Terminale ∼ Spécialité mathématique
Limites de fonctions 1Limites d'une fonction en l'infini Une fonction peut avoir trois types de comportement lorsque la variable tend vers l'infini. 1.1Limite finie Nous allons donner ici une définition précise à la notion intuitive qui est, qu'une fonction possède une limite finie

\ell

+\infty

, lorsque les images peuvent être aussi proches de

\ell

que souhaité si la variable est assez grande. Definition 1 -- Fonction possédant une limite finie en l'infini
Soient

f

une fonction et

\ell

un réel. On dit que la fonction

f

tend vers

\ell

quand

x

tend vers

+\infty

si tout intervalle

ouvert

contenant

\ell

contient toutes les valeurs

f(x)

pour

x

assez grand.

On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}

Remark 1 Cette définition est à rapprocher de celle de la limite d'une suite donnée dans le cours sur les suites numériques. Remark 2 Nous avons une définition similaire lorsque la variable tend vers

-\infty

.

Interprétation graphique

0,0

Déplacer les points A et B et faire glisser le graphe (shift+souris) Lorsque l'intervalle vert encadre la limite (en pointillés), nous voyons, en faisant glisser le graphique vers la droite, que pour

x

assez grand, toutes les images sont dans cet intervalle. Et ce même si l'intervalle est proche de la limite. Il faudra alors glisser très loin vers la droite. Definition 2 -- Asymptote horizontale à une courbe
Soit

\mathcal{C}_f

la courbe représentative d'une fonction

f

, telle que

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}

On dit alors que la droite d'équation

y=\ell

est

asymptote

horizontale

à la courbe

\mathcal{C}_f

+\infty

Remark 3 Dans le graphique précédent la courbe de la fonction et son asymptote semblent de plus en plus

proches

lorsque les abscisses sont de plus en plus

grandes.

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\ell}

, on parle également d'asymptote horizontale en

-\infty

. Exemple 1

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}}$ $=$
$0$ ,
Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^n}}$ $=$
$0$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $=$
$0$ .

6 7

1.2Limite infinie Definition 3 -- Fonction possédant une limite infinie en l'infini
Soient

f

une fonction. On dit que la fonction

f

tend vers

+\infty

quand

x

tend vers

+\infty

si tout intervalle du type

]A;+\infty[

contient toutes les valeurs de

f(x)

pour

x

assez grand.

On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}

Remark 4 On a une définition similaire lorsque la variable tend vers

-\infty

, ou lorsque la limite est

-\infty

. On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty}

ou encore

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty}

Exemple 2

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x}$ $=$
$+\infty$ .
Pour $n\geq 1$ , $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^n}$ $=$
$+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$
$+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x}$ $=$
$-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}$ $=$
$-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$
$-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$
$+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$
$+\infty$ .

5 3

1.3Aucune limite Certaines fonctions ne possèdent aucune limite quand la variable tend vers l'infini. Exemple 3 Une fonction qui oscille régulièrement n'admet pas de limite en l'infini.

0,0

2Limites en un réel 2.1Limite finie Definition 4 -- Fonction possédant une limite finie en un réel
Soient

f

une fonction,

a

\ell

deux réels. On dit que la

limite de

f

a

est égale

\ell

si tout intervalle

ouvert

contenant

\ell

contient toutes les valeurs

f(x)

dès que

x

est suffisamment

proche de

a

On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell}

Remark 5 Certaines fonctions possèdent une limite en un réel, même si ce réel ne fait pas partie de l'ensemble de définition. Exemple 4

0,0

0,2

On a ici une fonction

f

définie sur

]-\infty;2[

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=}

0,2

.
On peut remarquer que cette fonction n'est pas définie en

2

, mais pourtant, pour

x

suffisamment proche de

2

les nombres

f(x)

sont aussi proches que l'on veut de

0,2

. 2.2Limite infinie Definition 5 -- Fonction possédant une limite infinie en un réel
Soient

f

une fonction et

a

un réel. On dit que

f

diverge

vers

+\infty

a

si tout intervalle ouvert de la forme

]A\,;+\infty[

contient toutes les valeurs

f(x)

dès que

x

est suffisamment

proche de

a

On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}

Remark 6 On a une définition similaire pour une fonction divergeant vers

-\infty

Exemple 5 Soit

g

la fonction définie sur

\mathbb{R}

\{1\}

par

\displaystyle{g(x)=\frac{1}{(x-1)^2}}

.
On a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{(x-1)^2}=}

+\infty

En effet, lorsque

x

est proche de

1

(x-1)^2

est proche de

0

tout en étant

positif.

Et, plus un nombre est proche de

0

, plus son inverse

en est éloigné.

Par exemple :

0,000\,1

est proche de

0

, alors que son inverse

\dfrac{1}{0,000\,1}

=

10\, 000

en est éloigné.

0,0

Déplacer le graphique (shift+souris) pour observer la position de la courbe et de la droite d'équation

x=1

Nous remarquons sur ce graphique que la courbe se rapproche de la droite verticale d'équation

x=1

. On parle ici

d'asymptote verticale.

Exemple 6 Soit

h

la fonction définie sur

\mathbb{R}

\{2\}

par

\displaystyle{h(x)=\frac{1}{x-2}}

.
On a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^+}\frac{1}{x-2}=}

+\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{1}{x-2}=}

-\infty

L'écriture

x\rightarrow2^+

signifie que

x

se rapproche de

2

en étant plus grand que

2

On peut également noter cela :

x\overset{>}{\longrightarrow}2

et dire que

x

se rapproche de

2

par valeurs supérieures.

Et justement, dans ce cas, si

x\overset{>}{\longrightarrow}2

alors

x-2\rightarrow 0

, en étant

positif.

Donc son inverse se rapproche bien de

+\infty

Et si :

x\overset{<}{\longrightarrow}2

alors

x-2\rightarrow 0

, en étant

négatif.

Son inverse se rapproche alors de

-\infty

0,0

Sur ce graphique nous pouvons à nouveau observer une

asymptote verticale

d'équation

x=1

Exemple 7 Voici maintenant quelques exemples classiques à retenir.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}}$ $=$
$-\infty$ .

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}}$ $=$
$+\infty$ .

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}}$ $=$
$+\infty$ .

0 0

2.3Récapitulatif sur la notion d'asymptote On considère une fonction

f

définie sur un intervalle

I

\mathbb{R}

\mathcal{C}

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soient de plus

a

b

des nombres réels.

Limite	Interprétation graphique
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$ ou $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}$	La droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$ . 0,0 a
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b}$ ou $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b}$	La droite d'équation $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ . 0,0 b

3 0

3Méthode pour déterminer une limite 3.1Limite d'une somme On considère dans le tableau suivant deux fonctions

f

g

dont on connaît les limites (soit en un réel, soit en l'infini).
On s'intéresse alors à la limite de la fonction

f+g

.
La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction

f

converge vers un réel

\ell

et qu'une fonction

g

converge vers un réel

\ell'

, alors la fonction

f+g

converge vers le réel

\ell+\ell'

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim f+g$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Nous allons observer plusieurs exemples où

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty}

et pourtant

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}

donnera des résultats différents. Exemple 8 Pour

f(x)=x^2+3

g(x)=-x^2

, on a bien :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=}

+\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}

-\infty

Et on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}=

3

Exemple 9 Pour

f(x)=x^2

g(x)=-4x^2

, on a bien :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=}

+\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}

-\infty

Et on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} -3x^2}

=

-\infty

Nous pourrions trouver d'autres exemples avec encore d'autres résultats pour la limite de

f+g

. Ainsi on ne peut pas "prévoir" à l'avance le résultat de la limite. D'où l'expression "forme indéterminée".

1 0

3.2Limite d'un produit Nous procédons ici de même que pour la somme en présentant les résultats sous forme de deux tableaux, les possibilités étant plus nombreuses.

La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction

f

converge vers un réel

\ell

et qu'une fonction

g

converge vers un réel

\ell'

, alors la fonction

f\times g

converge vers le réel

\ell\times\ell'

$\lim f$	$\ell$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell<0$	$\ell<0$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim f\times g$	$\ell\times\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$

$\lim f$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim g$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$ ou $-\infty$
$\lim f\times g$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Comme pour la limite d'une somme, nous allons ici donner deux exemples donnant des résultats différents. Exemple 10 Pour

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}

g(x)=x

, on a bien :

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) =}

0

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x) =}

+\infty

Et on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x}{x}}

=

1

Exemple 11 Pour

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}

g(x)=x^3

, on a bien :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}=

0

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=}

+\infty

Et on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^2}

=

+\infty

Remark 7 Lorsqu'une forme indéterminée se présente, il faut effectuer des calculs, travailler sur les expressions algébriques pour lever l'indétermination et trouver la limite. Il ne faudra donc pas se contenter d'écrire qu'il y a une forme indéterminée et ne plus rien faire.

1 1

3.3Limite d'un quotient Nous allons donner ici aussi deux tableaux, le premier sera pour un quotient dont le dénominateur à une limite non nulle.

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\infty$
$\lim g$	$\ell'\neq0$	$\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\infty$
$\lim\dfrac{f}{g}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

Limite d'un quotient dont le dénominateur à une limite nulle.

$\lim f$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell<0$	$\ell<0$	$0$
$\lim g$	$0^+$	$0^-$	$0^+$	$0^-$	$0$
$\lim \dfrac{f}{g}$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

Exercice 1 Calculer :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1-2x^3}{1+\dfrac{1}{x}}}

Correction

Nous avons que :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}

=

-\infty

donc :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1-2x^3}

=

+\infty

De plus :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x}}

=

0

donc :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1+\dfrac{1}{x}}

=

1

Ainsi, par

quotient de limites :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1-2x^3}{1+\frac{1}{x}}}

=

+\infty

Exercice 2 Calculer :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3-10x}

Correction

On a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =}

+\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} 10x=}

+\infty

Nous sommes donc en présence d'une

forme indéterminée.

Pour comprendre la méthode qui va suivre, il faut avoir l'intuition que

x^3

va exploser beaucoup plus vite que

10x

Ainsi c'est sans doute

x^3

qui va l'emporter. Pour cela, nous allons le

mettre en facteur

dans l'expression algébrique.

x^3-10x

=

x^3\left( 1 - \dfrac{10x}{x^3}\right)

=

x^3\left( 1- \dfrac{10}{x^2}\right)

On a alors que :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =}

+\infty

et :

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty} 1 - \dfrac{10}{x^2}}

=

1 -0

=

1

On peut alors conclure, par

produit de limites :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3-10x}

=

+\infty

Exercice 3 Calculer :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}}

Correction

Le numérateur possède une

forme indéterminée

qui ressemble à celle de l'exercice précédent. Nous allons y mettre

x^2

en facteur.
La limite devrait donc être

+\infty

au numérateur, mais également au

dénominateur.

Ceci est à nouveau une forme indéterminée. Nous allons pour cela mettre en facteur le terme

de plus haut degré,

au numérateur et au dénominateur.

\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}

=

\dfrac{ x^2\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ x\left( 3+\frac{1}{x} \right) }

=

\dfrac{ x\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ 3+\frac{1}{x} }

On a alors :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x =}$
$+\infty$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} 2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} =}$
$2$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} 3+\frac{1}{x} =}$
$3$ .

Par quotient de limites, on obtient :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}}

=

+\infty

1 3

3.4Limite de fonctions polynômes et rationnelles en l'infini Les méthodes utilisées dans la résolution des exercices précédents peuvent être généralisées à tous polynômes et fonctions rationnelles (c'est-à-dire quotient de plynômes) lorsqu'on cherche une limite en

+\infty

-\infty

. Property 1

La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite
de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite
du quotient des termes de plus haut degré.

Remark 8 ATTENTION ! Ces propriétés sont valables uniquement lorsque la variable tend vers

l'infini.

Exemple 12

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3-x^2+8}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3}

=

-\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-3x^2+1}{3x^6-x+4}}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3}{3x^6}}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{3x^3}}

=

0

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x-1}{x+1}}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{x}}

=

2

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2+11}{x-1}}

=

\displaystyle{\frac{4^2+11}{4-1}}

=

\dfrac{27}{3}

=

9

2 1

3.5Limites de fonctions composées Definition 6 -- Fonction composée
Soit

v

est une fonction définie sur un intervalle

J

u

une fonction définie sur un intervalle

I

tel que, pour tout réel

x

I

u(x)

appartient à

J

On appelle fonction

composée

v\circ u

la fonction

f

définie pour tout

x

appartenant à

I

par :

f(x)

=

v \circ u(x)

=

v(u(x)).

Exemple 13 Si pour tout réel

x>0

f(x)=\sqrt{x+1}

, alors

f

est la composée des fonctions

u

v

définies par :

u(x)= x+1

v(x)= \sqrt{x}

Exercice 4 Soient

u

v

deux fonctions définies pour tout réel

x

par :

u(x)=x^2

v(x)=x+1

.
Déterminer les expressions algébriques des fonctions :

u\circ v

v\circ u

Correction

Pour tout réel

x

u\circ v(x)

=

u(v(x))

=

u(x+1)

=

(x+1)^2

=

x^2+2x+1

v\circ u(x)

=

v(u(x))

=

v(x^2)

=

x^2+1

Remark 9 La composition des fonctions n'est pas une opération

commutative.

C'est-à-dire que de manière générale :

u\circ v

\neq

v\circ u

Property 2 -- Limite d'une fonction composée
Soient

f

g

h

trois fonctions telles que

f=g\circ h

.

Si

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} h(x)=b}

\displaystyle{\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c}

, alors on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(h(x))}

=

c.

Exercice 5 Déterminer :

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{ \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 } } }

Correction

La fonction

f

est de la forme

\sqrt{u}

avec

u(x)

=

\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }

Nous allons donc, tout d'abord, déterminer la limite de

\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }

-\infty

Puisque la fonction

u

est une fonction rationnelle et que l'on cherche une limite en l'infini, on utilise la propriété qui nous permet de ne conserver que les termes de

plus haut degré.

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4 }{ x^2}}

=

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}

=

+\infty

Or,

\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\sqrt{X}}

=

+\infty

ainsi par

composition de limites :

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }}}

=

+\infty

0 2

3.6 Théorème de comparaison et d'encadrement des limites Property 3 -- Comparaison de limites
Si pour

x

assez grand,

f(x)\geq g(x)

et si

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}

alors,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}

=

+\infty

0,0

Remark 10 La courbe de la fonction

f

est toujours

au-dessus

de celle de la fonction

g

, qui elle monte de plus en plus. Nécessairement la fonction

f

aura des valeurs globalement de plus en plus

grandes.

Property 4 -- Encadrement de limites (ou théorème des gendarmes)
Si pour

x

assez grand,

u(x)\leq f(x)\leq v(x)

et si avec

\ell\in\mathbb{R}

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}v(x)}

=

\ell

,

alors,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}

=

\ell

0,0

Remark 11 La courbe de la fonction

f

est "emprisonnée" par celles des fonctions

g

h

, qui se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre. Les valeurs de la fonction

f

sont donc de plus en plus proches de la

limite

commune des fonctions

g

h

. Remark 12 On peut écrire des propriétés similaires lorsque la variable tend vers

-\infty

ou encore un

réel

a

pour le théorème des gendarmes.

0 0

4Limite en l'infini de la fonction exponentielle

0,0

Courbe représentative de la fonction exponentielle Property 5ROC

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x}

=

+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}

=

0

Preuve
Pour tout entier

n

(\text{e}^n)

est une suite

géométrique

de raison

\text{e}

>1

ainsi

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n}

=

+\infty

Il nous reste à démontrer la limite lorsque la variable est

un nombre réel.

Soit

A>0

, puisque

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n}

=

+\infty

il existe donc

n_0

, tel que pour tout

n\geq n_0

\text{e}^n

\in

]A\,;+\infty[

Pour tout réel

x\geq n_0

il existe un entier

n

compris entre

n_0

x

C'est-à-dire

x\geq n

et puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur

\mathbb{R}

, on a :

\text{e}^x\geq\text{e}^n

Comme

n\geq n_0

, on a

\text{e}^n \in ]A;+\infty[

et on en déduit

\text{e}^x\in]A;+\infty[

Ce qui démontre bien que

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x = +\infty}

Pour la limite en

-\infty

on procède par

changement de variable.

On pose

X=-x

et on a alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}X}

=

+\infty

\text{e}^x=\text{e}^{-X}

=

\dfrac{1}{\text{e}^X}

Ainsi :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}

=

\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^X}}

=

0

d'après ce qui précéde.

Property 6 -- Croissances comparées -- ROC

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$

$=$

$+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x}$

$=$

$0$ .

Preuve du point 1

Montrons tout d'abord que pour tout réel

x\geq 0

, :

\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1

On définit pour tout réel

x

la fonction

\phi

par :

\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1

Le but étant de montrer que

\phi

est

positive

sur

[0;+\infty[

.

Pour tout réel

x

, on a

\phi'(x)

=

\text{e}^x - x - 1

On a de plus que

\phi''(x)

=

\text{e}^x-1

et puisque la fonction exponentielle est

strictement croissante

sur

\mathbb{R}

et que

\text{e}^0

=

1

on a que pour tout

x\geq0

\phi''(x)\geq 0

Ainsi, la fonction

\phi'

est

croissante

sur

[0\,;+\infty[

Or,

\phi'(0)

=

\text{e}^0-0+1

=

0

donc pour tout

x\geq0

\phi'(x)\geq 0

Ainsi, la fonction

\phi

est

croissante

sur

[0;+\infty[

Or,

\phi(0)

=

\text{e}^0 - 1

=

0

donc, pour tout

x\geq0

\phi(x)\geq 0.

C'est-à-dire, que pour tout réel

x\geq0

\text{e}^x

\geq

\dfrac{1}{2}x^2+x+1

Pour tout

x>0

, on obtient alors :

\dfrac{\text{e}^x}{x}

\geq

\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{1}{x}

Or,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x}

=

+\infty

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}

=

0

donc

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{x}}

=

+\infty

Par comparaison de limites,

on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}

=

+\infty

Preuve du point 2

Il suffit d'appliquer à nouveau le changement de variable

X=-x

En effet,

x\rightarrow-\infty

, si et seulement si

X\rightarrow +\infty

\text{e}^x

=

\dfrac{1}{\text{e}^X}

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} x\text{e}^x}

=

\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} -\dfrac{X}{\text{e}^X}}

=

0

d'après le point 1. Property 7-- Croissances comparées -- ROC
Pour tout

n\in\mathbb{N}

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}}$

$=$

$+\infty$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x}$

$=$

$0$ .

Preuve du point 1

Montrons tout d'abord, par récurrence, que : pour tout entier

n

, pour tout réel

x>0

\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}

Initialisation.

Pour

n=0

\dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!}

=

x

et nous savons que

\text{e}^x

\geq

x+1

\geq

x

La propriété est bien vérifiée pour

n=0

Hérédité.

Supposons que pour

un certain

entier

n

\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}

et montrons alors que :

\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}

Pour cela, posons, pour tout

x

\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}

et montrons que la fonction

\phi

ainsi définie est

positive

pour

x>0

On a :

\phi'(x)

=

\text{e}^x - (n+2)\dfrac{x^{n+1}}{(n+2)!}

=

\text{e}^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}

\geq

0

par hypothèse de récurrence.

La fonction

\phi

est donc

croissante

sur

[0\,;+\infty[

, et puisque

\phi(0)

=

\text{e}^0-\dfrac{0^{n+2}}{(n+2)!}

=

1

pour tout

x\geq0

\phi(x)\geq0

Ainsi, pour tout

x\geq0

\text{e}^x

\geq

\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}

Ce qui démontre bien l'hérédité.

Conclusion.

D'après le proncipe de récurrence on a, pour tout entier

n

, pour tout réel

x\geq0

\text{e}^x\geq\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}

Ainsi, pour tout entier

n

, pour tout

x>0

\dfrac{\text{e}^x}{x^n}\geq\dfrac{x}{(n+1)!}

et puisque

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{(n+1)!}}

=

+\infty

par

comparaison

de limites, nous avons bien que

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n}}

=

+\infty

Preuve du point 2

On procède à nouveau à l'aide du changement de variable

X=-x

1 0

5Formulaire Dans le formulaire ci-dessous le nombre

n

est un entier naturel non nul.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $+\infty$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$ Allez l'OM	$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n}} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n+1}} }$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $0$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^x }$ $=$ $0$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^n\text{e}^{-x} }$ $=$ $0$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^{x}} }$ $=$ $0$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n \text{e}^{x} }$ $=$ $0$

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