Définition n°1

Soit $n$ un entier naturel. On appelle factorielle de $n$, le nombre entier noté $n!$ qui est égale au produit de tous les entiers de $1$ jusqu'à $n$, si $n\geq1$, ou qui vaut $1$ si $n=0$.

Définition n°2

Soit $n$ un entier naturel et $E$ un ensemble possèdant $n$ éléments.
On dit alors que $E$ est un ensemble fini et son nombre d'éléments est appelé cardinal de $E$. On le note $\text{card}(E)$.

Définition n°3

On dit que deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si $A\cap B$ $=$ $\varnothing$.

Propriété n°1

Soient $A$ et $B$ deux ensembles disjoints. On a alors : $\text{card}(A\cup B)$ $=$ $\text{card}(A)+\text{card}(B)$.

Propriété n°2

Soit $n$ un entier naturel non nul, et $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ des ensembles finis, deux à deux disjoints. On a : $\operatorname{card}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right)$ $=$ $\operatorname{card}\left(A_{1}\right)+\operatorname{card}\left(A_{2}\right)+\dots+\operatorname{card}\left(A_{n}\right)$.

Définition n°4

Un couple de deux éléments $a$ et $b$ d'un ensemble $E$ est la donnée de ces deux éléments dans un ordre particulier. On le note $(a\,;b)$.
Un triplet de trois éléments $a$, $b$ et $c$ d'un ensemble $E$ est la donnée de ces trois éléments dans un ordre particulier. On le note $(a\,;b\,;c)$.

Définition n°5

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Le produit cartésien de $E$ et $F$, noté $E\times F$, est l'ensemble des couples $(e\,;f)$ avec $e$ et $f$ des éléments respectifs de $E$ et $F$.

Propriété n°3

Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. On a : $\text{card}(E\times F)$ $=$ $\text{card}(E)\times\text{card}(F)$.

Propriété n°4

Soit $n$ un entier naturel non nul, et $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ des ensembles finis. On a : $\operatorname{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}\right)$ $=$ $\operatorname{card}\left(A_{1}\right)\times\operatorname{card}\left(A_{2}\right)\times\dots\times\operatorname{card}\left(A_{n}\right)$.

Définition n°6

Soit $A$ un ensemble fini et $k$ un entier naturel non nul. On appelle $k$-uplet de $A$ un élément de $A^k$.

Définition n°7

Une partie d'un ensemble $E$ est un ensemble formé d'éléments de $E$.

Propriété n°5

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n\in\mathbb{N}$. Le nombre de parties de $E$ est de $2^n$.

Définition n°8

Soient $A$ un ensemble non vide de cardinal $n$ et $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
Un arrangement de $k$ éléments de $A$ est un $k$-uplet d'éléments distincts de $A$.

Propriété n°6

Soient $A$ un ensemble fini non vide à $n$ elements et $k$ un entier naturel tel que $k \leq n$.
Le nombre de $k$-arrangements de $A$ est égal à : $\mathcal{A}_{n}^{k}$ $=$ $n \times(n-1) \times \dots \times(n-k+1)$ $=$ $\dfrac{n !}{(n-k) !}$.

Définition n°9

Soit $A$ un ensemble fini non vide de cardinal $n$.
Une permutation de $A$ est un $n$-uplet d'éléments distincts de $A$.

Propriété n°7

Le nombre de permutations sur un ensemble de cardinal est de $n!$.

Définition n°10

Soit $A$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $k$ un entier naturel tel que $k\leq n$.
Une combinaison de $k$ éléments de $A$ est une partie de $A$ de cardinal $k$.
Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ est noté ${n \choose k}$.

Propriété n°8

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $k \leq n$. Le nombre de combinaisons de $k$ éléments d'un ensemble de cardinal $n$ vérifie :
$\displaystyle{ {n \choose k} }$ $=$ $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Propriété n°9

Soit $n\in\mathbb{N}$.

$\displaystyle{n \choose 0}$ $=$ $1$,
si $n\geq1$, $\displaystyle{n \choose 1}$ $=$ $n$,

si $n\geq2$, $\displaystyle{n \choose 2}$ $=$ $\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Propriété n°10

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $k \leq n$. On a alors :
$\displaystyle{ n \choose k }$ $=$ $\displaystyle{ n \choose n-k }$.

Propriété n°11

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $1\leq k \leq n-1$. On a alors :
$\displaystyle{ n \choose k }$ $=$ $\displaystyle{ n-1 \choose k-1 }+\displaystyle{ n-1 \choose k }$.

Propriété n°12

Pour tout entier $n$ : $\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}}$ $=$ $2^n.$