Terminale ∼ Spécialité mathématique
Géométrie dans l'espace (1)
Propriété n°1
Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.
Propriété n°2
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue par le plan.
Propriété n°3
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
Propriété n°4
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Définition n°1
Deux droites
D
1
\mathscr{D}_1
D
1
et
D
2
\mathscr{D}_2
D
2
sont dites orthogonales s'il existe une droite
D
1
′
\mathscr{D}'_1
D
1
′
parallèle à
D
1
\mathscr{D}_1
D
1
et une droite
D
2
′
\mathscr{D}'_2
D
2
′
parallèle à
D
2
\mathscr{D}_2
D
2
telles que
D
1
′
\mathscr{D}'_1
D
1
′
et
D
2
′
\mathscr{D}'_2
D
2
′
soient perpendiculaires dans le plan qu'elles déterminent.
Définition n°2
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Propriété n°5
Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Propriété n°6
Les propriétés vues pour les vecteurs du plan restent valables pour les vecteurs de l'espace.
Propriété n°7
Si
O
O
O
,
I
I
I
,
J
J
J
et
K
K
K
sont quatre points non coplanaires de l'espace et si
i
⃗
=
O
I
→
\vec{i} =\overrightarrow{OI}
i
=
O
I
,
j
⃗
=
O
J
→
\vec{j} =\overrightarrow{OJ}
j
=
O
J
et
k
⃗
=
O
K
→
\vec{k} =\overrightarrow{OK}
k
=
O
K
, alors le quadruplet
(
O
;
i
⃗
,
j
⃗
,
k
⃗
)
(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})
(
O
;
i
,
j
,
k
)
constitue un repère de l'espace.
Pour tout point
M
M
M
de l'espace il existe un unique triplet de réels
(
x
;
y
;
z
)
(x;y;z)
(
x
;
y
;
z
)
tels que
O
M
→
=
x
i
⃗
+
y
j
⃗
+
z
k
⃗
\overrightarrow{OM}=x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
O
M
=
x
i
+
y
j
+
z
k
.
On appelle ce triplet les coordonnées du point
M
M
M
où :
x
x
x
est l'abscisse,
y
y
y
est l'ordonnée,
z
z
z
est la cote.
Pour tout vecteur
u
⃗
\vec{u}
u
de l'espace il existe un unique triplet de réels
(
x
;
y
;
z
)
(x;y;z)
(
x
;
y
;
z
)
tels que
u
⃗
=
x
i
⃗
+
y
j
⃗
+
z
k
⃗
\vec{u}=x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}
u
=
x
i
+
y
j
+
z
k
. On appelle ce triplet les coordonnées du vecteur
u
⃗
\vec{u}
u
.
Propriété n°8
Soit
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
A(x_A;y_A;z_A)
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
et
B
(
x
B
;
y
B
;
z
B
)
B(x_B;y_B;z_B)
B
(
x
B
;
y
B
;
z
B
)
deux points de l'espace.
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
a pour coordonnées :
(
x
B
−
x
A
;
y
B
−
y
A
;
z
B
−
z
A
)
(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
(
x
B
−
x
A
;
y
B
−
y
A
;
z
B
−
z
A
)
.
Le milieu de
[
A
B
]
[AB]
[
A
B
]
a pour coordonnées :
(
x
A
+
x
B
2
;
y
A
+
y
B
2
;
z
A
+
z
B
2
)
\left( \dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right)
(
2
x
A
+
x
B
;
2
y
A
+
y
B
;
2
z
A
+
z
B
)
.
Si le repère est orthonormé alors :
A
B
AB
A
B
=
=
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
+
(
z
B
−
z
A
)
2
)
\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2)}
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
+
(
z
B
−
z
A
)
2
)
.
Définition n°3
Deux vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
sont dits colinéaires si il existe une constante réelle
λ
\lambda
λ
telle que
v
⃗
\vec{v}
v
=
=
=
λ
u
⃗
\lambda\vec{u}
λ
u
.
Propriété n°9
Les points
A
A
A
,
B
B
B
et
C
C
C
sont alignés si et seulement si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires.
Les droites
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
C
D
)
(CD)
(
C
D
)
sont parallèles si et seulement si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
C
D
→
\overrightarrow{CD}
C
D
sont colinéaires.
Définition n°4
Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même origine
A
A
A
ont leurs extrémités dans un même plan passant par
A
A
A
.
Propriété n°10
Trois vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
,
v
⃗
\vec{v}
v
et
w
⃗
\vec{w}
w
sont coplanaires si il existe deux réels
λ
\lambda
λ
et
μ
\mu
μ
non tous nuls tels que :
w
⃗
\vec{w}
w
=
=
=
λ
u
⃗
+
μ
v
⃗
\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}
λ
u
+
μ
v
Définition n°5
Soient
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
deux vecteurs non colinéaires. Soient
P
\mathscr{P}
P
un plan de l'espace et
Ω
\Omega
Ω
un point de
P
\mathscr{P}
P
.
Si les points
A
A
A
et
B
B
B
définis par
Ω
A
→
\overrightarrow{\Omega A}
Ω
A
=
=
=
u
⃗
\vec{u}
u
et
Ω
B
→
\overrightarrow{\Omega B}
Ω
B
=
=
=
v
⃗
\vec{v}
v
appartiennent à
P
\mathscr{P}
P
, on dit que les vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
dirigent le plan
P
\mathscr{P}
P
.
Définition n°6
Soient
u
⃗
\vec{u}
u
,
v
⃗
\vec{v}
v
et
w
⃗
\vec{w}
w
trois vecteurs coplanaires. Les réels
x
x
x
et
y
y
y
tels que
w
⃗
=
x
u
⃗
+
y
v
⃗
\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}
w
=
x
u
+
y
v
sont appelées les coordonnées de
w
⃗
\vec{w}
w
dans la base
(
u
⃗
;
v
⃗
)
(\vec{u}\,;\vec{v})
(
u
;
v
)
.
Propriété n°11
Les points
A
A
A
,
B
B
B
,
C
C
C
et
D
D
D
sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
,
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
et
A
D
→
\overrightarrow{AD}
A
D
sont coplanaires.
Définition n°7
Trois vecteurs de l'espace
u
⃗
\vec{u}
u
,
v
⃗
\vec{v}
v
et
w
⃗
\vec{w}
w
qui ne sont pas coplanaires sont dits
linéairement indépendants
.
Propriété n°12
Soient
u
⃗
\vec{u}
u
,
v
⃗
\vec{v}
v
et
w
⃗
\vec{w}
w
trois vecteurs de l'espace. Alors :
u
⃗
\vec{u}
u
,
v
⃗
\vec{v}
v
et
w
⃗
\vec{w}
w
sont linéairement indépendants si et seulement si, pour tous réels
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
,
a
u
⃗
+
b
v
⃗
+
c
w
⃗
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}
a
u
+
b
v
+
c
w
=
=
=
0
⃗
\vec{0}
0
implique
a
a
a
=
=
=
b
b
b
=
=
=
c
c
c
=
=
=
0
0
0
.
Propriété n°13
Caractérisation vectorielle d'une droite
On considère une droite
D
\mathscr{D}
D
passant par un point
A
A
A
et dirigée par un vecteur
u
⃗
\vec{u}
u
. Pour tout point
M
M
M
de l'espace on a:
M
∈
D
M\in\mathscr{D}
M
∈
D
⟺
\Longleftrightarrow
⟺
A
M
→
\overrightarrow{AM}
A
M
et
u
⃗
\vec{u}
u
sont colinéaires.
Propriété n°14
Caractérisation vectorielle d'un plan
On considère un plan
P
\mathscr{P}
P
passant par un point
A
A
A
et dirigé par deux vecteurs non colinéaires
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
. Pour tout point
M
M
M
de l'espace on a:
M
∈
P
M\in\mathscr{P}
M
∈
P
⟺
\Longleftrightarrow
⟺
A
M
→
\overrightarrow{AM}
A
M
,
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
sont coplanaires.
Propriété n°15
Une droite
D
\mathscr{D}
D
est parallèle à un plan
P
\mathscr{P}
P
si, et seulement si, un vecteur directeur de
D
\mathscr{D}
D
est un vecteur de
P
\mathscr{P}
P
(au sens coplanaire à deux vecteurs non colinéaires de
P
\mathscr{P}
P
).
Propriété n°16
Si
D
\mathscr{D}
D
est la droite passant par
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
A(x_A;y_A;z_A)
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
et de vecteur
u
⃗
(
a
b
c
)
\vec{u} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}
u
⎝
⎛
a
b
c
⎠
⎞
. Alors :
M
(
x
;
y
;
z
)
∈
D
M(x;y;z) \in \mathscr{D}
M
(
x
;
y
;
z
)
∈
D
⟺
\Longleftrightarrow
⟺
{
x
=
x
A
+
t
×
a
y
=
y
A
+
t
×
b
z
=
z
A
+
t
×
c
\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & x_A + t\times a \\ y & = & y_A + t\times b \\ z & = & z_A + t\times c \end{array} \right.
⎩
⎨
⎧
x
y
z
=
=
=
x
A
+
t
×
a
y
A
+
t
×
b
z
A
+
t
×
c
pour
t
∈
R
.
\text{ pour } t\in \mathbb{R}.
pour
t
∈
R
.
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