Terminale ∼ Spécialité mathématique
Limites de fonctions Limites d'une fonction en l'infini Une fonction peut avoir trois types de comportement lorsque la variable tend vers l'infini. Limite finie Nous allons donner ici une définition précise à la notion intuitive qui est, qu'une fonction possède une limite finie ℓ\ell en +∞+\infty, lorsque les images peuvent être aussi proches de ℓ\ell que souhaité si la variable est assez grande. -- Fonction possédant une limite finie en l'infini
Soient ff une fonction et ℓ\ell un réel. On dit que la fonction ff tend vers ℓ\ell quand xx tend vers +∞+\infty si tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient toutes les valeurs f(x)f(x) pour xx assez grand.
On note alors : lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}. Cette définition est à rapprocher de celle de la limite d'une suite donnée dans le cours sur les suites numériques. Nous avons une définition similaire lorsque la variable tend vers −∞-\infty.

Interprétation graphique
2468101212345678
A
B
C
D
Déplacer les points A et B et faire glisser le graphe (shift+souris) Lorsque l'intervalle vert encadre la limite (en pointillés), nous voyons, en faisant glisser le graphique vers la droite, que pour xx assez grand, toutes les images sont dans cet intervalle. Et ce même si l'intervalle est proche de la limite. Il faudra alors glisser très loin vers la droite. -- Asymptote horizontale à une courbe
Soit Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative d'une fonction ff, telle que lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}.
On dit alors que la droite d'équation y=ℓy=\ell est asymptote horizontale à la courbe Cf\mathcal{C}_f en +∞+\infty. Dans le graphique précédent la courbe de la fonction et son asymptote semblent de plus en plus proches lorsque les abscisses sont de plus en plus grandes.
Si lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\ell}, on parle également d'asymptote horizontale en −∞-\infty.
  1. lim⁡x→+∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}} == 00,
  2. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, lim⁡x→+∞1xn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^n}} == 00,
  3. lim⁡x→+∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}} == 00.
Limite infinie -- Fonction possédant une limite infinie en l'infini
Soient ff une fonction. On dit que la fonction ff tend vers +∞+\infty quand xx tend vers +∞+\infty, si tout intervalle du type ]A;+∞[]A;+\infty[ contient toutes les valeurs de f(x)f(x) pour xx assez grand.
On note alors : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}. On a une définition similaire lorsque la variable tend vers −∞-\infty, ou lorsque la limite est −∞-\infty. On note alors : lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty} ou encore lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty}.
  1. lim⁡x→+∞x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x} == +∞+\infty.
  2. Pour n≥1n\geq 1, lim⁡x→+∞xn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^n} == +∞+\infty.
  3. lim⁡x→+∞x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}} == +∞+\infty.
  4. lim⁡x→−∞x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x} == −∞-\infty.
  5. lim⁡x→−∞x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3} == −∞-\infty.
  6. lim⁡x→−∞x2n+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}} == −∞-\infty.
  7. lim⁡x→−∞x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2} == +∞+\infty.
  8. lim⁡x→−∞x2n\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}} == +∞+\infty.
Aucune limite Certaines fonctions ne possèdent aucune limite quand la variable tend vers l'infini. Une fonction qui oscille régulièrement n'admet pas de limite en l'infini.
24681012140.511.5−0.5−1−1.5
Limites en un réel Limite finie -- Fonction possédant une limite finie en un réel
Soient ff une fonction, aa et ℓ\ell deux réels. On dit que la limite de ff en aa est égale ℓ\ell si tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient toutes les valeurs f(x)f(x) dès que xx est suffisamment proche de aa.
On note alors : lim⁡x→af(x)=ℓ\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell}. Certaines fonctions possèdent une limite en un réel, même si ce réel ne fait pas partie de l'ensemble de définition.
1234−1−2−3−4−50.20.40.60.8−0.2−0.4−0.6−0.8
0,2
On a ici une fonction ff définie sur ]−∞;2[]-\infty;2[ et lim⁡x→2f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=} 0,20,2.
On peut remarquer que cette fonction n'est pas définie en 22, mais pourtant, pour xx suffisamment proche de 22 les nombres f(x)f(x) sont aussi proches que l'on veut de 0,20,2. Limite infinie -- Fonction possédant une limite infinie en un réel
Soient ff une fonction et aa un réel. On dit que ff diverge vers +∞+\infty en aa si tout intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[]A\,;+\infty[ contient toutes les valeurs f(x)f(x) dès que xx est suffisamment proche de aa.
On note alors : lim⁡x→af(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}. On a une définition similaire pour une fonction divergeant vers −∞-\infty. Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R}\{1}\{1\} par g(x)=1(x−1)2\displaystyle{g(x)=\frac{1}{(x-1)^2}}.
On a : lim⁡x→11(x−1)2=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{(x-1)^2}=} +∞+\infty.
En effet, lorsque xx est proche de 11, (x−1)2(x-1)^2 est proche de 00, tout en étant positif. Et, plus un nombre est proche de 00, plus son inverse en est éloigné. Par exemple : 0,00010,000\,1 est proche de 00, alors que son inverse 10,0001\dfrac{1}{0,000\,1} == 1000010\, 000 en est éloigné.
12345−1−2−3−4−5123456789
Déplacer le graphique (shift+souris) pour observer la position de la courbe et de la droite d'équation x=1x=1 Nous remarquons sur ce graphique que la courbe se rapproche de la droite verticale d'équation x=1x=1. On parle ici d'asymptote verticale. Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R}\{2}\{2\} par h(x)=1x−2\displaystyle{h(x)=\frac{1}{x-2}}.
On a : lim⁡x→2+1x−2=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^+}\frac{1}{x-2}=} +∞+\infty et lim⁡x→2−1x−2=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{1}{x-2}=} −∞-\infty.
L'écriture x→2+x\rightarrow2^+ signifie que xx se rapproche de 22, en étant plus grand que 22.
On peut également noter cela : x⟶>2x\overset{>}{\longrightarrow}2 et dire que xx se rapproche de 22 par valeurs supérieures.
Et justement, dans ce cas, si x⟶>2x\overset{>}{\longrightarrow}2 alors x−2→0x-2\rightarrow 0, en étant positif. Donc son inverse se rapproche bien de +∞+\infty.
Et si : x⟶<2x\overset{<}{\longrightarrow}2 alors x−2→0x-2\rightarrow 0, en étant négatif. Son inverse se rapproche alors de −∞-\infty.
246−2−4−6246−2−4−6
Sur ce graphique nous pouvons à nouveau observer une asymptote verticale d'équation x=1x=1. Voici maintenant quelques exemples classiques à retenir.
  1. lim⁡x→0−1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}} == −∞-\infty.

  2. lim⁡x→0+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}} == +∞+\infty.

  3. lim⁡x→01x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}} == +∞+\infty.
Récapitulatif sur la notion d'asymptote On considère une fonction ff définie sur un intervalle II de R\mathbb{R} et C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soient de plus aa et bb des nombres réels.
Limite Interprétation graphique
lim⁡x→af(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}
ou

lim⁡x→af(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}
La droite d'équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe C\mathcal{C}.
246246
a
lim⁡x→+∞f(x)=b\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b}
ou

lim⁡x→−∞f(x)=b\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b}
La droite d'équation y=by=b est asymptote horizontale à la courbe C\mathcal{C}.
246246
b
Méthode pour déterminer une limite Limite d'une somme On considère dans le tableau suivant deux fonctions ff et gg dont on connaît les limites (soit en un réel, soit en l'infini).
On s'intéresse alors à la limite de la fonction f+gf+g.
La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction ff converge vers un réel ℓ\ell et qu'une fonction gg converge vers un réel ℓ′\ell', alors la fonction f+gf+g converge vers le réel ℓ+ℓ′\ell+\ell'.
lim⁡f\lim f ℓ\ell ℓ\ell ℓ\ell +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty
lim⁡g\lim g ℓ′\ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty
lim⁡f+g\lim f+g ℓ+ℓ′\ell+\ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Nous allons observer plusieurs exemples où lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty} et lim⁡x→+∞g(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty} et pourtant lim⁡x→+∞f(x)+g(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)} donnera des résultats différents. Pour f(x)=x2+3f(x)=x^2+3 et g(x)=−x2g(x)=-x^2, on a bien :
lim⁡x→+∞f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=} +∞+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=} −∞-\infty.
Et on a : lim⁡x→+∞f(x)+g(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)}= 33. Pour f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=−4x2g(x)=-4x^2, on a bien :
lim⁡x→+∞f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=} +∞+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=} −∞-\infty.
Et on a : lim⁡x→+∞f(x)+g(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+g(x)} == lim⁡x→+∞−3x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} -3x^2} == −∞-\infty.

Nous pourrions trouver d'autres exemples avec encore d'autres résultats pour la limite de f+gf+g. Ainsi on ne peut pas "prévoir" à l'avance le résultat de la limite. D'où l'expression "forme indéterminée".
Limite d'un produit Nous procédons ici de même que pour la somme en présentant les résultats sous forme de deux tableaux, les possibilités étant plus nombreuses.

La deuxième colonne de ce tableau signifie que lorsqu'une fonction ff converge vers un réel ℓ\ell et qu'une fonction gg converge vers un réel ℓ′\ell', alors la fonction f×gf\times g converge vers le réel ℓ×ℓ′\ell\times\ell'.
lim⁡f\lim f ℓ\ell ℓ>0\ell>0 ℓ>0\ell>0 ℓ<0\ell<0 ℓ<0\ell<0
lim⁡g\lim g ℓ′\ell' +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty
lim⁡f×g\lim f\times g ℓ×ℓ′\ell\times\ell' +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty

lim⁡f\lim f +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty 00
lim⁡g\lim g +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty ou −∞-\infty
lim⁡f×g\lim f\times g +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty Forme indéterminée

Explication sur la notion de forme indéterminée
Comme pour la limite d'une somme, nous allons ici donner deux exemples donnant des résultats différents. Pour f(x)=1x\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}} et g(x)=xg(x)=x, on a bien :

lim⁡x→+∞f(x)=\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) =} 00 et lim⁡x→+∞g(x)=\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x) =} +∞+\infty.
Et on a : lim⁡x→+∞f(x)×g(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)} == lim⁡x→+∞xx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x}{x}} == 11. Pour f(x)=1x\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}} et g(x)=x3g(x)=x^3, on a bien :

lim⁡x→+∞f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}= 00 et lim⁡x→+∞g(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=} +∞+\infty.

Et on a : lim⁡x→+∞f(x)×g(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\times g(x)} == lim⁡x→+∞x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^2} == +∞+\infty. Lorsqu'une forme indéterminée se présente, il faut effectuer des calculs, travailler sur les expressions algébriques pour lever l'indétermination et trouver la limite. Il ne faudra donc pas se contenter d'écrire qu'il y a une forme indéterminée et ne plus rien faire.
Limite d'un quotient Nous allons donner ici aussi deux tableaux, le premier sera pour un quotient dont le dénominateur à une limite non nulle.

lim⁡f\lim f ℓ\ell ℓ\ell +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty ∞\infty
lim⁡g\lim g ℓ′≠0\ell'\neq0 ∞\infty ℓ′>0\ell'>0 ℓ′<0\ell'<0 ℓ′>0\ell'>0 ℓ′<0\ell'<0 ∞\infty
lim⁡fg\lim\dfrac{f}{g} ℓℓ′\dfrac{\ell}{\ell'} 00 +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty Forme indéterminée

Limite d'un quotient dont le dénominateur à une limite nulle.
lim⁡f\lim f ℓ>0\ell>0 ℓ>0\ell>0 ℓ<0\ell<0 ℓ<0\ell<0 00
lim⁡g\lim g 0+0^+ 0−0^- 0+0^+ 0−0^- 00
lim⁡fg\lim \dfrac{f}{g} +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty Forme indéterminée
Calculer : lim⁡x→−∞1−2x31+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1-2x^3}{1+\dfrac{1}{x}}}. Nous avons que : lim⁡x→−∞x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3} == −∞-\infty donc : lim⁡x→−∞1−2x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1-2x^3} == +∞+\infty.
De plus : lim⁡x→−∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x}} == 00, donc : lim⁡x→−∞1+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1+\dfrac{1}{x}} == 11.

Ainsi, par quotient de limites : lim⁡x→−∞1−2x31+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1-2x^3}{1+\frac{1}{x}}} == +∞+\infty. Calculer : lim⁡x→+∞x3−10x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3-10x}. On a : lim⁡x→+∞x3=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =} +∞+\infty et lim⁡x→+∞10x=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} 10x=} +∞+\infty.
Nous sommes donc en présence d'une forme indéterminée. Pour comprendre la méthode qui va suivre, il faut avoir l'intuition que x3x^3 va exploser beaucoup plus vite que 10x10x. Ainsi c'est sans doute x3x^3 qui va l'emporter. Pour cela, nous allons le mettre en facteur dans l'expression algébrique.
x3−10xx^3-10x == x3(1−10xx3)x^3\left( 1 - \dfrac{10x}{x^3}\right) == x3(1−10x2)x^3\left( 1- \dfrac{10}{x^2}\right).
On a alors que :
lim⁡x→+∞x3=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3 =} +∞+\infty, et :
lim⁡x→+∞1−10x2\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty} 1 - \dfrac{10}{x^2}} == 1−01 -0 == 11.

On peut alors conclure, par produit de limites :

lim⁡x→+∞x3−10x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^3-10x} == +∞+\infty. Calculer : lim⁡x→+∞2x2−x+13x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}}. Le numérateur possède une forme indéterminée qui ressemble à celle de l'exercice précédent. Nous allons y mettre x2x^2 en facteur.
La limite devrait donc être +∞+\infty au numérateur, mais également au dénominateur. Ceci est à nouveau une forme indéterminée. Nous allons pour cela mettre en facteur le terme de plus haut degré, au numérateur et au dénominateur.

2x2−x+13x+1\dfrac{2x^2-x+1}{3x+1} == x2(2−1x+1x2)x(3+1x)\dfrac{ x^2\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ x\left( 3+\frac{1}{x} \right) } == x(2−1x+1x2)3+1x\dfrac{ x\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) }{ 3+\frac{1}{x} }.

On a alors : Par quotient de limites, on obtient :

lim⁡x→+∞2x2−x+13x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{2x^2-x+1}{3x+1}} == +∞+\infty.
Limite de fonctions polynômes et rationnelles en l'infini Les méthodes utilisées dans la résolution des exercices précédents peuvent être généralisées à tous polynômes et fonctions rationnelles (c'est-à-dire quotient de plynômes) lorsqu'on cherche une limite en +∞+\infty ou −∞-\infty.
ATTENTION ! Ces propriétés sont valables uniquement lorsque la variable tend vers l'infini. lim⁡x→−∞x3−x2+8\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3-x^2+8} == lim⁡x→−∞x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3} == −∞-\infty.

lim⁡x→−∞2x3−3x2+13x6−x+4\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3-3x^2+1}{3x^6-x+4}} == lim⁡x→−∞2x33x6\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2x^3}{3x^6}} == lim⁡x→−∞23x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{3x^3}} == 00.

lim⁡x→+∞2x−1x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x-1}{x+1}} == lim⁡x→+∞2xx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{x}} == 22.

lim⁡x→4x2+11x−1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2+11}{x-1}} == 42+114−1\displaystyle{\frac{4^2+11}{4-1}} == 273\dfrac{27}{3} == 99.
Limites de fonctions composées -- Fonction composée
Soit vv est une fonction définie sur un intervalle JJ et uu une fonction définie sur un intervalle II tel que, pour tout réel xx de II, u(x)u(x) appartient à JJ.

On appelle fonction composée v∘uv\circ u la fonction ff définie pour tout xx appartenant à II par :

f(x)f(x) == v∘u(x)v \circ u(x) == v(u(x)).v(u(x)). Si pour tout réel x>0x>0 : f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1}, alors ff est la composée des fonctions uu et vv définies par : u(x)=x+1u(x)= x+1 et v(x)=xv(x)= \sqrt{x}. Soient uu et vv deux fonctions définies pour tout réel xx par : u(x)=x2u(x)=x^2 et v(x)=x+1v(x)=x+1.
Déterminer les expressions algébriques des fonctions : u∘vu\circ v et v∘uv\circ u. Pour tout réel xx :

u∘v(x)u\circ v(x) == u(v(x))u(v(x)) == u(x+1)u(x+1) == (x+1)2(x+1)^2 == x2+2x+1x^2+2x+1.

v∘u(x)v\circ u(x) == v(u(x))v(u(x)) == v(x2)v(x^2) == x2+1x^2+1. La composition des fonctions n'est pas une opération commutative. C'est-à-dire que de manière générale : u∘vu\circ v ≠\neq v∘uv\circ u. -- Limite d'une fonction composée
Soient ff, gg et hh trois fonctions telles que f=g∘hf=g\circ h.

Si lim⁡x→ah(x)=b\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} h(x)=b} et lim⁡X→bg(X)=c\displaystyle{\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c}, alors on a :
lim⁡x→ag(h(x))\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(h(x))} == c.c. Déterminer : lim⁡x→−∞x4+x2+1x2+3\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{ \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 } } }. La fonction ff est de la forme u\sqrt{u}, avec u(x)u(x) == x4+x2+1x2+3\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }.
Nous allons donc, tout d'abord, déterminer la limite de x4+x2+1x2+3\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 } en −∞-\infty.
Puisque la fonction uu est une fonction rationnelle et que l'on cherche une limite en l'infini, on utilise la propriété qui nous permet de ne conserver que les termes de plus haut degré.
lim⁡x→−∞x4+x2+1x2+3\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }} == lim⁡x→−∞x4x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{ x^4 }{ x^2}} == lim⁡x→−∞x2\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^2} == +∞+\infty.

Or, lim⁡X→+∞X\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\sqrt{X}} == +∞+\infty, ainsi par composition de limites :
lim⁡x→−∞x4+x2+1x2+3\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{\dfrac{ x^4+x^2+1 }{ x^2+3 }}} == +∞+\infty.
Théorème de comparaison et d'encadrement des limites -- Comparaison de limites
Si pour xx assez grand, f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x), et si lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty},
alors, lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)} == +∞+\infty.
C
f
C
g
La courbe de la fonction ff est toujours au-dessus de celle de la fonction gg, qui elle monte de plus en plus. Nécessairement la fonction ff aura des valeurs globalement de plus en plus grandes. -- Encadrement de limites (ou théorème des gendarmes)
Si pour xx assez grand, u(x)≤f(x)≤v(x)u(x)\leq f(x)\leq v(x), et si avec ℓ∈R\ell\in\mathbb{R} :

lim⁡x→+∞u(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)} == lim⁡x→+∞v(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}v(x)} == ℓ\ell,

alors, lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)} == ℓ\ell.
C
u
C
v
C
f
La courbe de la fonction ff est "emprisonnée" par celles des fonctions gg et hh, qui se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre. Les valeurs de la fonction ff sont donc de plus en plus proches de la limite commune des fonctions gg et hh. On peut écrire des propriétés similaires lorsque la variable tend vers −∞-\infty ou encore un réel aa pour le théorème des gendarmes.
Limite en l'infini de la fonction exponentielle
1
1
O
Courbe représentative de la fonction exponentielle
lim⁡x→+∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x} == +∞+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\, lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x} == 00. Preuve
Pour tout entier nn, (en)(\text{e}^n) est une suite géométrique de raison e\text{e} >1>1, ainsi lim⁡n→+∞en\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n} == +∞+\infty.
Il nous reste à démontrer la limite lorsque la variable est un nombre réel.
Soit A>0A>0, puisque lim⁡n→+∞en\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\text{e}^n} == +∞+\infty, il existe donc n0n_0, tel que pour tout n≥n0n\geq n_0, en\text{e}^n ∈\in ]A;+∞[]A\,;+\infty[.
Pour tout réel x≥n0x\geq n_0, il existe un entier nn compris entre n0n_0 et xx. C'est-à-dire x≥nx\geq n et puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}, on a : ex≥en\text{e}^x\geq\text{e}^n.
Comme n≥n0n\geq n_0, on a en∈]A;+∞[\text{e}^n \in ]A;+\infty[ et on en déduit ex∈]A;+∞[\text{e}^x\in]A;+\infty[.
Ce qui démontre bien que lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x = +\infty}.

Pour la limite en −∞-\infty on procède par changement de variable.
On pose X=−xX=-x et on a alors :
lim⁡x→−∞X\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}X} == +∞+\infty et ex=e−X\text{e}^x=\text{e}^{-X} == 1eX\dfrac{1}{\text{e}^X}.

Ainsi :
lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x} == lim⁡X→+∞1eX\displaystyle{ \lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^X}} == 00 d'après ce qui précéde. -- Croissances comparées --
  1. lim⁡x→+∞exx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}} == +∞+\infty.
  2. lim⁡x→−∞xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x} == 00.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord que pour tout réel x≥0x\geq 0, : ex≥12x2+x+1\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1.

On définit pour tout réel xx la fonction ϕ\phi par : ϕ(x)=ex−12x2−x−1\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1.
Le but étant de montrer que ϕ\phi est positive sur [0;+∞[[0;+\infty[.

Pour tout réel xx, on a ϕ′(x)\phi'(x) == ex−x−1\text{e}^x - x - 1.
On a de plus que ϕ′′(x)\phi''(x) == ex−1\text{e}^x-1 et puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} et que e0\text{e}^0 == 11, on a que pour tout x≥0x\geq0, ϕ′′(x)≥0\phi''(x)\geq 0.
Ainsi, la fonction ϕ′\phi' est croissante sur [0;+∞[[0\,;+\infty[.
Or, ϕ′(0)\phi'(0) == e0−0+1\text{e}^0-0+1 == 00, donc pour tout x≥0x\geq0, ϕ′(x)≥0\phi'(x)\geq 0.

Ainsi, la fonction ϕ\phi est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.

Or, ϕ(0)\phi(0) == e0−1\text{e}^0 - 1 == 00, donc, pour tout x≥0x\geq0, ϕ(x)≥0.\phi(x)\geq 0.
C'est-à-dire, que pour tout réel x≥0x\geq0, ex\text{e}^x ≥\geq 12x2+x+1\dfrac{1}{2}x^2+x+1.
Pour tout x>0x>0, on obtient alors :
exx\dfrac{\text{e}^x}{x} ≥\geq 12x+1+1x\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{1}{x}.
Or, lim⁡x→+∞12x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x} == +∞+\infty, et lim⁡x→+∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}} == 00, donc lim⁡x→+∞12x+1+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{x}} == +∞+\infty.
Par comparaison de limites, on a : lim⁡x→+∞exx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}} == +∞+\infty.

Preuve du point 2
Il suffit d'appliquer à nouveau le changement de variable X=−xX=-x.
En effet, x→−∞x\rightarrow-\infty, si et seulement si X→+∞X\rightarrow +\infty, et ex\text{e}^x == 1eX\dfrac{1}{\text{e}^X}.
lim⁡x→−∞xex\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} x\text{e}^x} == lim⁡X→+∞−XeX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} -\dfrac{X}{\text{e}^X}} == 00 d'après le point 1. -- Croissances comparées --
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} :
  1. lim⁡x→+∞exxn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}} == +∞+\infty,

  2. lim⁡x→−∞xnex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x} == 00.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord, par récurrence, que : pour tout entier nn, pour tout réel x>0x>0, ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.

Initialisation.
Pour n=0n=0, x0+1(0+1)!\dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!} == xx, et nous savons que ex\text{e}^x ≥\geq x+1x+1 ≥\geq xx.
La propriété est bien vérifiée pour n=0n=0.

Hérédité.
Supposons que pour un certain entier nn, ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}, et montrons alors que : ex≥xn+2(n+2)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}.
Pour cela, posons, pour tout xx, ϕ(x)=ex−xn+2(n+2)!\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}, et montrons que la fonction ϕ\phi ainsi définie est positive pour x>0x>0.

On a : ϕ′(x)\phi'(x) == ex−(n+2)xn+1(n+2)!\text{e}^x - (n+2)\dfrac{x^{n+1}}{(n+2)!} == ex−xn+1(n+1)!\text{e}^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} ≥\geq 00 par hypothèse de récurrence.
La fonction ϕ\phi est donc croissante sur [0;+∞[[0\,;+\infty[, et puisque ϕ(0)\phi(0) == e0−0n+2(n+2)!\text{e}^0-\dfrac{0^{n+2}}{(n+2)!} == 11, pour tout x≥0x\geq0 , ϕ(x)≥0\phi(x)\geq0. Ainsi, pour tout x≥0x\geq0, ex\text{e}^x ≥\geq xn+2(n+2)!\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}. Ce qui démontre bien l'hérédité.

Conclusion.
D'après le proncipe de récurrence on a, pour tout entier nn, pour tout réel x≥0x\geq0, ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.
Ainsi, pour tout entier nn, pour tout x>0x>0, exxn≥x(n+1)!\dfrac{\text{e}^x}{x^n}\geq\dfrac{x}{(n+1)!}, et puisque lim⁡x→+∞x(n+1)!\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{(n+1)!}} == +∞+\infty, par comparaison de limites, nous avons bien que lim⁡x→+∞exxn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n}} == +∞+\infty.

Preuve du point 2
On procède à nouveau à l'aide du changement de variable X=−xX=-x.
Formulaire Dans le formulaire ci-dessous le nombre nn est un entier naturel non nul.
lim⁡x→+∞x2n\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n}} == +∞+\infty

lim⁡x→+∞x2n+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n+1}} == +∞+\infty 		lim⁡x→−∞x2n\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}} == +∞+\infty

lim⁡x→−∞x2n+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}} == −∞-\infty
lim⁡x→+∞1xn\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^{n}} } == 00

lim⁡x→−∞1xn\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^{n}} } == 00

Allez l'OM 		lim⁡x→0+1xn\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x^{n}} } == +∞+\infty

lim⁡x→0−1x2n\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n}} } == +∞+\infty

lim⁡x→0−1x2n+1\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n+1}} } == −∞-\infty
lim⁡x→+∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x } == +∞+\infty

lim⁡x→+∞e−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^{-x} } == 00 		lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^x } == 00

lim⁡x→−∞e−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x} } == +∞+\infty
lim⁡x→+∞exxn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} } == +∞+\infty

lim⁡x→+∞xne−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^n\text{e}^{-x} } == 00 4 		lim⁡x→+∞xnex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^{x}} } == 00

lim⁡x→−∞xnex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n \text{e}^{x} } == 00