Métropole 8 juin 2021 Exercice 15 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\ Aucune justification n'est demandée.


L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i,j,k)(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}).
On considère : Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite D\mathcal{D}' ?
  1. M1(1 ; 3 ; 2)M_1(-1~;~3~;~-2).
  2. M2(11 ; 9 ; 22)M_2(11~;~-9~;~-22).
  3. M3(7 ; 9 ; 2)M_3(-7~;~9~;~ 2).
  4. M4(2 ; 3 ; 4)M_4(-2~;~3~;~4).
Question 2 : Un vecteur directeur de la droite D\mathcal{D}' est :
  1. u1(468)\vec{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}.
  2. u2(336)\vec{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}.
  3. u3(336)\vec{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}.
  4. u4(132)\vec{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}.
Question 3 : Les droites D\mathcal{D} et D\mathcal{D}' sont :
  1. sécantes.
  2. strictement parallèles.
  3. non coplanaires.
  4. confondues.
Question 4 : La valeur du réel mm pour laquelle la droite D\mathcal{D} est parallèle au plan P\mathcal{P} est :
  1. m=1m =-1.
  2. m=1m = 1.
  3. m=5m = 5.
  4. m=2m =-2.
Exercice 25 points Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 4040 % la proportion de chats porteurs de la maladie.
On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes. On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :
    1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    2. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
    3. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à 0,450,45.
    4. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.
  1. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 2020 chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    On note XX la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.
    1. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire XX.
    2. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 55 chats présentant un test positif.
    3. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus 88 chats présentant un test positif.
    4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire XX et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  2. Dans cette question, on choisit un échantillon de nn chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note pnp_n la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
    1. Montrer que pn=10,55np_n = 1 - 0,55^n.
    2. Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage Python, dans lequel la variable nn est un entier naturel et la variable PP un nombre réel.
    3. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
Exercice 35 points On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par : u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=4unun+4. u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.
  1. La copie d'écran ci-dessus présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite (un)\left(u_n\right) pour nn variant de 00 à 1212, ainsi que celles du quotient 4un\dfrac{4}{u_n}, (avec, pour les valeurs de unu_n, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
    nn unu_n 4un\dfrac{4}{u_n}
    00 1,001,00 44
    11 0,800,80 44
    22 0,670,67 55
    33 0,570,57 77
    44 0,500,50 88
    55 0,440,44 99
    66 0,400,40 1010
    77 0,360,36 1111
    88 0,330,33 1212
    99 0,310,31 1313
    1010 0,290,29 1414
    1111 0,270,27 1515
    1212 0,250,25 1616
    À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de 4un\dfrac{4}{u_n} en fonction de nn.
    Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite (un)\left(u_n\right) (question 6.).
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a : un>0u_n > 0.
  3. Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) est décroissante.
  4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite (un)\left(u_n\right) ?
  5. On considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie pour tout entier naturel nn par : vn=4unv_n = \dfrac{4}{u_n}.
    Démontrer que (vn)\left(v_n\right) est une suite arithmétique.
    Préciser sa raison et son premier terme.
    En déduire, pour tout entier naturel nn, l'expression de vnv_n en fonction de nn.
  6. Déterminer, pour tout entier naturel nn, l'expression de unu_n en fonction de nn.
    En déduire la limite de la suite (un)\left(u_n\right).
Exercice 45 points Principaux domaines abordés : Fonction logarithme; dérivation.

Partie 1

On désigne par hh la fonction définie sur l'intervalle ]0 ;+[]0~; +\infty[ par: h(x)=1+ln(x)x2.h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x^2}. On admet que la fonction hh est dérivable sur ]0 ; +[]0~;~ +\infty[ et on note hh' sa fonction dérivée.
  1. Déterminez les limites de hh en 00 et en ++ \infty.
  2. Montrer que, pour tout nombre réel xx de ]0 ;+[,]0~; +\infty[,\, h(x)=12ln(x)x3h'(x) = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}.
  3. En déduire les variations de la fonction hh sur l'intervalle ]0 ;+[]0~; +\infty[.
  4. Montrer que l'équation h(x)=0h(x) = 0 admet une solution unique α\alpha appartenant à ]0 ;+[]0~; +\infty[ et vérifier que : 12<α<1\dfrac{1}{2} < \alpha < 1.
  5. Déterminer le signe de h(x)h(x) pour xx appartenant à ]0 ;+[]0~; +\infty[.
Partie 2

On désigne par f1f_1 et f2f_2 les fonctions définies sur ]0 ;+[]0~; +\infty[ par :

f1(x)=x1ln(x)x2f_1(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2}\qquad et f2(x)=x22ln(x)x2.\qquad f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}. On note C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2 les représentations graphiques respectives de f1f_1 et f2f_2 dans un repère (O;i,j)(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}).
  1. Montrer que, pour tout nombre réel xx appartenant à ]0 ;+[]0~; +\infty[, on a : f1(x)f2(x)=h(x).f_1(x) - f_2(x) = h(x).
  2. Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2.
    On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées (α ;α)(\alpha~;\alpha).
    On rappelle que α\alpha est l'unique solution de l'équation h(x)=0h(x) = 0.
Exercice 55 points Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle; dérivation; convexité

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée ff' d'une fonction ff dérivable sur R\mathbb{R}.
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :
  1. Le sens de variation de la fonction ff sur R\mathbb{R}.
  2. La convexité de la fonction ff sur R\mathbb{R}.
00.511.522.533.5−0.5−1−1.51234−1
Courbe représentant la dérivée ff' de la fonction ff.

Partie 2

On admet que la fonction ff mentionnée dans la Partie 1 est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=(x+2)ex.f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}. On note C\mathcal{C} la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé (O,i,j)(O\,,\vec{i}\,,\vec{j}).
On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}, et on note ff' et ff'' les fonctions dérivées première et seconde de ff respectivement.
  1. Montrer que, pour tout nombre réel xx, f(x)=xex+2ex.f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ 2\text{e}^{-x}. En déduire la limite de ff en ++ \infty.
    Justifier que la courbe C\mathcal{C} admet une asymptote que l'on précisera.
    On admet que limxf(x)=\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel x,x,\, f(x)=(x1)exf'(x) = (- x - 1)\text{e}^{-x}.
    2. Étudier les variations sur R\mathbb{R} de la fonction ff et dresser son tableau de variations.
    3. Montrer que l'équation f(x)=2f(x) = 2 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [2 ;1][-2~;-1] dont on donnera une valeur approchée à 10110^{-1} près.
  2. Déterminer, pour tout nombre réel xx, l'expression de f(x)f''(x) et étudier la convexité de la fonction ff.
    Que représente pour la courbe C\mathcal{C} son point AA d'abscisse 00 ?