Terminale ∼ Spécialité mathématique
Géométrie dans l'espace (1)
Propriété n°1

Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.
Propriété n°2

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue par le plan.
Propriété n°3

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
Propriété n°4

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Définition n°1

Deux droites D1\mathscr{D}_1 et D2\mathscr{D}_2 sont dites orthogonales s'il existe une droite D1\mathscr{D}'_1 parallèle à D1\mathscr{D}_1 et une droite D2\mathscr{D}'_2 parallèle à D2\mathscr{D}_2 telles que D1\mathscr{D}'_1 et D2\mathscr{D}'_2 soient perpendiculaires dans le plan qu'elles déterminent.
Définition n°2

Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Propriété n°5

Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Propriété n°6

Les propriétés vues pour les vecteurs du plan restent valables pour les vecteurs de l'espace.
Propriété n°7

  • Si OO, II, JJ et KK sont quatre points non coplanaires de l'espace et si i=OI\vec{i} =\overrightarrow{OI} , j=OJ\vec{j} =\overrightarrow{OJ} et k=OK\vec{k} =\overrightarrow{OK} , alors le quadruplet (O;i,j,k)(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) constitue un repère de l'espace.
  • Pour tout point MM de l'espace il existe un unique triplet de réels (x;y;z)(x;y;z) tels que OM=xi+yj+zk\overrightarrow{OM}=x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.

    On appelle ce triplet les coordonnées du point MM où :
    • xx est l'abscisse,
    • yy est l'ordonnée,
    • zz est la cote.

  • Pour tout vecteur u\vec{u} de l'espace il existe un unique triplet de réels (x;y;z)(x;y;z) tels que u=xi+yj+zk\vec{u}=x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}. On appelle ce triplet les coordonnées du vecteur u\vec{u}.
Propriété n°8

Soit A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) et B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.
  • AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées : (xBxA;yByA;zBzA)(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

  • Le milieu de [AB][AB] a pour coordonnées : (xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)\left( \dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right).

  • Si le repère est orthonormé alors :
    ABAB == (xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2)\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2)}.
Définition n°3

Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont dits colinéaires si il existe une constante réelle λ\lambda telle que v\vec{v} == λu\lambda\vec{u}.
Propriété n°9

  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Définition n°4

Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même origine AA ont leurs extrémités dans un même plan passant par AA.
Propriété n°10

Trois vecteurs u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} sont coplanaires si il existe deux réels λ\lambda et μ\mu non tous nuls tels que :

w \vec{w} == λu+μv\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}
Définition n°5

Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs non colinéaires. Soient P\mathscr{P} un plan de l'espace et Ω\Omega un point de P\mathscr{P}.
Si les points AA et BB définis par ΩA\overrightarrow{\Omega A} == u\vec{u} et ΩB\overrightarrow{\Omega B} == v\vec{v} appartiennent à P\mathscr{P}, on dit que les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} dirigent le plan P\mathscr{P}.
Définition n°6

Soient u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} trois vecteurs coplanaires. Les réels xx et yy tels que w=xu+yv\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v} sont appelées les coordonnées de w\vec{w} dans la base (u;v)(\vec{u}\,;\vec{v}).
Propriété n°11

Les points AA, BB, CC et DD sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs AB\overrightarrow{AB}, AC\overrightarrow{AC} et AD\overrightarrow{AD} sont coplanaires.
Définition n°7

Trois vecteurs de l'espace u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} qui ne sont pas coplanaires sont dits linéairement indépendants.
Propriété n°12

Soient u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} trois vecteurs de l'espace. Alors :
u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} sont linéairement indépendants si et seulement si, pour tous réels aa, bb et cc, au+bv+cwa\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w} == 0\vec{0} implique aa == bb == cc == 00.
Propriété n°13
Caractérisation vectorielle d'une droite
On considère une droite D\mathscr{D} passant par un point AA et dirigée par un vecteur u\vec{u}. Pour tout point MM de l'espace on a:
MDM\in\mathscr{D} \Longleftrightarrow AM\overrightarrow{AM} et u\vec{u} sont colinéaires.
Propriété n°14
Caractérisation vectorielle d'un plan
On considère un plan P\mathscr{P} passant par un point AA et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u\vec{u} et v\vec{v}. Pour tout point MM de l'espace on a:
MPM\in\mathscr{P} \Longleftrightarrow AM\overrightarrow{AM}, u\vec{u} et v\vec{v} sont coplanaires.
Propriété n°15

Une droite D\mathscr{D} est parallèle à un plan P\mathscr{P} si, et seulement si, un vecteur directeur de D\mathscr{D} est un vecteur de P\mathscr{P} (au sens coplanaire à deux vecteurs non colinéaires de P\mathscr{P}).
Propriété n°16

Si D\mathscr{D} est la droite passant par A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) et de vecteur u(abc)\vec{u} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}. Alors :
M(x;y;z)DM(x;y;z) \in \mathscr{D} \Longleftrightarrow {x=xA+t×ay=yA+t×bz=zA+t×c\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & x_A + t\times a \\ y & = & y_A + t\times b \\ z & = & z_A + t\times c \end{array} \right.  pour tR.\text{ pour } t\in \mathbb{R}.