Propriété n°1
-- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, avec $n_0$ le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement $n_0=0$ ou $n_0=1$).
$\circ$ Initialisation
On vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
$\circ$ Hérédité
On démontre que si $P_n$ est vraie pour un certain entier $n$, alors cela implique que $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
On peut alors conclure que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.

Définition n°1
-- Suite numérique
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction dont la variable est un entier naturel $n$.
$$\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}$$
$u_{n_0}$ est le premier terme de la suite.
$u_n$ est le terme de rang $n$, ou terme général de la suite.

Définition n°2
-- Suite arithmétique
Une suite numérique $(u_n)$ est arithmétique s'il existe une constante $r$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=u_n+r,$ $\,u_0$ étant donné.

pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n+r$,
pour tout entier $n$, $u_n= u_0+nr$,
pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n= u_m+(n-m)r$,
pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.

Définition n°3
-- Suite géométrique
Une suite numérique $(u_n)$ est géométrique s'il existe une constante $q$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=qu_n,$ $\,u_0$ étant donné.

pour tout entier $n$, $u_{n+1}=qu_n$,
pour tout entier $n$, $u_n= u_0q^n$,
pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n= u_mq^{n-m}$,
pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Définition n°4
-- Suite majorée
Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\leq M$.

Définition n°5
-- Suite minorée
Une suite numérique $(u_n)$ est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante $m$ appelée minorant. Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\geq m$.

Définition n°6
-- Suite bornée
Une suite numérique $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels $m$ et $M$, tels que pour tout entier $n\geq0$, $\,\,m\leq u_n\leq M$.

Définition n°7
-- Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique.

La suite $(u_n)$ est croissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\geq u_n$.
La suite $(u_n)$ est décroissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
La suite $(u_n)$ est stationnaire, si il existe $c\in\mathbb{R}$ tel que pour tout entier $n$, $u_n=c$.

Définition n°8

On dit qu'une suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ si, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Définition n°9
-- Suite divergent vers $+\infty$
Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si, tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}}$ $=$ $0$

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n}$	$ \ell +\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	f.i

« f.i » signifie forme indéterminée et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ et une suite $(v_n)$ vers $-\infty$, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de $(u_n+v_n)$.

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell\neq0$	$\infty$	$0$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}$	$ \ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	f.i

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell$	$\infty$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'\neq 0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}}$	$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$	$0$	$\infty$	f.i

Propriété n°2

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $+\infty$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $+\infty$.

Propriété n°3
-- Encadrement des limites
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n\leq w_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n}$ $=$ $\ell$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $\ell$.

Propriété n°4
-- Comportement des suites arithmétiques
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
$\circ$ si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.
$\circ$ si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $u_0$.

Propriété n°5
-- Comportement des suites géométriques de raison $q>1$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.

Propriété n°6
-- Lemme -- Inégalité de Bernoulli
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Alors pour tout entier $n$ :

$(1+a)^n\geq 1+na.$

Propriété n°7
-- Comportement des suites géométriques de raison $q\in]0;1[$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\in]0;1[$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.

	$q\leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n }$		$0$	$1$	$+\infty$

	$q <0 $	$0 \leq q < 1$	$q > 1$
sens de variation de $(q^n)$	non monotone	décroissante	croissante

	$q\leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$ et $u_0 > 0$	$q > 1$ et $u_0 < 0$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n }$		$0$	$u_0$	$+\infty$	$-\infty$

	$q <0 $	$0 \leq q < 1$ et $u_0 > 0$	$0 \leq q < 1$ et $u_0 < 0$	$q > 1$ et $u_0 > 0$	$q > 1$ et $u_0 < 0$
sens de variation de $(u_0q^n)$	non monotone	décroissante	croissante	croissante	décroissante

Propriété n°9
-- Suite décroissante non minorée
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.

Propriété n°12
-- Suite croissante et convergente
Toute suite croissante $(u_n)$ convergeant vers un réel $\ell$ vérifie : Pour tout entier $n$, $\,\, u_n\leq \ell.$