Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques
Propriété n°1
-- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété
P
n
P_n
P
n
est vraie pour tout entier
n
≥
n
0
n\geq n_0
n
≥
n
0
, avec
n
0
n_0
n
0
le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement
n
0
=
0
n_0=0
n
0
=
0
ou
n
0
=
1
n_0=1
n
0
=
1
).
∘
\circ
∘
Initialisation
On vérifie que
P
n
0
P_{n_0}
P
n
0
est vraie.
∘
\circ
∘
Hérédité
On démontre que si
P
n
P_n
P
n
est vraie pour un certain entier
n
n
n
, alors cela implique que
P
n
+
1
P_{n+1}
P
n
+
1
est vraie.
∘
\circ
∘
Conclusion
On peut alors conclure que
P
n
P_n
P
n
est vraie pour tout
n
≥
n
0
n\geq n_0
n
≥
n
0
.
Définition n°1
-- Suite numérique
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est une fonction dont la variable est un entier naturel
n
n
n
.
u
n
:
N
⟶
R
n
⟼
u
(
n
)
=
u
n
,
pour
n
≥
n
0
.
\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}
u
n
:
N
n
⟶
⟼
R
u
(
n
)
=
u
n
,
pour
n
≥
n
0
.
u
n
0
u_{n_0}
u
n
0
est le premier terme de la suite.
u
n
u_n
u
n
est le terme de rang
n
n
n
, ou terme général de la suite.
Définition n°2
-- Suite arithmétique
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est arithmétique s'il existe une constante
r
r
r
, appelée raison, telle que :
∀
n
∈
N
,
\forall n\in\mathbb{N},
∀
n
∈
N
,
u
n
+
1
=
u
n
+
r
,
\text{ }u_{n+1}=u_n+r,
u
n
+
1
=
u
n
+
r
,
u
0
\,u_0
u
0
étant donné.
pour tout entier
n
n
n
,
u
n
+
1
=
u
n
+
r
u_{n+1}=u_n+r
u
n
+
1
=
u
n
+
r
,
pour tout entier
n
n
n
,
u
n
=
u
0
+
n
r
u_n= u_0+nr
u
n
=
u
0
+
n
r
,
pour tout entiers
n
n
n
et
m
m
m
,
u
n
=
u
m
+
(
n
−
m
)
r
u_n= u_m+(n-m)r
u
n
=
u
m
+
(
n
−
m
)
r
,
pour tout entier
n
n
n
,
∑
k
=
0
n
u
k
\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}
k
=
0
∑
n
u
k
=
=
=
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
u_0+u_1+\cdots+u_n
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
=
=
(
u
0
+
u
n
)
(
n
+
1
)
2
\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}
2
(
u
0
+
u
n
)
(
n
+
1
)
.
Définition n°3
-- Suite géométrique
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est géométrique s'il existe une constante
q
q
q
, appelée raison, telle que :
∀
n
∈
N
,
\forall n\in\mathbb{N},
∀
n
∈
N
,
u
n
+
1
=
q
u
n
,
\text{ }u_{n+1}=qu_n,
u
n
+
1
=
q
u
n
,
u
0
\,u_0
u
0
étant donné.
pour tout entier
n
n
n
,
u
n
+
1
=
q
u
n
u_{n+1}=qu_n
u
n
+
1
=
q
u
n
,
pour tout entier
n
n
n
,
u
n
=
u
0
q
n
u_n= u_0q^n
u
n
=
u
0
q
n
,
pour tout entiers
n
n
n
et
m
m
m
,
u
n
=
u
m
q
n
−
m
u_n= u_mq^{n-m}
u
n
=
u
m
q
n
−
m
,
pour tout entier
n
n
n
,
∑
k
=
0
n
u
k
\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}
k
=
0
∑
n
u
k
=
=
=
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
u_0+u_1+\cdots+u_n
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
=
=
u
0
1
−
q
n
+
1
1
−
q
u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
u
0
1
−
q
1
−
q
n
+
1
.
Définition n°4
-- Suite majorée
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante
M
M
M
appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier
n
≥
0
n\geq0
n
≥
0
,
u
n
≤
M
\,\,u_n\leq M
u
n
≤
M
.
Définition n°5
-- Suite minorée
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante
m
m
m
appelée minorant. Ainsi, pour tout entier
n
≥
0
n\geq0
n
≥
0
,
u
n
≥
m
\,\,u_n\geq m
u
n
≥
m
.
Définition n°6
-- Suite bornée
Une suite numérique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels
m
m
m
et
M
M
M
, tels que pour tout entier
n
≥
0
n\geq0
n
≥
0
,
m
≤
u
n
≤
M
\,\,m\leq u_n\leq M
m
≤
u
n
≤
M
.
Définition n°7
-- Sens de variation d'une suite
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite numérique.
La suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est croissante, si pour tout entier
n
n
n
,
u
n
+
1
≥
u
n
u_{n+1}\geq u_n
u
n
+
1
≥
u
n
.
La suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est décroissante, si pour tout entier
n
n
n
,
u
n
+
1
≤
u
n
u_{n+1}\leq u_n
u
n
+
1
≤
u
n
.
La suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est stationnaire, si il existe
c
∈
R
c\in\mathbb{R}
c
∈
R
tel que pour tout entier
n
n
n
,
u
n
=
c
u_n=c
u
n
=
c
.
Définition n°8
On dit qu'une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
tend vers
ℓ
\ell
ℓ
si, tout intervalle ouvert contenant
ℓ
\ell
ℓ
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Définition n°9
-- Suite divergent vers
+
∞
+\infty
+
∞
Une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
diverge vers
+
∞
+\infty
+
∞
si, tout intervalle ouvert du type
]
A
;
+
∞
[
]A;+\infty[
]
A
;
+
∞
[
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
lim
n
→
+
∞
n
2
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2}
n
→
+
∞
lim
n
2
=
=
=
+
∞
+\infty
+
∞
lim
n
→
+
∞
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}}
n
→
+
∞
lim
n
=
=
=
+
∞
+\infty
+
∞
lim
n
→
+
∞
1
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}}
n
→
+
∞
lim
n
1
=
=
=
0
0
0
lim
n
→
+
∞
u
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}
n
→
+
∞
lim
u
n
ℓ
\ell
ℓ
ℓ
\ell
ℓ
ℓ
\ell
ℓ
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
+
∞
+\infty
+
∞
lim
n
→
+
∞
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}
n
→
+
∞
lim
v
n
ℓ
′
\ell'
ℓ
′
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
−
∞
-\infty
−
∞
lim
n
→
+
∞
u
n
+
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n}
n
→
+
∞
lim
u
n
+
v
n
ℓ
+
ℓ
′
\ell +\ell'
ℓ
+
ℓ
′
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
f.i
« f.i » signifie forme indéterminée et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
diverge vers
+
∞
+\infty
+
∞
et une suite
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
vers
−
∞
-\infty
−
∞
, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de
(
u
n
+
v
n
)
(u_n+v_n)
(
u
n
+
v
n
)
.
lim
n
→
+
∞
u
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}
n
→
+
∞
lim
u
n
ℓ
\ell
ℓ
ℓ
≠
0
\ell\neq0
ℓ
≠
0
∞
\infty
∞
0
0
0
lim
n
→
+
∞
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}
n
→
+
∞
lim
v
n
ℓ
′
\ell'
ℓ
′
∞
\infty
∞
∞
\infty
∞
∞
\infty
∞
lim
n
→
∞
u
n
×
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}
n
→
∞
lim
u
n
×
v
n
ℓ
×
ℓ
′
\ell \times \ell'
ℓ
×
ℓ
′
∞
\infty
∞
∞
\infty
∞
f.i
lim
n
→
+
∞
u
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}
n
→
+
∞
lim
u
n
ℓ
\ell
ℓ
ℓ
\ell
ℓ
∞
\infty
∞
∞
\infty
∞
lim
n
→
+
∞
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}
n
→
+
∞
lim
v
n
ℓ
′
≠
0
\ell'\neq 0
ℓ
′
≠
0
∞
\infty
∞
ℓ
′
\ell'
ℓ
′
∞
\infty
∞
lim
n
→
+
∞
u
n
v
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}}
n
→
+
∞
lim
v
n
u
n
ℓ
ℓ
′
\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}
ℓ
′
ℓ
0
0
0
∞
\infty
∞
f.i
Propriété n°2
Soient
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
et
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
deux suites telles que à partir d'un certain rang :
u
n
≤
v
n
.
u_n\leq v_n.
u
n
≤
v
n
.
Si
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
+\infty
+
∞
alors
lim
n
→
+
∞
v
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}
n
→
+
∞
lim
v
n
=
+
∞
+\infty
+
∞
.
Propriété n°3
-- Encadrement des limites
Soient
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
,
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
et
(
w
n
)
(w_n)
(
w
n
)
trois suites telles que à partir d'un certain rang :
u
n
≤
v
n
≤
w
n
.
u_n\leq v_n\leq w_n.
u
n
≤
v
n
≤
w
n
.
Si
lim
n
→
+
∞
u
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
=
=
lim
n
→
+
∞
w
n
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n}
n
→
+
∞
lim
w
n
=
=
=
ℓ
\ell
ℓ
alors
lim
n
→
+
∞
v
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}
n
→
+
∞
lim
v
n
=
ℓ
\ell
ℓ
.
Propriété n°4
-- Comportement des suites arithmétiques
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
r
r
:
∘
\circ
∘
si
r
>
0
r>0
r
>
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement croissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
+\infty
+
∞
.
∘
\circ
∘
si
r
<
0
r<0
r
<
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement décroissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
-\infty
−
∞
.
∘
\circ
∘
si
r
=
0
r=0
r
=
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est constante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
u
0
u_0
u
0
.
Propriété n°5
-- Comportement des suites géométriques de raison
q
>
1
q>1
q
>
1
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
>
1
q>1
q
>
1
:
∘
\circ
∘
si
u
0
>
0
u_0>0
u
0
>
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement croissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
+\infty
+
∞
.
∘
\circ
∘
si
u
0
<
0
u_0<0
u
0
<
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement décroissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
-\infty
−
∞
.
Propriété n°6
-- Lemme -- Inégalité de Bernoulli
Soit
a
a
a
un nombre réel strictement positif. Alors pour tout entier
n
n
n
:
(
1
+
a
)
n
≥
1
+
n
a
.
(1+a)^n\geq 1+na.
(
1
+
a
)
n
≥
1
+
n
a
.
Propriété n°7
-- Comportement des suites géométriques de raison
q
∈
]
0
;
1
[
q\in]0;1[
q
∈
]
0
;
1
[
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
∈
]
0
;
1
[
q\in]0;1[
q
∈
]
0
;
1
[
:
∘
\circ
∘
si
u
0
>
0
u_0>0
u
0
>
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement décroissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
0
0
.
∘
\circ
∘
si
u
0
<
0
u_0<0
u
0
<
0
alors
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement croissante et
lim
n
→
+
∞
u
n
=
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
0
0
.
q
≤
−
1
q\leq -1
q
≤
−
1
−
1
<
q
<
1
-1 < q < 1
−
1
<
q
<
1
q
=
1
q = 1
q
=
1
q
>
1
q > 1
q
>
1
lim
n
→
+
∞
q
n
\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n }
n
→
+
∞
lim
q
n
0
0
0
1
1
1
+
∞
+\infty
+
∞
q
<
0
q <0
q
<
0
0
≤
q
<
1
0 \leq q < 1
0
≤
q
<
1
q
>
1
q > 1
q
>
1
sens de variation de
(
q
n
)
(q^n)
(
q
n
)
non monotone
décroissante
croissante
q
≤
−
1
q\leq -1
q
≤
−
1
−
1
<
q
<
1
-1 < q < 1
−
1
<
q
<
1
q
=
1
q = 1
q
=
1
q
>
1
q > 1
q
>
1
et
u
0
>
0
u_0 > 0
u
0
>
0
q
>
1
q > 1
q
>
1
et
u
0
<
0
u_0 < 0
u
0
<
0
lim
n
→
+
∞
u
0
q
n
\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n }
n
→
+
∞
lim
u
0
q
n
0
0
0
u
0
u_0
u
0
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
q
<
0
q <0
q
<
0
0
≤
q
<
1
0 \leq q < 1
0
≤
q
<
1
et
u
0
>
0
u_0 > 0
u
0
>
0
0
≤
q
<
1
0 \leq q < 1
0
≤
q
<
1
et
u
0
<
0
u_0 < 0
u
0
<
0
q
>
1
q > 1
q
>
1
et
u
0
>
0
u_0 > 0
u
0
>
0
q
>
1
q > 1
q
>
1
et
u
0
<
0
u_0 < 0
u
0
<
0
sens de variation de
(
u
0
q
n
)
(u_0q^n)
(
u
0
q
n
)
non monotone
décroissante
croissante
croissante
décroissante
Propriété n°8
-- Suite croissante non majorée
Tout suite croissante non majorée diverge vers
+
∞
+\infty
+
∞
.
Propriété n°9
-- Suite décroissante non minorée
Tout suite décroissante non minorée diverge vers
−
∞
-\infty
−
∞
.
Propriété n°10
-- Convergence monotone
Tout suite croissante majorée est convergente.
Propriété n°11
-- Convergence monotone
Tout suite décroissante minorée est convergente.
Propriété n°12
-- Suite croissante et convergente
Toute suite croissante
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
convergeant vers un réel
ℓ
\ell
ℓ
vérifie :
Pour tout entier
n
n
n
,
u
n
≤
ℓ
.
\,\, u_n\leq \ell.
u
n
≤
ℓ
.
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