Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques Démonstration par récurrence Complétons et observons les résultats du tableau ci-dessous :
Sommes des nombres impairs Est-ce un carré ?
$1$ $1^2$
$1+3$ $2^2$
$1+3+5$ $3^2$
$1+3+5+7$ $4^2$
Pour quels entiers $n$ la propriété suivante est-elle vraie ? $$P_n:\text{ }\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$$ La somme commençant à $k=1$, la formule n'a de sens qu'à partir de $n=1$. Regardons donc si $P_1$ est vraie. $\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)}$ $=$ $2\times 1 - 1$ $=$ $1$ et $1^2=1$. Ainsi $P_1$ est bien vérifiée.

Pour $n=2$ :
$\displaystyle{\sum_{k=1}^2(2k-1)}$ $=$ $(2\times 1 - 1)$ $+$ $(2\times 2 - 1)$ $=$ $4$ et $2^2=4$. Nous avons donc que $P_2$ est également vérifiée.

On pourrait vérifier encore pour quelques entiers que la propriété est vraie, cependant ceci ne constitue pas une preuve. Un calcul direct serait également assez compliqué, surtout avec un sigma. Pour démontrer que cette égalité est vraie pour tout entier $n\geq1$, nous allons découvrir une nouvelle façon de raisonner.

Nous allons démontrer que cette propriété est vraie pour tout entier $n\geq1$ en appliquant le principe de récurrence. -- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, avec $n_0$ le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement $n_0=0$ ou $n_0=1$).
$\circ$ Initialisation
On vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
$\circ$ Hérédité
On démontre que si $P_n$ est vraie pour un certain entier $n$, alors cela implique que $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
On peut alors conclure que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq n_0$. Avant de démontrer que notre propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq1$, essayons de mieux appréhender ce principe de récurrence. Pour cela faisons une analogie avec des insectes.
Prenons donc l'exemple d'une rangée d'insectes, alignés du premier insecte au dernier, celui-ci pouvant être infiniment loin, et mettons-les dans un contexte d'épidémie :
Si l'un est malade il transmet la maladie de manière certaine à son voisin de droite, et seulement à celui-ci.
On peut alors se poser la question s'ils vont tous être malades ?
La réponse est évidemment oui si le premier insecte l'est. Si c'est le 10ème insecte qui est le premier à tomber malade, tous les suivants le seront, mais pas ceux d'avant.
On peut dire que l'insecte numéro $n$ transmet la maladie à l'insecte numéro $n+1$. Ceci est un processus de transmission (d'hérédité), et dès que celui-ci est initialisé, c'est-à-dire) si un insecte numéro $n_0$ est malade, alors tous les suivants le seront également.

Montrons maintenant, par récurrence, que : $\displaystyle{P_n:\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}$ est vraie pour tout $n\geq1$.
$\circ$ Initialisation
Pour $n=1$ : $\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)=2\times1-1=1=1^2}$, donc $P_1$ est vérifiée.
$\circ$ Hérédité
Considérons un entier naturel $n$ tel que la proposition $P_n$ est vraie, c'est-à-dire $\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)}$ $=$ $n^2$.
Montrons alors, en utilisant cette hypothèse (dite hypothèse de récurrence), que $P_{\color{red}{n+1}}$ est vraie, c'est-à-dire que $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\color{red}{n+1}}(2k-1)}$ $=$ $({\color{red}{n+1}})^2$.
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)}$ $=$ $\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)+ \sum_{k=n+1}^{n+1}(2k-1)}$
$=$ $\displaystyle{n^2+ 2(n+1)-1}$
$=$ $n^2+2n+1$
$=$ $(n+1)^2 \text{ } _\square$


Ainsi, nous avons bien que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
D'après le principe de récurrence la propriété $\displaystyle{P_n: \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}$ est vraie pour tout entier $n\geq1$.
Définition d'une suite et représentation graphique -- Suite numérique
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction dont la variable est un entier naturel $n$.
$$\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}$$
$u_{n_0}$ est le premier terme de la suite.
$u_n$ est le terme de rang $n$, ou terme général de la suite. Il existe plusieurs procédés pour définir une suite, nous en verrons deux :

$\circ$ à l'aide d'une fonction.
$\circ$ par récurrence. On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $\displaystyle{v_n=n+\frac{2}{n+1}}$.
On a que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=f(n)$, avec $\displaystyle{f(x)=x+\frac{2}{x+1}}$.
Calculer : $v_0$, $v_1$ et $v_{100}$. $v_0$ $=$ $f(0)$ $=$ $0+\dfrac{2}{0+1}$ $=$ $2$, $v_1$ $=$ $f(1)$ $=$ $1+\dfrac{2}{1+1}$ $=$ $2$ et $v_{100}$ $=$ $f(100)$ $=$ $100+\dfrac{2}{100+1}$ $\approx$ $100,02$.
On peut représenter les premiers termes d'une suite à l'aide d'un nuage de points où les abscisses représentent les nombres $n$ et les ordonnées les nombres $u_n$ correspondants.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$u_0=0,2$ et $\displaystyle{u_n=\frac{3u_{n-1}+2}{u_{n-1}+4}}$.
Ici, pour tout $n\geq1$, $u_n=g(u_{n-1})$, avec $\displaystyle{g(x)=\frac{3x+2}{x+4}}$.
Trouver des valeurs approchées de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{100}$. $ u_1$ $=$ $g(u_0)$ $=$ $g(0,2)$ $\approx$ $0,619 $, $ u_2$ $=$ $g(u_1)$ $\approx$ $g( 0,619 )$ $\approx$ $0,835 $, $ u_3$ $=$ $g(u_2)$ $\approx$ $g( 0,835 )$ $\approx$ $0,932 $.

Pour calculer $u_{100}$ cela va être un peu long, puisque nous allons devoir connaître $u_{99}$, mais pour calculer celui-ci il va nous falloir $u_{98}$, etc.

On utilise alors l'algorithme suivant : u = 0.2 for i in range (1,101): u = (3*u+2)/(u+4) print(str(i)+" : "+str(u))
Après exécution, on trouve la valeur approchée suivante : $u_{100}\approx 1$.
Étant donnée une suite $(u_n)$ définie par récurrence à l'aide de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, on représente les premiers termes de la suite dans un repère du plan à l'aide la droite d'équation $y=x$ et la courbe représentative de la fonction $f$. On notera cette dernière $\mathcal{C}$.
On place $u_0$ sur l'axe des abscisses, et puisque $u_1=f(u_0)$ (c'est-à-dire que $u_1$ est l'image de $u_0$ par $f$), on peut visualiser $u_1$ sur l'axe des ordonnées à l'aide de $\mathcal{C}$.
Il n'est cependant pas pratique d'avoir $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$ sur l'axe des ordonnées. On utilise donc la droite d'équation $y=x$ (la droite où les points ont même abscisse et ordonnée) pour « ramener » $u_1$ sur l'axe des abscisses.
On construit ensuite $u_2$ à partir de $u_1$ de la même façon, et ainsi de suite pour les termes suivants.
Déplacer le curseur
Rappels de la classe de 1ère -- Suite arithmétique
Une suite numérique $(u_n)$ est arithmétique s'il existe une constante $r$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=u_n+r,$ $\,u_0$ étant donné. À retenir :
-- Suite géométrique
Une suite numérique $(u_n)$ est géométrique s'il existe une constante $q$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=qu_n,$ $\,u_0$ étant donné. À retenir :
-- Suite majorée
Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\leq M$. -- Suite minorée
Une suite numérique $(u_n)$ est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante $m$ appelée minorant. Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\geq m$. -- Suite bornée
Une suite numérique $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels $m$ et $M$, tels que pour tout entier $n\geq0$, $\,\,m\leq u_n\leq M$. La suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ est bornée. En effet, pour tout entier $n$, $\displaystyle{0\leq \frac{1}{n^2+1}\leq 1}$.
Variations d'une suite -- Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique. Lorsqu'on ne connaît pas a priori le sens de variation d'une suite $(u_n)$ il est alors plus pratique d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$. En effet :
$u_{n+1}-u_n\geq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\geq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est croissante.
$u_{n+1}-u_n\leq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\leq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est décroissante.

Une suite peut-être monotone à partir d'un certain rang $n_0$. On considère à nouveau la suite définie pour tout $n$ par : $v_n=n+\dfrac{2}{n+1}$.

Les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$\$\{-1\}$ par $f(x)=x+\dfrac{2}{x+1}$, vont nous permettre de trouver les variations de la suite $(v_n)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$\$\{-1\}$, et pour tout $x$ sur son ensemble de définition :
$f'(x)$ $=$ $1-\dfrac{2}{(x+1)^2}$
$=$ $\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{(x+1)^2}$
$=$ $\dfrac{x^2+2x+1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{(x+1)^2}$
$=$ $\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} $
$=$ $\dfrac{(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})}{(x+1)^2}$


La dernière égalité s'obtient à l'aide de la méthode du discriminant. On étudie, comme en classe de 1ère le signe de ce polynôme du 2nd degré.

On montre ainsi que $f'(x)$ est positif pour tout $x\geq1$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
Pour tout entier $n\geq1$, : $f(n+1)\geq f(n)$ $\Rightarrow$ $u_{n+1}\geq u_n$.
La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang 1. Une petite nuance On considère une suite $(u_n)$, définie par une fonction $f$, telle que pour tout entier $n$, $u_n=f(n)$. Nous avons alors :
Si $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
Mais, la proposition : "Si $(u_n)$ est croissante alors $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$" est fausse.
Sur le graphique précédent, nous avons une suite $(u_n)$ (représentée à l'aide des points rouges) définie par la fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée en pointillés.
Nous avons que la suite $(u_n)$ est croissante alors que la fonction $f$ ne l'est pas.
Limite d'une suite Quelques exemples On considère les trois suites ci-dessous :
$\circ$ $\displaystyle{u_n = 3+\frac{ (-1)^n }{ n^2 } }$
$\circ$ $v_n = n^2$
$\circ$ $w_n = (-1)^n$

Compléter le tableau ci-dessous :
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8
$u_n$
$v_n$
$w_n$
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8
$u_n$ 2 3,25 2,8889 3,0625 2,963,027778 2,9796 3,015625
$v_n$ 1 4 9 16 25 36 49 64
$w_n$ -11-11-11-11
Nous pouvons décrire le comportement de ces suites en émettant les conjectures suivantes :
$\circ$ $(u_n)$ semble pouvoir être aussi proche que l'on veut du nombre $3$.
$\circ$ $(v_n)$ semble pouvoir être aussi grand que l'on veut.
$\circ$ $(w_n)$ prend alternativement deux valeurs.

On peut donc dire que :
$\circ$ $(u_n)$ semble possèder une valeur limite $3$,
$\circ$ $(v_n)$ semble « exploser » vers $+\infty$,
$\circ$ $(w_n)$ n'a pas de valeur limite lorsque $n$ grandit.

De manière, plus synthétique, on pourrait noter :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $3$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n}$ $=$ $+\infty$.
Il n'y a aucune écriture pour $(w_n)$ car cette suite ne possède pas de limite.
Définitions
On dit qu'une suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ si, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} $ $=$ $\ell$.
Sur le graphique ci-dessous, nous pouvons voir qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite semblent être dans l'intervalle délimitant la zone coloriée aussi petite soit elle.
Déplacer les points A et B, et faire glisser le graphique (shift+souris)
Première page de l'ouvrage de Cauchy qui définit de manière rigoureuse la notion de limite (1823)
Les suites non convergentes sont dites divergentes, et certaines suites divergent vers $+\infty$. -- Suite divergent vers $+\infty$
Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si, tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $+\infty$.
Exemples
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=n^3+1$ et $A$ un nombre réel.
  1. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  2. Écrire un algorithme Python comportant une fonction qui retourne le premier rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus grand que $A$.
  1. La fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+1$ est croissante sur $\mathbb{R}$. En effet sa dérivée qui vaut $f'(x)$ $=$ $3x^2$ est positive sur $\mathbb{R}$.

  2. def seuil(A): n = 0 while n**3+1 < A: n = n+1 return n print(seuil(100))
Opération sur les limites Limite d'une somme
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$ $\ell$ $\ell$ $\ell$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$ $\ell'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n}$ $ \ell +\ell'$ $+\infty$ $-\infty$$+\infty$$-\infty$f.i
« f.i » signifie forme indéterminée et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ et une suite $(v_n)$ vers $-\infty$, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de $(u_n+v_n)$.

Voici plusieurs situations :
Nous voyons donc bien que la suite $(u_n+v_n)$ peut avoir n'importe quelle limite sous ses hypothèses. Il sera donc nécessaire de déterminer la limite dans cette situation après quelques calculs.


Limite d'un produit
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$ $\ell$ $\ell\neq0$ $\infty$ $0$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$ $\ell'$ $\infty$ $\infty$ $\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}$$ \ell \times \ell'$$\infty$$\infty$f.i
Pour le cas où $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n=\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = \infty}$, on ne précise pas dans ce tableau si ce sont des $+$ ou $-$ l'infini. La limite du produit divergera vers $\infty$ en appliquant la règle des signes.
On utilise cette règle dans l'exemple suivant :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(3-n^2)(-4n^3-n+1)=}$ $+\infty$.
En effet, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3-n^2=}$ $-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-4n^3-n+1=}$ $-\infty$.
On obtient le résultat en appliquant la règle sur les produits de limites précédente.


Limite d'un quotient
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$ $\ell$ $\ell$ $\infty$ $\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$ $\ell'\neq 0$ $\infty$ $\ell'$ $\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}}$ $\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$ $0$ $\infty$ f.i
On cherche à déterminer :$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}}$.
On a: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3+\sqrt{n}=}$ $+\infty$ et donc d'après la règle sur les quotients de limites on obtient : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}=}$ $0$.
Limites et comparaisons
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $+\infty$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $+\infty$. Preuve
On considère un intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$.
On cherche à démontrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(v_n)$ sont dans cet intervalle. C'est-à-dire, que l'on veut montrer qu'à partir d'un certain rang $v_n>A$.
Puisque $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, on sait, qu'à partir d'un certain rang, $u_n>A.$
Or, par hypothèse, $v_n>u_n$.
Ainsi, à partir d'un certain rang, $v_n>A$.
-- Encadrement des limites
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n\leq w_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n}$ $=$ $\ell$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $\ell$.
Dans le graphique précédent nous pouvons observer deux suites encadrer une troisième. Et puisque les deux premières convergent vers $\ell$, la suite comprise entre les deux se trouve coincée et doit, elle aussi, converger vers $\ell$.
Cette propriété est également connue sous le nom imagé de "théorème des gendarmes", ou plus prosaïquement théorème d'encadrement des limites. Déterminons la limite de la suite $(u_n)$, définie pour $n\in\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle{u_n=\frac{(-1)^n}{n}}$.
Pour tout entier $n\geq1$ :
$-1$ $\leq$ $(-1)^n$ $\leq$ $1$
$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{-1}{n}$ $\leq$ $\dfrac{(-1)^n}{n}$ $\leq$ $\dfrac{1}{n}.$
Or, on sait que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{n}}$ $=$ $0$, et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=}$ $0.$
Ainsi, d'après le théorème d'encadrement des limites : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(-1)^n}{n}}$ $=$ $0.$
Comportement des suites arithmétiques et géométriques -- Comportement des suites arithmétiques
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
$\circ$ si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.
$\circ$ si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $u_0$. Preuve
On sait que : $u_{n+1}$ $=$ $u_n+r$, donc $u_{n+1}-u_n$ $=$ $r$ est du signe de $r$.
Par ailleurs, $u_n$ $=$ $u_0+n\times r$.
Ainsi, si $r>0$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r}$ $=$ $+\infty$, et, si $r<0$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r}=$ $-\infty$.
-- Comportement des suites géométriques de raison $q>1$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.
Pour démontrer cette propriété nous aurons besoin du résultat suivant appelé inégalité de Bernoulli :

-- Lemme -- Inégalité de Bernoulli
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Alors pour tout entier $n$ :

$(1+a)^n\geq 1+na.$
Preuve du lemme
Procédons par récurrence sur $n$.

Initialisation
Pour $n=0$ : $(1+a)^n$ $=$ $(1+a)^0$ $=$ $1$ et $1+na$ $=$ $1+0\times a$ $=$ $1$.
La propriété est bien initialisée à $n=0$.

Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n$,

$(1+a)^n\geq 1+na,$
et montrons alors que :

$(1+a)^{ n+1}\geq1+(n+1)a.$
D'après l'hypothèse de récurrence on a :
$(1+a)^n$ $\geq$ $1+na$
$(1+a)(1+a)^n$ $\geq$ $(1+a)(1+na)$ car $1+a>0$
$(1+a)^{n+1}$ $\geq$ $1+na+a+na^2$
$(1+a)^{n+1}$ $\geq$ $1+(n+1)a +na^2$
$(1+a)^{n+1}$ $\geq$ $1+(n+1)a$.


Le passage de l'avant-dernière à la dernière ligne se justifie par le fait qu'un nombre à qui l'on retire une quantité positive (ici $na^2$) devient plus petit.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, nous avons démontré que : $\forall a\in\mathbb{R}^*_+, \text{ }\forall n\in\mathbb{N},\text{ }(1+a)^n\geq1+na.$

Preuve de la propriété sur les suites géométriques de raison $q>1$
On note $(u_n)$ une telle suite, et nous avons : $u_{n+1}$ $=$ $qu_n.$
Ainsi, la raison étant en particulier positive, tous les termes de la suite seront de même signe.
Et puisque $q>1$, $\:u_{n+1}$ $>$ $u_n\:$ si $u_0>0$, ou encore $u_{n+1}< u_n\:$ si $u_0<0$.
La suite $(u_n)$ est bien croissante si $u_0>0$, et décroissante si $u_0<0$.

Pour déterminer la limite de $(u_n)$, il nous suffit de faire la remarque suivante : puisque $q>1$, il existe un réel $a>0$ tel que $q= 1+a$.
Or, pour tout entier $n$, $u_n$ $=$ $u_0\times q^n$. C'est-à-dire : $u_n$ $=$ $u_0(1+a)^n.$ Si $u_0>0$, alors d'après le lemme : $u_n \geq u_0(1+na),$ et si $u_0<0$, alors : $u_n \leq u_0(1+na).$
On a, $a>0$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1+na}$ $=$ $+\infty$.
Ainsi, par comparaison de limites :
Si $u_0>0$, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $+\infty$.
Si $u_0<0$, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $-\infty$.


-- Comportement des suites géométriques de raison $q\in]0;1[$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\in]0;1[$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.
On peut synthétiser les résultats précédents dans les tableaux ci-dessous :
$q\leq -1$ $-1 < q < 1$ $q = 1$ $q > 1$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n }$ $0$ $1$ $+\infty$
$q <0 $ $0 \leq q < 1$ $q > 1$
sens de variation de $(q^n)$ non monotone décroissante croissante
$q\leq -1$ $-1 < q < 1$ $q = 1$ $q > 1$ et $u_0 > 0$ $q > 1$ et $u_0 < 0$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n }$ $0$ $u_0$ $+\infty$ $-\infty$
$q <0 $ $0 \leq q < 1$ et $u_0 > 0$ $0 \leq q < 1$ et $u_0 < 0$ $q > 1$ et $u_0 > 0$ $q > 1$ et $u_0 < 0$
sens de variation de $(u_0q^n)$ non monotone décroissante croissante croissante décroissante
Convergence et monotonie -- Suite croissante non majorée
Tout suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$. -- Suite décroissante non minorée
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$. Preuve de la propriété 8
Soit $(u_n)$ une suite croissante, non majorée et $A>0$. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que : $u_{n_0}>A$.
Or la suite $(u_n)$ est croissante, donc : pour tout $n\geq n_0$, $u_n\geq u_{n_0}> A$.
Ainsi, quelque soit le nombre $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(u_n)$.
Ceci prouve que : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $+\infty$.
Preuve de la propriété 9
Soit $(u_n)$ une suite décroissante non minorée. On pose, pour tout $n$, $v_n=-u_n$. On conclut en remarquant que $(v_n)$ vérifie la propriété 8.


-- Convergence monotone
Tout suite croissante majorée est convergente. -- Convergence monotone
Tout suite décroissante minorée est convergente. Preuve de la propriété 10
Soit $(u_n)$ une suite croissante majorée.
Toute suite majorée possède une infinité de majorants, nous admettrons ici qu'il en existe un plus petit. On le note $M$.
On veut démontrer que $(u_n)$ converge vers $M$.
Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $M$. On cherche à montrer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans $I$.
Or, puisque $I$ est ouvert et qu'il contient $M$, il existe un réel $\epsilon>0$ tel que $]M-\epsilon;M+\epsilon[$ $\subset$ $I$.
On cherche alors à montrer que l'intervalle ouvert $]M-\epsilon;M+\epsilon[$ contient, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite.
$M$ est le plus petit majorant, donc $M-\epsilon$ n'est pas un majorant.
Ainsi, il existe $n_0$ tel que $u_{n_0} > M - \epsilon$, et puisque la suite est croissante :
$\forall n\geq n_0$, $\:M - \epsilon < u_n$.
Or, par définition de $M$, $\: u_n$ $<$ $M$ $<$ $M + \epsilon $.
Par conséquent :
$ \forall n\geq n_0$, $\: M-\epsilon < u_n < M + \epsilon$. $_{\square}$


-- Suite croissante et convergente
Toute suite croissante $(u_n)$ convergeant vers un réel $\ell$ vérifie : Pour tout entier $n$, $\,\, u_n\leq \ell.$ Preuve
Nous allons raisonner par l'absurde, en supposant le contraire de ce que nous voulons démontrer, et en arrivant ensuite à une contradiction.
On veut montrer que pour tout $n$, $u_n\leq \ell$.
Supposons alors qu'il existe un entier $n_0$ tel que : $u_{n_0}>\ell.$
Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq n_0$, $\: u_n\geq u_{n_0}$ $\text{ (*)}$.
On pose $\epsilon=u_{n_0}-\ell$ et on remarque que $\epsilon>0$.
$(u_n)$ converge vers $\ell$, donc à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]\ell-\epsilon;\ell+\epsilon[$.
En particulier, à partir d'un certain rang :
$u_n$ $<$ $\ell+\epsilon$
$u_n$ $<$ $\ell +u_{n_0}-\ell$
$u_n$ $<$ $u_{n_0}$.
Cette dernière inégalité est en contradiction avec $(*)$.

Ainsi, le fait d'avoir supposé qu'il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>\ell$, nous a amené à une contradiction.
La proposition contraire est donc vraie, à savoir que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $\ell$.