Terminale ∼ Spécialité mathématique
Livret de révision
1Suites numériques Exercice 1 On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=10000u_0 = 10\,000 et pour tout entier naturel nn : un+1=0,95un+200.u_{n+1} = 0,95u_n + 200.
  1. Calculer u1u_1 et vérifier que u2=9415u_2 = 9\,415.
    1. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel nn : un>4000.u_n > 4\,000.
    2. On admet que la suite (un)\left(u_n\right) est décroissante. Justifier qu'elle converge.
  2. Pour tout entier naturel nn, on considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie par: vn=un4000v_n = u_n - 4\,000.
    1. Calculer v0v_0.
    2. Démontrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est géométrique de raison égale à 0,950,95.
    3. En déduire que pour tout entier naturel nn : un=4000+6000×0,95n.u_n = 4\,000 + 6\,000 \times 0,95^n.
    4. Quelle est la limite de la suite (vn)\left(v_n\right) ? Justifier la réponse.
  3. En 2020, une espèce animale comptait 1000010\,000 individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 55 % chaque début d'année.
    Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
    Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : « l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population » .
    Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
Exercice 2 On s'intéresse au développement d'une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité 0,30,3 de mourir sans descendance et une probabilité 0,70,7 de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu'elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel nn, on appelle pnp_n la probabilité d'obtenir au plus nn descendances pour une bactérie.
On admet que, d'après ce modèle, la suite (pn)\left(p_n\right) est définie de la façon suivante :
p0=0,3p_0 = 0,3 et, pour tout entier naturel nn, pn+1=0,3+0,7pn2.p_{n+1} = 0,3 + 0,7p_n^2.
  1. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite (pn)\left(p_n\right)
    1. Déterminer les valeurs exactes de p1p_1 et p2p_2 (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.
    2. Quelle est la probabilité, arrondie à 10310^{-3} près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?
    3. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite (pn)\left(p_n\right).
  2. A B
    11 nn pnp_n
    22 00 0,30,3
    33 11
    44 22
    55 33 0,407695620,407\,695\,62
    66 44 0,4163510,416\,351
    77 55 0,421343710,421\,343\,71
    88 66 0,424271370,424\,271\,37
    99 77 0,426004330,426\,004\,33
    1010 88 0,427035780,427\,035\,78
    1111 99 0,427651690,427\,651\,69
    1212 1010 0,428020180,428\,020\,18
    1313 1111 0,428240890,428\,240\,89
    1414 1212 0,428373180,428\,373\,18
    1515 1313 0,428452510,428\,452\,51
    1616 1414 0,428500090,428\,500\,09
    1717 1515 0,428528630,428\,528\,63
    1818 1616 0,428545750,428\,545\,75
    1919 1717 0,428556020,428\,556\,02
    1. Démontrer par récurrence sur nn que, pour tout entier naturel n,0pnpn+10,5n,\: 0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant0,5.
    2. Justifier que la suite (pn)\left(p_n\right) est convergente.
  3. On appelle LL la limite de la suite (pn)\left(p_n\right).
    1. Justifier que LL est solution de l'équation 0,7x2x+0,3=0.0,7x^2 - x + 0,3 = 0.
    2. Déterminer alors la limite de la suite (pn)\left(p_n\right).
  4. La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les nn premiers termes de la suite (pn)\left(p_n\right).
    Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction suite (n) retourne, sous forme de liste, les nn premiers termes de la suite.
Exercice 3★★ Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 1200012\,000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 6000060\,000 individus.

Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 55% par an.
L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn)\left(v_n\right)vnv_n représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en 2016+n2016 + n. On a donc v0=12v_0 = 12.

  1. Déterminer la nature de la suite (vn)\left(v_n\right) et donner l'expression de vnv_n en fonction de nn.
  2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=12u_0 = 12 et, pour tout entier naturel nn : un+1=1,1605un2+1,1unu_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n.

  1. On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=1,1605x2+1,1x.g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.
    1. Justifier que gg est croissante sur [0;60][0;60].
    2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation g(x)=xg(x) = x.
  2. On remarquera que un+1=g(un)u_{n+1} = g\left(u_n\right).
    1. Calculer la valeur arrondie à 10310^{-3} de u1u_1. Interpréter.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0unun+1550 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 55.
    3. En déduire la convergence de la suite (un)\left(u_n\right).
    4. Justifier que la limite \ell de la suite (un)\left(u_n\right) vérifie g()=g(\ell) = \ell.
      En déduire la valeur de \ell et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
  3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 5000050\,000 individus avec ce second modèle.
    Il utilise l'algorithme incomplet suivant.
    Compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier rr tel que ur  50u_r~\geq~50.
Exercice 4★★ Soit (un)\left(u_n\right) la suite définie par u0=1u_0 = - 1 et, pour tout entier naturel nn : un+1=0,9un0,3.u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=2×0,9n3\:u_n = 2 \times 0,9^n - 3.
    2. En déduire que pour tout nN,3<un1n \in \mathbb{N},\: \: - 3 < u_n \leqslant - 1.
    3. Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) est strictement décroissante.
    4. Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) converge et préciser sa limite.
  1. On se propose d'étudier la fonction gg définie sur ]3 ; 1]]-3~;~-1] par : g(x)=ln(0,5x+1,5)x.g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.
    1. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction gg (limites, variations, image de 1-1)
      xx 3-3 2-2 1-1 interdit g(2)g(-2) g(x)g(x) interdit croissante décroissante interdit -\infty 11
      xx3-32-21-1
      g(2)g(-2)
      g(x)g(x)
      -\infty11
    2. En déduire que l'équation g(x)=0g(x) = 0 a exactement une solution que l'on notera α\alpha et dont on donnera un encadrement d'amplitude 10310^{-3}.
  2. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie pour tout N \in \mathbb{N}, par : vn=ln(0,5un+1,5).v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).
    1. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite v est arithmétique de raison ln(0,9)\ln (0,9).
    2. Soit nn un entier naturel.
      Démontrer que un=vnu_n = v_n si, et seulement si g(un)=0g\left(u_n\right) = 0.
    3. Démontrer qu'il n'existe aucun rang kNk \in \mathbb{N} pour lequel uk=αu_k = \alpha.
    4. En déduire qu'il n'existe aucun rang kNk \in \mathbb{N} pour lequel vk=ukv_k = u_k.
Exercice 5★★ En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses 50005\,000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.
En mai 2020, seuls 200200 d'entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que 8585 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (an)\left(a_n\right).
Le terme ana_n désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le nn-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi a0=200a_0 = 200.

Partie A :
  1. Calculer a1a_1.
  2. Justifier que pour tout entier naturel n,n,\, an+1=0,85an+450a_{n+1} = 0,85a_n + 450.
  3. \item On considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie pour tout entier naturel n par: vn=an3000v_n = a_n - 3\,000.
    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est une suite géométrique de raison 0,850,85.
    2. Exprimer vnv_n en fonction de nn pour tout entier naturel nn.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel n,n,\, an=2800×0,85n+3000a_n = - 2\,800 \times 0,85^n + 3\,000.
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 25002\,500, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.
Partie B :

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=5un+4un+2u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}unu_n désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de nn mois après le mois de mai 2020.
  1. Démontrer que la fonction ff définie pour tout x[0;+[x \in [0\, ; +\infty[ par f(x)=5x+4x+2f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2} est strictement croissante sur [0;+[[0 \, ; + \infty[.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 0unun+14.0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.
    2. Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.
  2. On admet que pour tout entier naturel nn, 04un3×(12)n.0 \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n. En déduire la limite de la suite (un)\left(u_n\right) et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.
2Fonctions Exercice 6 Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé : La droite TAT_A est parallèle à l’axe des abscisses. La droite TBT_B coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3;0)(3\,;0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;3)(0\,;3).
0.511.522.533.544.550.511.522.53
AA
BB
y
x
TAT_A
TBT_B
O
Cf\mathcal{C}_f
On note ff' la fonction dérivée de ff.

Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de f(1e)f'\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right) et de f(1)f'(1).
  2. En déduire une équation de la droite TBT_B.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction ff est définie sur ]0;+[]0\,;+\infty[ par : f(x)=2+ln(x)x.f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}.
  1. Par le calcul, montrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f passe par les points AA et BB et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers 00 par valeurs supérieures, et la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers ++\infty.
  3. Montrer que, pour tout x]0;+[x\in]0\,;+\infty[, f(x)=1ln(x)x2f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.
  4. Dresser le tableau de variations de ff sur ]0;+[]0\,;+\infty[.
  5. On note ff'' la fonction dérivée seconde de ff. On admet que, pour tout x]0;+[x\in]0\,;+\infty[, f(x)=1+2ln(x)x3f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}.
    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel ff est convexe.
  6. Soit FF la fonction définie sur ]0;+[]0\,;+\infty[ par F(x)=12ln2(x)+2ln(x)F(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2(x)+2\ln(x).
    1. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0;+[]0\,;+\infty[.
    2. Peut-on affirmer que FF est concave sur [e;+[[\text{e}\,;+\infty[ ?
    3. Déterminer la primitive de ff qui s'annule en e\text{e}.
Exercice 7 On considère ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=xex+1.f(x) = x\text{e}^{- x} + 1. On note Cf\mathcal{C}_{f} la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthonormé du plan et ff' la fonction dérivée de ff.
    1. Montrer que, pour tout réel x,f(x)=ex(1x)x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x).
    2. En déduire le sens de variation de ff sur R\mathbb{R}.
    1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [1 ; 0][-1~;~0].
    2. Donner un encadrement de α\alpha à 10310^{-3} près.
  1. Montrer que l'équation réduite de la tangente TT à Cf\mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 00 est y=x+1y = x + 1.
  2. L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} par rapport à TT.
    À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel xx, l'expression et le signe de f(x)f''(x)ff'' désigne la dérivée seconde de ff.
    Instruction Réponse
    1 f(x)=x*exp(-x)+1 xex+1x\text{e}^{-x}+1
    2 g(x)=Dériver( Dériver(f(x)) ) ex(x2)\text{e}^{-x}(x-2)
    3 Résoudre( g(x) >= 0 ) x2x\geq2
    1. Déterminer le sens de variation de la dérivée ff' de la fonction ff sur R\mathbb{R}.
    2. Déterminer l'intervalle de R\mathbb{R} sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave.
    3. En déduire la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} par rapport à TT sur l'intervalle ]  ; 2]]-~\infty~;~2].
  3. On souhaite maintenant déterminer la primitive FF de la fonction ff sur R\mathbb{R} qui s'annule en 00.
    On admet qu'il existe aa, bb et cc tels que pour tout réel xx, F(x)=ex(ax+b)+cx+dF(x)=\text{e}^{-x}(ax+b)+cx+d.
    1. Déterminer l'expression de F(x)F'(x) en fonction de aa, bb et cc.
    2. Justifier alors que a=b=1a=b=-1 et c=1c=1.
    3. En déduire la valeur de dd et donner l'expression algébrique de F(x)F(x).
    4. La courbe CF\mathcal{C}_F représentative de FF admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
      Justifier la réponse.
Exercice 8★★ Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j)(O,\vec{i},\vec{j}), on désigne par Cu\mathcal{C}_u la courbe représentative de la fonction uu définie sur l'intervalle ]0;+[]0;+ \infty[ par : u(x)=a+bx+cx2u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}a,ba, b et cc sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe Cu\mathcal{C}_u et la droite D\mathcal{D} d'équation y=1y = 1.
1234560.511.522.533.5−0.5−1
A
B
D\mathcal{D}
C\mathcal{C}u
On précise que la courbe Cu\mathcal{C}_u passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite D\mathcal{D} sont asymptotes à la courbe Cu\mathcal{C}_u.
  1. Donner les valeurs de u(1)u(1) et u(4)u(4).
  2. Donner limx+u(x)\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x). En déduire la valeur de aa.
  3. En déduire que, pour tout réel xx strictement positif, u(x)=x25x+4x2u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}.
Partie B
Soit ff la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[]0;+ \infty[ par : f(x)=x5lnx4x.f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.
  1. Déterminer la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers 00. On pourra utiliser sans démonstration le fait que limx0xlnx=0\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0.
  2. Déterminer la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers ++ \infty.
  3. Démontrer que, pour tout réel xx strictement positif, f(x)=u(x)f'(x) = u(x).
    En déduire le tableau de variation de la fonction ff en précisant les limites et les valeurs particulières.
Exercice 9 On considère l'équation différentielle (E):y+y=ex.(\text{E}) : \quad y'+ y = \text{e}^{- x}.
  1. Démontrer que la fonction uu définie sur l'ensemble R\mathbb{R} des nombres réels par u(x)=xexu(x) = x\text{e}^{- x} est une solution de (E).
  2. Résoudre l'équation différentielle (E0)(\text{E}_{0}) : y+y=0y'+ y = 0.
  3. Démontrer qu'une fonction vv, définie et dérivable sur R\mathbb{R}, est solution de (E)(\text{E}) si et seulement si vuv - u est solution de (E0)(\text{E}_{0}).
  4. En déduire toutes les solutions de (E)(\text{E}).
  5. Déterminer la fonction f2f_{2}, solution de (E), qui prend la valeur 22 en 00.
Exercice 10★★ L'exercice est constitué de deux parties indépendantes. Partie I On considère l'équation différentielle : (E):y+y=ex(E):\,\, y' + y = \text{e}^{-x}
  1. Soit uu la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=xexu(x) = x \text{e}^{-x}.
    Vérifier que la fonction uu est une solution de l'équation différentielle (E)(E).
  2. On considère l'équation différentielle (E):y+y=0\left(E'\right):\, y' + y = 0.
    Résoudre l'équation différentielle (E)\left(E'\right) sur R\mathbb{R}.
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)(E) sur R\mathbb{R}.
  4. Déterminer l'unique solution gg de l'équation différentielle (E)(E) telle que g(0)=2g(0) = 2.
Partie II Dans cette partie, kk est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer. On considère la fonction fkf_{k} définie sur R\mathbb{R} par : fk(x)=(x+k)ex.f_{k}(x) = (x + k) \text{e}^{-x}. Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=ex.h(x) = \text{e}^{-x}. On note CkC_{k} la courbe représentative de la fonction fkf_{k} dans un repère orthogonal et CC la courbe représentative de la fonction hh.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes CkC_{k} et CC sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
  1. Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l'une des courbes est en traits pointillés, l'autre est en trait plein. Laquelle est la courbe CC ?
  2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel kk et placer sur l'annexe à rendre avec la copie l'unité sur chacun des axes du graphique.
Annexe
Exercice 11★★★ L'exercice est constitué de deux parties indépendantes. Partie I Pour tout entier nn supérieur ou égal à 1, on désigne par fnf_{n} la fonction définie sur [0;1][0\,;\,1] par : fn(x)=xnexf_{n}(x) = x^{n} \text{e}^{x} On note CnC_{n} la courbe représentative de la fonction fnf_{n} dans un repère (O,i,j)(O,\,\vec{i},\,\vec{j}) du plan.
On désigne par (In)\left(I_{n}\right) la suite définie pour tout entier nn supérieur ou égal à 1 par : In=01xnexdx.I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \text{e}^{x} \mathrm{d} x.
    1. On désigne par F1F_{1} la fonction définie sur [0;1][0 ; 1] par : F1(x)=(x1)ex.F_{1}(x) = (x-1) \text{e}^{x}. Vérifier que F1F_{1} est une primitive de la fonction f1f_{1}.
    2. Calculer I1I_{1}.
  1. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout nn supérieur ou égal à 11 , $$I_{n + 1} = \e-(n + 1) I_{n}.$$
  2. Calculer I2I_{2}.
  3. On considère la fonction mystere écrite dans le langage Python :
    À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel mystere(5).
Partie II
  1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes C1,C2,C3,C10,C20C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{10}, C_{20} et C30C_{30}.
    00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.522.5
    C1C_1
    C2C_2
    C3C_3
    C10C_{10}
    C20C_{20}
    C30C_{30}
    1. Donner une interprétation graphique de InI_{n}.
    2. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite (In)\left(I_{n}\right) ?
  2. Montrer que pour tout nn supérieur ou égal à 1, 0Ine01xndx.0 \leq I_{n} \leq \text{e} \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{d} x.
  3. En déduire limn+In\lim\limits_{n \to + \infty} I_{n}.
Exercice 12★★★ On considère les fonctions ff et gg définies sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+ \infty[ par :\index{fonction avec exponentielle} f(x)=excos(x)etg(x)=ex.f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}. On définit la fonction hh sur [0 ; +[[0~;~+ \infty[ par h(x)=g(x)f(x)h(x) = g(x) - f(x).
Les représentations graphiques Cf,Cg\mathcal{C}_f,\: \mathcal{C}_g et Ch\mathcal{C}_h des fonctions f,gf,\: g et hh sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.
  1. Montrer que pour tout réel θ,cos(θ)+sin(θ)=2cos(θπ4)\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)
  2. Conjecturer:
    1. les limites des fonctions ff et gg en ++\infty ;
    2. la position relative de Cf\mathcal{C}_f par rapport à Cg\mathcal{C}_g ;
    3. la valeur de l'abscisse xx pour laquelle l'écart entre les deux courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g est maximal.
  3. Justifier que Cg\mathcal{C}_g est située au-dessus de Cf\mathcal{C}_f sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+ \infty[.
  4. Démontrer que la droite d'équation y=0y = 0 est asymptote horizontale aux courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
    1. On note hh' la fonction dérivée de la fonction hh sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+ \infty[.
      Démontrer que, pour tout xx de l'intervalle [0 ; +[[0~;~+ \infty[,
      h(x)=ex[2cos(xπ4)1]h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right].
    2. Justifier que, sur l'intervalle [0 ; π2]\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], 2cos(xπ4)10\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0 et que, sur l'intervalle [π2 ; 2π],\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right],
      2cos(xπ4)10 \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0.
    3. En déduire le tableau de variation de la fonction hh sur l'intervalle [0 ; 2π][0~;~2\pi].
  5. On admet que, sur l'intervalle [0 ; +[[0~;~+ \infty[, la fonction HH définie par H(x)=12ex[2+cos(x)sin(x)]H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)] est une primitive de la fonction hh.
    On note D\mathcal{D} le domaine du plan délimité par les courbes Cf\mathcal{C_f} et Cg\mathcal{C_g}, et les droites d'équations x=0x = 0 et x=2πx = 2\pi.
    Calculer l'aire A\mathcal{A} du domaine D\mathcal{D}, exprimée en unités d'aire.
Exercice 13★★★ Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB][AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point TT que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM][EM] perpendiculaire à la droite (AB)(AB) sauf en EE. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points AA et BB sur la figure.
Terrain vu de dessus
E
M
A
B
T
xx
Ligne médiane
Limite du terrain
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle ATB^\widehat{ATB} le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point TT sur le segment [EM][EM] pour laquelle l'angle ATB^\widehat{ATB} est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note xx la longueur ETET, qu'on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM=50EM = 50 m, EA=25EA = 25 m et AB=5,6AB = 5,6 m . On note α\alpha la mesure en radian de l'angle ETA^\widehat{ETA}, β\beta la mesure en radian de l'angle ETB^\widehat{ETB} et γ\gamma la mesure en radian de l'angle ATB^\widehat{ATB}.
  1. En utilisant les triangles rectangles ETAETA et ETBETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tanα\tan \alpha et tanβ\tan \beta en fonction de xx.
    La fonction tangente est définie sur l'intervalle ]0 ; π2[\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ par tanx=sinxcosx\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.
  2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; π2[\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[.
  3. L'angle ATB^\widehat{ATB} admet une mesure γ\gamma appartenant à l'intervalle ]0 ; π2[\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.
    On admet que, pour tous réels aa et bb de l'intervalle ]0 ; π2[\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[, tan(ab)=tanatanb1+tana×tanb\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b}.

    Montrer que tanγ=5,6xx2+765\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}.
  4. L'angle ATB^\widehat{ATB} est maximum lorsque sa mesure γ\gamma est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0 ; 50]]0~;~50] de la fonction ff définie par : f(x)=x+765xf(x)= x+ \dfrac{765}{x}.
    Montrer qu'il existe une unique valeur de xx pour laquelle l'angle ATB^\widehat{ATB} est maximum et déterminer cette valeur de xx au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle ATB^\widehat{ATB} à 0,010,01 radian près.
Exercice 14★★★ Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par: f(x)=ex(cosx+sinx+1)  et  g(x)=excosx.f(x) = \text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{~~et~~} g(x) = -\text{e}^{-x}\cos x. On admet que les fonctions ff et gg sont dérivables sur R\mathbb{R}.
Partie A — Étude de la fonction ff
  1. Justifier que, pour tout xRx\in\mathbb{R} : exf(x)3ex.-\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.
  2. En déduire la limite de ff en ++\infty.
  3. Démontrer que, pour tout xRx\in\mathbb{R}, f(x)=ex(2cosx1)f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)ff' est la fonction dérivée de ff.
  4. Dans cette question, on étudie la fonction ff sur l'intervalle [π ; π][-\pi~;~\pi].
    1. Déterminer le signe de f(x)f'(x) pour xx appartenant à l'intervalle [π ; π][-\pi~;~\pi].
    2. En déduire les variations de ff sur [π ; π][-\pi~;~\pi].
Partie B — Aire du logo
On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les représentations graphiques des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé (O;i,j)(O\,;\, \vec{i}\,,\, \vec{j}). L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.
  1. Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f par rapport à la courbe Cg\mathcal{C}_g sur R\mathbb{R}.
  2. Soit HH la fonction définie sur R\mathbb{R} par : H(x)=(cosx2sinx21)ex.H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. On admet que HH est une primitive de la fonction x(sinx+1)exx\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x} sur R\mathbb{R}.
    On note D\mathcal{D} le domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, la courbe Cg\mathcal{C}_g est les droites d'équation x=π2x=-\frac{\pi}{2} et x=3π2x=\frac{3\pi}{2}.
    1. Hachurer le domaine D\mathcal{D} sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    2. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine D\mathcal{D}, puis en donner une valeur approchée à 10210^{-2} près en cm2^{2}.
Annexe
01234−10.511.522.5−0.5−1−1.5
Cf\mathcal{C}_f
Cg\mathcal{C}_g
Exercice 15★★★ On considère les suites (xn)\left(x_{n}\right) et (yn)\left(y_{n}\right) définies pour tout entier naturel nn non nul par : xn=01tncostdtetyn=01tnsintdt. x_{n} = \int_{0}^1 t^n \cos t\:\text{d}t \quad \text{et}\quad y_{n} = \int_{0}^1 t^n \sin t\:\text{d}t .
    1. Montrer que la suite (xn)\left(x_{n}\right) est à termes positifs.
    2. Étudier les variations de la suite (xn)\left(x_{n}\right).
    3. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn)\left(x_{n}\right) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel nn non nul, xn1n+1x_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
    2. En déduire la limite de la suite (xn)\left(x_{n}\right).
    1. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel nn non nul, xn+1=(n+1)yn+sin(1)x_{n+1} = -(n + 1)y_{n} + \sin (1).
    2. En déduire que limn+yn=0\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_{n} = 0.
  1. On admet que, pour tout entier naturel nn non nul, yn+1=(n+1)xncos(1)y_{n+1} = (n + 1)x_{n} - \cos (1).
    Déterminer limn+nxn\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n x_{n} et limn+nyn.\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n y_{n}.
Exercice 16★★★ Les courbes Cf\mathcal{C}_{f} et Cg\mathcal{C}_{g} données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O;i,j)(O;\, \vec{i},\,\vec{j}), les fonctions ff et gg définies sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+ \infty[ par : f(x)=lnxetg(x)=(lnx)2.f(x) = \ln x \quad \text{et}\quad g(x) = (\ln x)^2.
00.511.522.533.5−0.5123−1−2−3
Cg\mathcal{C}_g
Cf\mathcal{C}_f
e\text{e}
  1. On cherche à déterminer l'aire A\mathcal{A} (en unités d'aire) de la partie du plan coloriée.
    On note I=1elnxdxI = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x et J=1e(lnx)2dxJ = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^2\:\text{d}x.
    1. Vérifier que la fonction FF définie sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+ \infty[ par F(x)=xlnxxF(x) = x\ln x - x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire II.
    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J=e2IJ = \text{e} - 2I.
    3. En déduire JJ.
    4. Donner la valeur de A\mathcal{A}.
  2. Pour xx appartenant à l'intervalle [1 ; e][1~;~e], on note MM le point de la courbe Cf\mathcal{C}_{f} d'abscisse xx et NN le point de la courbe Cg\mathcal{C}_{g} de même abscisse.
    Pour quelle valeur de xx la distance MNMN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MNMN.
3Probabilités Exercice 17 On s'intéresse à la clientèle d'un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que:

• 70 % des clients achètent leur billet sur internet;
• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :

AA : "Le client choisit une visite avec un audioguide ";
BB : "Le client achète son billet sur internet avant sa visite".
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,410,41.
  3. On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.
    D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse.
  4. On observe un échantillon de 50 visiteurs. On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre de visiteurs ayant choisi une visite avec audioguide dans cet échantillon.
    1. Quelle loi de probabilité suit la variable XX ?
    2. Déterminer E(X)E(X) l'espérance de XX.
    3. Déterminer P(X25)P(X\geq 25).
Exercice 18★★ Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que : On note, pour tout entier naturel nn non nul : On a donc p1=0,1p_{1} = 0,1.

Partie A - Les premières parties
  1. Montrer que p2=0,62p_{2} = 0,62. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
  3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
Partie B - Un grand nombre de parties
  1. Compléter l'arbre de probabilité suivant :
  2. Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, pn+1=15pn+35p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}.
  3. On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier nn par : un=pn34u_n=p_n-\dfrac{3}{4}.
    1. Déterminer la nature de la suite (un)(u_n) et en déduire que pour tout entier nn : pn=34134(15)np_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n.
    2. Déterminer la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right) quand nn tend vers ++ \infty.
Exercice 19★★ Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : On considère un groupe de 300300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe : On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
AA : «la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée» ;
R1R_1 : «la personne a réussi l’examen à la première présentation» ;
R2R_2 : «la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation» ;
R3R_3 : «la personne a réussi l’examen à la troisième présentation».
  1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
  2. Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
    1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
    2. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à 13\dfrac{1}{3}.
    3. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
  3. On note XX la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, {X=1}\{ X=1 \} correspond à l’événement R1R_1.
    1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire XX.
    2. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
  4. On choisit, successivement et de façon indépendante, nn personnes parmi les 300300 du groupe étudié, où nn est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de nn personnes parmi les 300300 personnes du groupe.
    On admet que la probabilité de l’évènement R3R_3 est égale à 16\dfrac{1}{6}.
    1. Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à 1(56)n1-\left(\dfrac{5}{6} \right)^n.
    2. On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où pp est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[]0\,;1[.
    3. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0.9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Exercice 20★★ Une roue de loterie se compose de secteurs identiques de trois couleurs : rouge, vert, bleu. Tous les secteurs sont équiprobables, quel que soit le lancé.
Un joueur lance la roue. On note : Partie A
la roue se compose de 12 secteurs : 3 rouges, 5 verts et 4 bleus.
    1. Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous pour qu'il représente l'expérience aléatoire.
    2. BB
      VV
      RR
      VV
      RR
      BB
      \dots
      \dots
      \dots
      \dots
      \dots
      \dots
    3. Calculer la probabilité d'obtenir, à la fin du jeu, un secteur bleu.
  1. Soit XX la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.
    1. Calculer P(X=3)P(X=-3) et P(X=2)P(X=-2).
    2. Donner la loi de probabilité de XX.
    3. Est-il intéressant de jouer à ce jeu ?
Partie B
La roue se compose maintenant de 3 secteurs rouges, 4 secteurs bleus et nn secteurs verts, nn étant un entier naturel non nul.
Soit XnX_n la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue de la partie.
  1. Montrer que pour tout entier nn, E(Xn)>0E(X_n)>0 ?
  2. Le gérant de la loterie décide de rendre payant la participation à son jeu.
    Pour une participation de 22 euros, existe-t-il une valeur de nn pour laquelle le gain moyen du gérant soit inférieur à 0,300,30 euros par partie ?
Exercice 21 Un producteur conditionne 4040 pommes par caisse. Les masses des pommes de sa production, exprimées en grammes, sont réparties de la façon suivante :
Masse 148148 149149 150150 151151 152152
Fréquence 0,130,13 0,250,25 0,280,28 0,230,23 0,110,11
On note XX la variable aléatoire qui à une pomme choisie au hasard dans la production associe sa masse.
La production est suffisamment importante pour considérer qu'une caisse de 4040 pommes est un échantillon de taille 4040 de la loi de XX.
On note SS la variable aléatoire associée à la masse d'une caisse choisie au hasard.
  1. Calculer l'espérance et l'écart-type de XX. On les notera respectivement E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X) et les résultats seront arrondis à 10210^{-2}.
  2. Même question pour la variable aléatoire SS.
  3. Montrer que P(S[5947,6;6047,6])0,977P(S\in[ 5\,947,6\,;\, 6047,6 ])\geq0,977.
Exercice 22★★ Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points. Partie I Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.
On considère que : On prend un candidat au hasard et on note : On note A\overline{A} et B\overline{B} les évènements contraires de AA et de BB.
  1. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-dessous.
    AA
    A\overline{A}
    B\overline{B}
    B\overline{B}
    BB
    BB
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
  2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
  3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
  4. On note :
  5. Déterminer l'espérance de X1X_{1} et de X2X_{2}. En déduire l'espérance de XX. Donner une interprétation de l'espérance de XX dans le contexte de l'exercice.
  6. On souhaite déterminer la variance de XX.
    1. Déterminer P(X=0)P(X = 0) et P(X=2)P(X = 2). En déduire P(X=1)P(X = 1).
    2. Montrer que la variance de XX vaut 0,57.
    3. A-t-on V(X)=V(X1)+V(X2)V(X) = V\left(X_{1}\right) + V\left(X_{2}\right) ? Est-ce surprenant ?
Partie II Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité 34\dfrac{3}{4} de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
On note YY la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
  1. Justifier que YY suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Donner la valeur exacte de P(Y=8)P(Y = 8).
  3. Donner l'espérance et la variance de YY.
Partie III On suppose que les deux variables aléatoires XX et YY sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen : Z=X+YZ = X + Y.
  1. Calculer l'espérance et la variance de ZZ.
  2. Soit nn un nombre entier strictement positif.
    Pour ii entier variant de 1 à nn, on note ZiZ_{i} la variable aléatoire qui, à un échantillon de nn élèves, associe la note de l'élève numéro ii à l'examen.
    On admet que les variables aléatoires Z1,Z2,,ZnZ_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{n} sont identiques à ZZ et indépendantes.
    On note MnM_{n} la variable aléatoire qui, à un échantillon de nn élèves, associe la moyenne de leurs nn notes, c'est-à-dire : Mn=Z1+Z2++ZnnM_{n} = \dfrac{Z_{1} + Z_{2} + \cdots + Z_{n}}{n}
    1. Quelle est l'espérance de MnM_{n} ?
    2. Quelles sont les valeurs de nn telles que l'écart type de MnM_{n} soit inférieur ou égal à 0,5 ?
    3. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que 6,3Mn8,36,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3 est supérieure ou égale à 0,75.
Exercice 23★★ Dans une usine de conditionnement de lait, une chaîne de production remplit des bouteilles d'un volume théorique d'un litre.
Des relevés statistiques ont permis de montrer que les bouteilles contiennent, au centilitre près, les volumes suivant :
Volume en cL Fréquence
9979970,110,11
9989980,210,21
9999990,220,22
10001\,0000,180,18
10011\,0010,130,13
10021\,0020,080,08
10031\,0030,070,07
On définit la variable aléatoire XX qui à toute bouteille choisie au hasard dans la production, associe son volume en centilitres.
On estime que la production est suffisamment importante pour que le choix d'une bouteille soit assimilé à un tirage avec remise.
Soit nn un entier naturel non nul. On constitue un échantillon de nn bouteilles dont on note X1X_1, X2X_2, \dots, XnX_n les volumes.
On admet que les variables aléatoires X1X_1, X2X_2, \dots, XnX_n sont indépendantes et de loi de XX.
On note Sn=X1+X2++XnS_n=X_1+X_2+\cdots+X_n la variable aléatoire somme de l'échantillon (X1,X2,,Xn)(X_1, \, X_2, \dots, \, X_n).
On définit enfin la variable aléatoire AnA_n qui donne la masse en kilogrammes de l'échantillon constitué des nn bouteilles.
Les résultats seront arrondis à 10310^{-3} dans l'ensemble de l'exercice.
  1. Compléter l'algorithme suivant pour que la fonction esp retourne la valeur de l'espérance de XX et sigma la valeur de l'écart-type de X.
  2. Donner, à 10110^{-1} près, les valeurs de l'espérance de XX, notée E(X)E(X), et de son écart-type σ(X)\sigma(X).
  3. En déduire E(Sn)E(S_n) et σ(Sn)\sigma(S_n).
  4. Sachant que la masse volumique du lait est de 10301\,030 g/L, déterminer E(An)E(A_n) et σ(An)\sigma(A_n).
  5. Déterminer la plus grande valeur de nn pour que σ(An)\sigma(A_n) soit inférieur à 100100 grammes.
  6. Pour la valeur de nn déterminée dans la question précédente, montrer que la probabilité que An[2689,2;3985,2]A_n\in[2\,689,2;\, 3\,985,2] est supérieure à 0,750,75.
4Géométrie dans l'espace Exercice 24★★ ABCDEFGHABCDEFGH est un cube. II est le centre de la face ADHEADHE et JJ est un point du segment [CG][CG].
Il existe donc a[0;1]a \in [0\,;1] tel que CJ=aCG\overrightarrow{CJ} =a \overrightarrow{CG}.
On note (d)(d) la droite passant par II et parallèle à (FJ)(FJ).
On note KK et LL les points d'intersection de la droite (d)(d) et des droites (AE)(AE) et (DH)(DH).
On se place dans le repère (A;AB,AD,AE)\left(A\,; \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\, \overrightarrow{AE}\right).

Partie A : Dans cette partie a=23a = \dfrac{2}{3}
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
  1. Donner les coordonnées des points FF, II et JJ.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d)(d).
    1. Montrer que le point de coordonnées (0;0;23)\left(0\,; 0 \,;\dfrac{2}{3}\right) est le point KK.
    2. Déterminer les coordonnées du point LL, intersection des droites (d)(d) et (DH)(DH).
    1. Démontrer que le quadrilatère FJLKFJLK est un parallélogramme.
    2. Démontrer que le quadrilatère FJLKFJLK est un losange.
    3. Le quadrilatère FJLKFJLK est-il un carré ?
Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points KK et LL sont : K(0;0;1a2)K\left(0\, ; 0\,;1- \dfrac{a}{2}\right) et L(0 ;1 ;a2)L\left(0~;1~;\dfrac{a}{2}\right).
On rappelle que a[0 ;1]a \in [0~;1].
  1. Déterminer les coordonnées de JJ en fonction de aa.
  2. Montrer que le quadrilatère FJLKFJLK est un parallélogramme.
  3. Existe-t-il des valeurs de aa telles que le quadrilatère FJLKFJLK soit un losange ? Justifier.
  4. Existe-t-il des valeurs de aa telles que le quadrilatère FJLKFJLK soit un carré ? Justifier.
Exercice 25★★ Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Les questions sont indépendantes.
On considère le prisme droit ABFEDCGHABFEDCGH tel que AB=ADAB = AD.
Sa base ABFEABFE est un trapèze rectangle en AA, vérifiant BF=12AE\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AE}.
On note II le milieu du segment [EF][EF].
On note JJ le milieu du segment [AE][AE].
On associe à ce prisme le repère orthonormé (A ; i,j,k)\left(A~;~ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) tel que :
i=AB;j=AD;k=AJ\vec{i} = \overrightarrow{AB} ;\quad \vec{j} = \overrightarrow{AD} ;\quad \vec{k} = \overrightarrow{AJ}
A
B
C
F
G
E
H
D
I
J
  1. On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base (i,j,k)\left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right). Lequel est un vecteur normal au plan (ABG)(ABG) ?
    1. n(111)\vec{n}\,\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
    2. n(111)\vec{n}\,\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
    3. n(011)\vec{n}\,\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}
    4. n(001)\vec{n}\,\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
  2. Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite (IJ) ?
    1. (DG)(DG)
    2. (BD)(BD)
    3. (AG)(AG)
    4. (FG)(FG)
  3. Quels vecteurs forment une base de l'espace ?
    1. (AB;CG)\left(\overrightarrow{AB} \,;\, \overrightarrow{CG}\right)
    2. (AB;AC;AD)\left(\overrightarrow{AB} \,;\, \overrightarrow{AC} \,;\, \overrightarrow{AD}\right)
    3. (DA;DC;DG)\left(\overrightarrow{DA} \,;\, \overrightarrow{DC} \,;\, \overrightarrow{DG}\right)
    4. (CA;CG;CE)\left(\overrightarrow{CA} \,;\, \overrightarrow{CG} \,;\, \overrightarrow{CE}\right)
  4. Une décomposition du vecteur AG\overrightarrow{AG} comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :
    1. AG=AB+HG\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{HG}
    2. AG=AB+AD+AJ\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AJ}
    3. AG=AB+BJ+JG\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{JG}
    4. AG=AD+DH+HG\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{HG}
  5. Le volume du prisme droit ABFEDCGHABFEDCGH est égal à :
    1. 58\dfrac{5}{8}
    2. 85\dfrac{8}{5}
    3. 32\dfrac{3}{2}
    4. 22
Exercice 26 On se place dans un repère orthonormée de l'espace et on considère le plan P\mathscr{P} dont une équation cartésienne est : 2xy+z=4.2x-y+z=4. On considère de plus les points A(6;1;3)A(6\,;-1\,;3), B(0;0;4)B(0\,;0 \,;4), C(2;1;1)C(2\,;-1 \,;-1) et D(52;0;1)D\left( \dfrac{5}{2}\,; 0\,;-1 \right).
On note dd la droite perpendiculaire à P\mathscr{P} passant par AA.
  1. Déterminer lesquels des points AA, BB, CC et DD appartiennent à P\mathscr{P} ?
  2. Quelle est la nature du triangle BCDBCD ?
  3. Donner une paramétrisation de dd.
  4. Déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonale de AA sur P\mathscr{P}.
  5. En déduire le volume du tétraèdre ABCDABCD.
Exercice 27★★ Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCDABCD dont les faces ABCABC, ACDACD et ABDABD sont des triangles rectangles et isocèles en AA. On désigne par EE, FF et GG les milieux respectifs des côtés [AB][AB], [BC][BC] et [CA][CA].
On choisit ABAB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB,AC,AD)\left(A~;~\overrightarrow{AB},\: \overrightarrow{AC},\: \overrightarrow{AD}\right) de l'espace.
  1. On désigne par P\mathcal{P} le plan qui passe par AA et qui est orthogonal à la droite (DF)(DF).
    On note HH le point d'intersection du plan P\mathcal{P} et de la droite (DF)(DF).
    1. Donner les coordonnées des points DD et FF.
    2. Donner une représentation paramétrique de la droite (DF)(DF).
    3. Déterminer une équation cartésienne du plan P\mathcal{P}.
    4. Calculer les coordonnées du point HH.
    5. Démontrer que l'angle EHG^\widehat{EHG} est un angle droit.
  2. On désigne par MM un point de la droite (DF)(DF) et par tt le réel tel que DM=tDF\overrightarrow{DM} = t\overrightarrow{DF}. On note α\alpha la mesure en radians de l'angle géométrique EMG^\widehat{EMG}.
    Le but de cette question est de déterminer la position du point MM pour que α\alpha soit maximale.
    1. Démontrer que ME2=32t252t+54ME^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}.
    2. Démontrer que le triangle MEGMEG est isocèle en MM.
      En déduire que MEsin(α2)=122ME\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
    3. Justifier que α\alpha est maximale si et seulement si sin(α2)\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) est maximal.
      En déduire que α\alpha est maximale si et seulement si ME2ME^2 est minimal.
    4. Conclure.
Exercice 28★★ Dans un repère de l'espace on considère le plan P\mathscr{P} dont une équation cartésienne est : x2y+z=5.x-2y+z=5. On considère de plus le point A(5;0;6)A(5\,;0\,;-6) et B(1;2;0)B(1\,;-2\,;0).
  1. Justifier que le point BB appartient à P\mathscr{P}.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd, perpendiculaire à P\mathscr{P} et passant par AA.
  3. Déterminer les coordonnées de CC intersection de dd et P\mathscr{P}.
  4. Soit MM un point de dd.
    Montrer qu'il existe tRt\in\mathbb{R} tel que : cos(MB,MC)\cos\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right) == 6t212t+66t212t+56\sqrt{\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56}}.
  5. Déterminer limt+6t212t+66t212t+56\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{6t^2-12t+6}{6t^2-12t+56} }.

    Que peut-on en déduire pour l'angle (MB,MC)\left( \overrightarrow{MB}\, , \overrightarrow{MC} \right) lorsque MM s'éloigne de CC ?
Exercice 29★★ On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-contre.
Les arêtes sont de longueur 1.
L'espace est rapporté au repère orthonormé (D ; DA, DC, DH)\left(D~;~\overrightarrow{DA},~\overrightarrow{DC},~\overrightarrow{DH}\right).
A
B
C
D
E
F
G
H
M
Partie A
  1. Montrer que le vecteur DF\overrightarrow{DF} est normal au plan (EBG)(EBG).
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG)(EBG).
  3. En déduire les coordonnées du point II intersection de la droite (DF)(DF) et du plan (EBG)(EBG).
    On démontrerait de la même manière que le point JJ intersection de la droite (DF)(DF) et du plan (AHC)(AHC) a pour coordonnées (13 ; 13 ; 13)\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right).
Partie B
À tout réel xx de l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], on associe le point MM du segment [DF][DF] tel que DM=xDF\overrightarrow{DM} = x\overrightarrow{DF}.
On s'intéresse à l'évolution de la mesure θ\theta en radian de l'angle EMB^\widehat{EMB} lorsque le point MM parcourt le segment [DF][DF]. On a 0θπ0 \leqslant \theta \leqslant \pi.
  1. Que vaut θ\theta si le point MM est confondu avec le point DD ? avec le point FF ?
    1. Justifier que les coordonnées du point MM sont (x ; x ; x)(x~;~x~;~x).
    2. Montrer que cos(θ)=3x24x+13x24x+2\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des vecteurs ME\overrightarrow{ME} et MB\overrightarrow{MB}.
  2. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x3x24x+13x24x+2.f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.
    xx
    f(x)f(x)
    00
    00
    13\frac{1}{3}
    23\frac{2}{3}
    12-\frac{1}{2}
    11
    00
    12\frac{1}{2}
    Pour quelles positions du point MM sur le segment [DF][DF] :
    1. le triangle MEBMEB est-il rectangle en MM ?
    2. l'angle θ\theta est-il maximal ?
Exercice 30★★ Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k}) on considère : Le but de cet exercice est de déterminer le point de dd le plus proche du point AA et d’étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
A
B
C
zz
xx
yy
i\vec{i}
j\vec{j}
k\vec{k}
u\vec{u}
OO
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.
  2. Soit tt un nombre réel quelconque, et MM un point de la droite dd, le point MM ayant pour coordonnées (t ; t ; 0)(t~;~t~;~0).
    1. On note AMAM la distance entre les points AA et MM. Démontrer que: AM2=2t28t+14.AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.
    2. Démontrer que le point M0M_0 de coordonnées (2 ;2 ;0)(2~;2~; 0) est le point de la droite dd pour lequel la distance AMAM est minimale.
      On admettra que la distance AMAM est minimale lorsque son carré AM2AM^2 est minimal.
  3. Démontrer que les droites (AM0)(AM_0) et dd sont orthogonales.
  4. On appelle AA' le projeté orthogonal du point AA sur le plan d'équation cartésienne z=0z = 0. Le point AA' admet donc pour coordonnées (1 ;3 ;0)(1~;3~;0).
    Démontrer que le point M0M_0 est le point du plan (AAM0)(AA'M_0) le plus proche du point OO, origine du repère.
  5. Calculer le volume de la pyramide OM0AAOM_0A'A.
    On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: V=13BhV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h, où B\mathcal{B} est l'aire d'une base et hh est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
Exercice 31★★ L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k)(O;\, \vec{i},\,\vec{j},\, \vec{k}).
On considère les points A(3 ; 0 ; 1)A(3~;~0~;~1), B(2 ; 1 ; 2)B(2~;~1~;~2) et C(2 ; 5 ; 1)C(- 2~;~- 5~;~1).
  1. Démontrer que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.
  2. Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.
  3. Vérifier que le plan (ABC)(ABC) a pour équation cartésienne: x+y2z+5=0.-x + y - 2z + 5 = 0.
  4. On considère le point S(1 ; 2 ; 4)S(1~;~-2~;~4).
    Déterminer la représentation paramétrique de la droite (Δ\Delta), passant par SS et orthogonale au plan (ABC)(ABC).
  5. On appelle HH le point d'intersection de la droite (Δ\Delta) et du plan (ABC)(ABC).
    Montrer que les coordonnées de HH sont (0 ; 1 ; 2)(0~;~-1~;~2).
  6. Calculer la valeur exacte de la distance SHSH.
  7. On considère le cercle C\mathcal{C}, inclus dans le plan (ABC)(ABC), de centre HH, passant par le point BB. On appelle D\mathcal{D} le disque délimité par le cercle C\mathcal{C}.
    Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque D\mathcal{D}.
  8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet SS et de base le disque D\mathcal{D}.
5Combinatoire et dénombrement Exercice 32★★ En France, une boulangerie est dans l'obligation de fermer un jour par semaine.
Dans une certaine ville on compte cinq boulangeries.
  1. Déterminer le nombre de façons d'attribuer un jour de fermeture hebdomadaire pour l'ensemble des boulangeries de cette ville.
  2. Même question mais avec l'obligation de ne pas fermer le même jour.
  3. Même question mais avec l'obligation qu'il y ait au moins une boulangerie ouverte chaque jour.
Exercice 33★★ Une table ronde comporte six places, numérotées de 1 à 6.
On veut répartir six personnes autour de cette table dont deux ne peuvent être placées côte à côte. Appelons-les Booris et Kaaba.
1
2
3
4
5
6
  1. Combien y-a-t-il de dispositions possibles?
  2. Même question si les places ne sont pas numérotées.
Exercice 34★★★ Soit nn un entier naturel non nul. Soit unu_n le nombre nn-uplets de l'ensemble {0;1}\{0\,;1\} ne contenant pas deux termes consécutifs égaux à 11.
  1. Déterminer la valeur de u1u_1.
  2. Donner la liste des couples de l'ensemble {0;1}\{0\,;1\} et en déduire u2u_2.
  3. Montrer que u3=5u_3=5.
  4. On considère n3n\geq 3 quelconque. En raisonnant sur la valeur du dernier élément d'un nn-uplet, montrer que un=un1+un2u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}.
  5. Compléter l'algorithme ci-dessous pour que la fonction u retourne la liste de toutes les valeur de unu_n, à partir de la formule de la question précédente.
  6. On cherche dans cette question à déterminer une formule explicite pour unu_n, pour tout n1n\geq1.
    1. Montrer que :

      (1+52)3\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3 == (1+52)2+1+52\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
    2. On admettra pour la question suivante que :

      (152)3\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3 == (152)2+152\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2+\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.
    3. Montrer par récurrence que pour tout entier n1n\geq1, un=15((1+52)n+2(152)n+2)u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right).
6QCM et vrai/faux Exercice 35 Question 1 :
On considère la suite numérique (un)\left(u_n\right) définie pour tout nn entier naturel par un=1+2n3+5n.u_n = \dfrac{1 + 2^n}{3 + 5^n}. Cette suite :
  1. diverge vers ++\infty
  2. converge vers 25\dfrac25.
  3. converge vers 00
  4. converge vers 13\dfrac13.
Question 2 :
Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +[]0~;~ +\infty[ par f(x)=x2lnxf(x) = x^2\ln x.
L'expression de la fonction dérivée de ff est :\index{dérivée}
  1. f(x)=2xlnxf'(x) = 2x\ln x.
  2. f(x)=x(2lnx+1)f'(x) = x(2\ln x + 1)
  3. f(x)=2f'(x) = 2.
  4. f(x)=xf'(x) = x.
Question 3 :
On considère une fonction hh définie et continue sur R\mathbb{R} dont le tableau de variations est donné ci-dessous:
xx
h(x)h(x)
-\infty
++\infty
++\infty
-\infty
11
00
On note HH la primitive de hh définie sur R\mathbb{R} qui s'annule en 00.
Elle vérifie la propriété :
  1. HH est positive sur ] ; 0]]-\infty~;~0].
  2. HH est croissante sur ] ; 1]]-\infty~;~1].
  3. HH est négative sur ] ; 1]]-\infty~;~1].
  4. HH est croissante sur R\mathbb{R}.
Question 4 :
Soit deux réels aa et bb avec a<ba < b.
On considère une fonction ff définie, continue, strictement croissante sur l'intervalle [a ; b][a~;~b] et qui s'annule en un réel α\alpha.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de α\alpha à 0,0010,001 est :
Question 5 :
Une urne contient 1010 boules indiscernables au toucher dont 77 sont bleues et les autres vertes.
On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est :
  1. (710)2×310\left(\dfrac{7}{10}\right)^2 \times \dfrac{3}{10}.
  2. (310)2\left(\dfrac{3}{10}\right)^2.
  3. (102)(710)(310)2\displaystyle{\binom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2}.
  4. (32)(710)(310)2\displaystyle{\binom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2}.
Exercice 36★★ Question 1 :
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xexf(x)=x\text{e}^{x}.
Une primitive FF sur R\mathbb{R} de la fonction ff est définie par :
  1. F(x)=12x2exF(x)=\dfrac{1}{2}x^2\text{e}^x
  2. F(x)=(x1)exF(x)=(x-1)\text{e}^x
  3. F(x)=(x+1)exF(x)=(x+1)\text{e}^x
  4. F(x)=2xex2F(x)=\dfrac{2}{x}\text{e}^{x^2}.
Question 2 :
La courbe C\mathcal{C} ci-dessous représente une fonction ff définie et deux fois dérivable sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[. On sait que :
02468101212345−1−2
P
On a :
  1. pour tout x]0 ; 5[,f(x)x \in ]0~;~5[,\:f(x) et f(x)f'(x) sont de même signe;
  2. pour tout x]5 ; +[,f(x)x \in ]5~;~+\infty[\:, f(x) et f(x)f'(x) sont de même signe;
  3. pour tout x]0 ; 5[,f(x)x \in ]0~;~5[,\: f'(x) et f(x)f''(x) sont de même signe;
  4. pour tout x]5 ; +[,f(x)x \in ]5~;~+\infty[,\: f(x) et f(x)f''(x) sont de même signe.
Question 3 :
On considère la fonction gg définie sur [0 ; +[[0~;~ +\infty[ par g(t)=ab+etg(t) = \dfrac{a}{b + \text{e}^{-t}}aa et bb sont deux nombres réels.
On sait que g(0)=2g(0) = 2 et limt+g(t)=3\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 3.
Les valeurs de aa et bb sont :
  1. a=2a = 2 et b=3b = 3
  2. a=4a = 4 et b=43b = \dfrac43
  3. a=4a = 4 et b=1b = 1
  4. a=6a = 6 et b=2b = 2
Question 4 :
Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.
L'urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.
L'urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.
La probabilité qu'elle ait choisi l'urne B est :
  1. 38\dfrac38
  2. 12\dfrac12
  3. 35\dfrac35
  4. 58\dfrac58
Question 5 :
On pose S=1+12+13+14++1100S = 1 + \dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \ldots + \dfrac{1}{100}.
Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme SS est :
Exercice 37★★★
  1. Une primitive de la fonction ff, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xexf(x) =x\text{e}^x, est la fonction FF, définie sur R\mathbb{R}, par :
    1. F(x)=x22exF(x) =\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x
    2. F(x)=(x1)exF(x) = (x - 1)\text{e}^x
    3. F(x)=(x+1)exF(x) = (x + 1)\text{e}^x
    4. F(x)=x2ex2F(x) =x^2 \text{e}^{x^2}
  2. On considère la fonction gg définie par g(x)=ln(x12x+4).g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right). La fonction gg est définie sur:\index{ensemble de définition}
    1. R\mathbb{R}.
    2. ]2 ; +[]-2~;~ +\infty[.
    3. ] ; 2[]1 ; +[]-\infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[.
    4. ]2 ; 1[]-2~;~1[.
  3. La fonction hh définie sur $\R$ par h(x)=(x+1)exh(x)= (x + 1)\text{e}^{x} est :
    1. concave sur R\mathbb{R}
    2. convexe sur R\mathbb{R}
    3. convexe sur ] ; 3]] -\infty~;~-3] et concave sur [3 ; +[[-3~;~+\infty[
    4. concave sur ] ; 3]]-\infty~;~-3] et convexe sur [3 ; +[[-3~;~+\infty[
  4. Une suite (un)\left(u_n\right) est minorée par 3 et converge vers un réel \ell. On peut affirmer que :
    1. =3\ell = 3.
    2. 3\ell \geqslant 3
    3. La suite (un)\left(u_n\right) est décroissante.
    4. La suite (un)\left(u_n\right) est constante à partir d'un certain rang.
  5. La suite (wn)\left(w_n\right) est définie par w1=2w_1 = 2 et pour tout entier naturel nn strictement positif, wn+1=1nwnw_{n+1} = \dfrac1n w_n.
    1. La suite (wn)\left(w_n\right) est géométrique.
    2. La suite (wn)\left(w_n\right) n'admet pas de limite.
    3. w5=115w_5 = \dfrac{1}{15}.
    4. La suite (wn)\left(w_n\right) converge vers 0.
Exercice 38★★★
  1. On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]1 ; +[]1~;~+\infty[ par f(x)=0,05lnxx1.f(x)= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}. La limite de la fonction ff en ++\infty est égale à :
    1. ++\infty
    2. 0,050,05
    3. -\infty
    4. 00
  2. On considère une fonction hh continue sur l'intervalle [2;4][-2 ; 4] telle que : h(-1)=0,, h(1) = 4,, h(3) = -1.$
    On peut affirmer que :
    1. la fonction hh est croissante sur l'intervalle [1 ; 1][-1~;~1].
    2. la fonction hh est positive sur l'intervalle [1 ; 1][-1~;~1].
    3. il existe au moins un nombre réel aa dans l'intervalle [1 ; 3][1~;~3] tel que h(a)=1h(a) = 1.
    4. l'équation h(x)=1h(x)=1 admet exactement deux solutions dans l'intervalle [2 ; 4][-2~;~4].
  3. On considère deux suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) à termes strictement positifs telles que limn+un=+\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty et (vn)\left(v_{n}\right) converge vers 0 . On peut affirmer que :
    1. la suite (1vn)\left(\frac{1}{v_{n}}\right) converge.
    2. la suite (vnun)\left(\frac{v_{n}}{u_{n}}\right) converge.
    3. la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    4. limn+(un)n=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty.
  4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer 44 \euro. Il lance ensuite un dé équilibré à six faces : En moyenne, le joueur :
    1. gagne 3,503,50
    2. perd 33 €.
    3. perd 1,501,50
    4. perd 0,500,50 €.
  5. On considère la variable aléatoire XX suivant la loi binomiale B(3 ; p)\mathcal{B}(3~;~p). On sait que P(X=0)=1125P(X = 0) = \dfrac{1}{125}. On peut affirmer que :
    1. p=15p = \dfrac{1}{5}.
    2. P(X=1)=124125P(X = 1) =\dfrac{124}{125}.
    3. p=45p = \dfrac{4}{5}.
    4. P(X=1)=45P(X= 1) =\dfrac{4}{5}.
Exercice 39★★ Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités) par la fonction ff définie sur [0 ; +[[0~;~+\infty[ par f(t)=e3e0,5t2+t+2f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2 + t + 2}tt désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience.
À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous.
Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse. Exercice 40★★ Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
  1. Affirmation : La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exxf(x) = \text{e}^x - x est convexe.
  2. Affirmation : L'équation (2ex6)(ex+2)=0\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0 admet ln(3)\ln (3) comme unique solution dans R\mathbb{R}.
  3. Affirmation : limx+e2x1exx=0.\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.
  4. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(6x+5)e3xf(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x} et FF la fonction définie sur R\mathbb{R} par : F(x)=(2x+1)e3x+4F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4.
    Affirmation : FF est la primitive de ff sur R\mathbb{R} qui prend la valeur 5 quand x=0x = 0.
  5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre. On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.
    Affirmation : L'exécution de mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 5050.