Définition n°1

Soit

n

un entier naturel. On appelle factorielle de

n

, le nombre entier noté

n!

qui est égale au produit de tous les entiers de

1

jusqu'à

n

, si

n\geq1

, ou qui vaut

1

n=0

Définition n°2

Soit

n

un entier naturel et

E

un ensemble possèdant

n

éléments.
On dit alors que

E

est un ensemble fini et son nombre d'éléments est appelé cardinal de

E

. On le note

\text{card}(E)

Définition n°3

On dit que deux ensembles

A

B

sont disjoints si

A\cap B

=

\varnothing

Propriété n°1

Soient

A

B

deux ensembles disjoints. On a alors :

\text{card}(A\cup B)

=

\text{card}(A)+\text{card}(B)

Propriété n°2

Soit

n

un entier naturel non nul, et

A_1

A_2

\dots

A_n

des ensembles finis, deux à deux disjoints. On a :

\operatorname{card}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right)

=

\operatorname{card}\left(A_{1}\right)+\operatorname{card}\left(A_{2}\right)+\dots+\operatorname{card}\left(A_{n}\right)

Définition n°4

Un couple de deux éléments $a$ et $b$ d'un ensemble $E$ est la donnée de ces deux éléments dans un ordre particulier. On le note $(a\,;b)$ .
Un triplet de trois éléments $a$ , $b$ et $c$ d'un ensemble $E$ est la donnée de ces trois éléments dans un ordre particulier. On le note $(a\,;b\,;c)$ .

Définition n°5

Soient

A

B

deux ensembles. Le produit cartésien de

E

F

, noté

E\times F

, est l'ensemble des couples

(e\,;f)

avec

e

f

des éléments respectifs de

E

F

Propriété n°3

Soient

E

F

deux ensembles finis. On a :

\text{card}(E\times F)

=

\text{card}(E)\times\text{card}(F)

Propriété n°4

Soit

n

un entier naturel non nul, et

A_1

A_2

\dots

A_n

des ensembles finis. On a :

\operatorname{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}\right)

=

\operatorname{card}\left(A_{1}\right)\times\operatorname{card}\left(A_{2}\right)\times\dots\times\operatorname{card}\left(A_{n}\right)

Définition n°6

Soit

A

un ensemble fini et

k

un entier naturel non nul. On appelle

k

-uplet de

A

un élément de

A^k

Définition n°7

Une partie d'un ensemble

E

est un ensemble formé d'éléments de

E

Propriété n°5

Soit

E

un ensemble fini de cardinal

n\in\mathbb{N}

. Le nombre de parties de

E

est de

2^n

Définition n°8

Soient

A

un ensemble non vide de cardinal

n

k

un entier naturel inférieur ou égal à

n

.
Un arrangement de

k

éléments de

A

est un

k

-uplet d'éléments distincts de

A

Propriété n°6

Soient

A

un ensemble fini non vide à

n

elements et

k

un entier naturel tel que

k \leq n

.
Le nombre de

k

-arrangements de

A

est égal à :

\mathcal{A}_{n}^{k}

=

n \times(n-1) \times \dots \times(n-k+1)

=

\dfrac{n !}{(n-k) !}

Définition n°9

Soit

A

un ensemble fini non vide de cardinal

n

.
Une permutation de

A

est un

n

-uplet d'éléments distincts de

A

Propriété n°7

Le nombre de permutations sur un ensemble de cardinal est de

n!

Définition n°10

Soit

A

un ensemble fini de cardinal

n

k

un entier naturel tel que

k\leq n

.
Une combinaison de

k

éléments de

A

est une partie de

A

de cardinal

k

.
Le nombre de combinaisons de

k

éléments parmi

n

est noté

{n \choose k}

Propriété n°8

Soient

n

k

deux entiers naturels tels que

k \leq n

. Le nombre de combinaisons de

k

éléments d'un ensemble de cardinal

n

vérifie :

\displaystyle{ {n \choose k} }

=

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Propriété n°9

Soit

n\in\mathbb{N}

$\displaystyle{n \choose 0}$ $=$ $1$ ,
si $n\geq1$ , $\displaystyle{n \choose 1}$ $=$ $n$ ,

si $n\geq2$ , $\displaystyle{n \choose 2}$ $=$ $\dfrac{n(n-1)}{2}$ .

Propriété n°10

Soient

n

k

deux entiers naturels tels que

k \leq n

. On a alors :

\displaystyle{ n \choose k }

=

\displaystyle{ n \choose n-k }

Propriété n°11

Soient

n

k

deux entiers naturels tels que

1\leq k \leq n-1

. On a alors :

\displaystyle{ n \choose k }

=

\displaystyle{ n-1 \choose k-1 }+\displaystyle{ n-1 \choose k }

Propriété n°12

Pour tout entier

n

\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}}

=

2^n.