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction hh définie sur l'intervalle ]0~;~2] par: h(x)=x2(1+2ln⁡(x)).h(x) = x^2(1 + 2\ln (x)). On note Ch\mathcal{C}_h la courbe représentative de hh dans un repère du plan.
    On admet que hh est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2]]0~;~2].
    On note h′h' sa dérivée et h′′h'' sa dérivée seconde.
    On admet que, pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; 2]]0~;~2], on a : h′(x)=4x(1+ln⁡(x)).h'(x) = 4x(1 + \ln (x)).
  4. Sur l'intervalle ]1e ; 2]\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~2\right], la fonction hh s'annule :
    1. exactement 00 fois,
    2. exactement 11 fois,
    3. exactement 22 fois,
    4. exactement 33 fois.
  5. Une équation de la tangente à Ch\mathcal{C}_h au point d'abscisse e\sqrt{\text{e}} est:
    1. y=(6e12)xy = \left(6\text{e}^{\frac12}\right) {} x ,
    2. y=(6e)x+2ey = \left(6\sqrt{\text{e}}\right){} x + 2\text{e},
    3. y=6ex2y = 6\text{e}^{\frac{x}{2}},
    4. y=(6e12)x−4ey = \left(6\text{e}^{\frac12}\right){} x - 4\text{e}.
  6. Sur l'intervalle ]0 ; 2]]0~;~2], le nombre de points d'inflexion de la courbe Ch\mathcal{C}_h est égal à :
    1. 00,
    2. 11,
    3. 22,
    4. 33.
  7. On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie pour tout entier naturel nn par un+1=12un+3etu0=6.u_{n+1} = \dfrac12u_n + 3\quad \text{et}\quad u_0 = 6. On peut affirmer que :
    1. la suite (un)\left(u_n\right) est strictement croissante,
    2. la suite (un)\left(u_n\right) est strictement décroissante,
    3. la suite (un)\left(u_n\right) n'est pas monotone,
    4. la suite (un)\left(u_n\right) est constante.
Exercice 3
7 points
   Partie A On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par: f(x)=1+x−e0,5x−2.f(x) = 1+x - \text{e}^{0,5x - 2}. On admet que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R}. On note f′f' sa dérivée.
    1. Déterminer la limite de la fonction ff en −∞- \infty.
    2. Démontrer que, pour tout réel xx non nul, f(x)=1+0,5x(2−e0,5x0,5x×e−2)f(x) = 1+ 0,5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \text{e}^{-2}\right).
      En déduire la limite de la fonction ff en +∞+\infty.
    1. Déterminer f′(x)f'(x) pour tout réel xx.
    2. Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation f′(x)<0f'(x) < 0 est l'intervalle ]4+2ln⁡(2) ; +∞[]4 + 2\ln (2)~;~+\infty[.
  3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction ff sur R\mathbb{R}. On fera figurer la valeur exacte de l'image de 4+2ln⁡(2)4 + 2\ln (2) par ff.
  4. Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [−1 ; 0][-1~;~0].
  Partie B On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=0u_0 = 0 et, pour tout entier naturel nn, : un+1=f(un)u_{n+1} = f\left(u_n\right) où ff est la fonction définie à la partie A.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a : un⩽un+1⩽4.u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.
    2. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) converge. On notera ℓ\ell la limite.
    1. On rappelle que ff vérifie la relation ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
      Démontrer que ℓ=4\ell = 4.
    2. On considère la fonction valeur écrite ci-contre dans le langage Python :
      Exécuter
      



L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 1212.


      

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.


      3. 

    


    3. 






















Exercice 4 
7 points


L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(\text{O};\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).




On considère les points A(5 ; 0 ; −1)(5~;~0~;~-1), B(1 ; 4 ; −1)(1~;~4~;~-1), C(1 ; 0 ; 3)(1~;~0~;~3), D(5 ; 4 ; 3)(5~;~4~;~3) et E(10 ; 9 ; 8)(10~;~9~;~8).


    

  1. 

      


    1. 
Soit R le milieu du segment [AB].
		
Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}}.

      2. 
	

    2. Soit P1\mathcal{P}_1 le plan passant par le point R et dont AB→\overrightarrow{\text{AB}} est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan P1\mathcal{P}_1 est:

x−y−1=0.x - y - 1 = 0.


      3. 


    3. 
Démontrer que le point E appartient au plan P1\mathcal{P}_1 et que EA = EB .

      4. 


    

    2. 

  2. 
On considère le plan P2\mathcal{P}_2 d'équation cartésienne x−z−2=0x - z - 2 = 0.


      

    1. 
Justifier que les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 sont sécants.

      2. 

    2. 
On note Δ\Delta la droite d'intersection de P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2.


      

Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta est :

{x=2+ty=1+tz=t(t∈R).\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2+t\\
y&=&1+t \\
z&=&t\end{array}\right.(t \in \mathbb{R}).


      3. 


    

    3. 

  3. 
On considère le plan P3\mathcal{P}_3 d'équation cartésienne y+z−3=0y + z - 3 = 0.


    

Justifier que la droite Δ\Delta est sécante au plan P3\mathcal{P}_3 en un point Ω\Omega dont on déterminera les coordonnées.

    4. 


    


Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans P1\mathcal{P}_1, P2\mathcal{P}_2 et P3\mathcal{P}_3 sont les plans médiateurs respectifs des
segments [AB], [AC] et [AD].


  4. 

      

    1. 
Justifier que ΩA=ΩB=ΩC=ΩD\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}.

      2. 

    2. 
En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.

      3. 


    


    5.