Terminale ∼ Spécialité mathématique
Limites de fonctions
Définition n°1
-- Fonction possédant une limite finie en l'infini
Soient $f$ une fonction et $\ell$ un réel. On dit que la fonction $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}$.
Définition n°2
-- Asymptote horizontale à une courbe
Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$, telle que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}$.
On dit alors que la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Définition n°3
-- Fonction possédant une limite infinie en l'infini
Soient $f$ une fonction. On dit que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, si tout intervalle du type $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x}$ $=$ $+\infty$.
Pour $n\geq 1$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^n}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x}$ $=$ $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}$ $=$ $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$.
Définition n°4
-- Fonction possédant une limite finie en un réel
Soient $f$ une fonction, $a$ et $\ell$ deux réels. On dit que la limite de $f$ en $a$ est égale $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell}$.
Définition n°5
-- Fonction possédant une limite infinie en un réel
Soient $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que $f$ diverge vers $+\infty$ en $a$ si tout intervalle ouvert de la forme $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}}$ $=$ $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}}$ $=$ $+\infty$.
Limite
Interprétation graphique
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$
ou
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}$
La droite d'équation $x=a$ est
asymptote verticale
à la courbe $\mathcal{C}$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b}$
ou
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b}$
La droite d'équation $y=b$ est
asymptote horizontale
à la courbe $\mathcal{C}$.
$\lim f$
$\ell$
$\ell$
$\ell$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$\lim g$
$\ell'$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$\lim f+g$
$\ell+\ell'$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$-\infty$
forme indéterminée
$\lim f$
$\ell$
$\ell>0$
$\ell>0$
$\ell<0$
$\ell<0$
$\lim g$
$\ell'$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$\lim f\times g$
$\ell\times\ell'$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$\lim f$
$+\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$0$
$\lim g$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$+\infty$ ou $-\infty$
$\lim f\times g$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
Forme indéterminée
$\lim f$
$\ell$
$\ell$
$+\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$\infty$
$\lim g$
$\ell'\neq0$
$\infty$
$\ell'>0$
$\ell'<0$
$\ell'>0$
$\ell'<0$
$\infty$
$\lim\dfrac{f}{g}$
$\dfrac{\ell}{\ell'}$
$0$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$+\infty$
Forme indéterminée
$\lim f$
$\ell>0$
$\ell>0$
$\ell<0$
$\ell<0$
$0$
$\lim g$
$0^+$
$0^-$
$0^+$
$0^-$
$0$
$\lim \dfrac{f}{g}$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
$+\infty$
Forme indéterminée
Propriété n°1
La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Définition n°6
-- Fonction composée
Soit $v$ est une fonction définie sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que, pour tout réel $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$.
On appelle fonction composée $v\circ u$ la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $I$ par :
$f(x)$ $=$ $v \circ u(x)$ $=$ $v(u(x)).$
Propriété n°2
-- Limite d'une fonction composée
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles que $f=g\circ h$.
Si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} h(x)=b}$ et $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c}$, alors on a :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(h(x))}$ $=$ $c.$
Propriété n°3
-- Comparaison de limites
Si pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$, et si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}$,
alors, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty$.
Propriété n°4
-- Encadrement de limites (ou théorème des gendarmes)
Si pour $x$ assez grand, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$, et si avec $\ell\in\mathbb{R}$ :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}v(x)}$ $=$ $\ell$,
alors, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}$ $=$ $\ell$.
Propriété n°5
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x}$ $=$ $+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Propriété n°6
-- Croissances comparées --
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Propriété n°7
-- Croissances comparées --
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}}$ $=$ $+\infty$,
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x}$ $=$ $0$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$
Allez l'OM
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n}} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n+1}} }$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $0$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^x }$ $=$ $0$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^n\text{e}^{-x} }$ $=$ $0$
4
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^{x}} }$ $=$ $0$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n \text{e}^{x} }$ $=$ $0$
Sauvegarder la fiche