Amérique du Nord mai 2021 5 points Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

• si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
• si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme.
On note $D$ l'évènement « l'athlète est dopé » et $T$ l'évènement « le test est positif ».
On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à 0,08.

1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2. Démontrer que $P(T) = 0,083$.
3. 1. Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?
   2. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.
      Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

1. Dans cette question 1. on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
   1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif ?
2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.

5 points Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &0,6 \\ u_{n+1} &= &0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right) \end{array}\right.$$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
   Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;1]$ par $$f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).$$
2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\, ; 1]$ et dresser son tableau de variations.
3. Résoudre dans l'intervalle $[0\, ; 1]$ l'équation $f(x) = x$.
   On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n, \,$ $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
4. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\,$ $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   3. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
5. Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
   1. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
   2. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous: def menace(): u = 0.6 n = 0 while u > 0.02: u = 0,75*u*(1-0,15*u) n = n+1 return n Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace().
      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5 points Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.

1. Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,
   Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A \,; \overrightarrow{AB} \, , \overrightarrow{AD}\, , \overrightarrow{AE}\right)$.
2. 1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
   2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}\, , \overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous: $$d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + t\\ y &=& 8 - 2t\\ z &=& - 2 + 3t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad d_2 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&1 + t\\ z &=&8 + 2t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}.$$
3. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
5. Montrer que le point $L(4\,; 0 \,; 3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5 \, ; 3 \,; 1)$ sur le plan $\mathcal P$.

5 points Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle, Convexité.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b,\,$ $\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}$.

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point $A$ d'abscisse $0$ à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x$ admet pour équation réduite $y = 2x + 1$.

Affirmation 3 : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}= 0$.

Affirmation 4 : L'équation $1 - x + \text{e}^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle $[0\, ; 2]$.

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x$ est convexe. 5 points Principaux domaines abordés : fonction logarithme népérien, Convexité.

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\, ; +\infty[$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point $A(1\, ; 4)$.

1. Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
   On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: $f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
2. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.$$
3. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\, ; +\infty[$ par: $$f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.$$
4. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
5. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0\, ; +\infty[$.
6. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.$$
7. Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.