Terminale ∼ Spécialité mathématique
Dérivation

Définition n°1
-- Nombre dérivé
La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ existe et est finie. Dans ce cas cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$, c'est-à-dire :

$\displaystyle{f'(a)=\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ ou encore,

$\displaystyle{f'(a)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Définition n°2
-- Fonction dérivable
On dit que $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ si elle est dérivable en tout nombre de $I$.
On peut alors définir une fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$.
On l'appelle la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $I$ et on la note $f'$.

Définition n°3
-- Tangente à une courbe
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. On considère le point $A(a,f(a))$. Si le nombre $f'(a)$ existe on a alors que, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Propriété n°1
-- Équation de la tangente
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$, est donnée par :

$y=f'(a)(x-a)+f(a).$

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$c$ (constante)	0	$\mathbb{R}$
$x$	1	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$)	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$	$-\dfrac{n}{x^{n+1}}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$\text{e}^x$	$\text{e}^x$	$\mathbb{R}$

Propriété n°2

$(u+v)'$ $=$ $u'+v'$

$(k\times u)'$ $=$ $k\times u'$

$(u\times v)'$ $=$ $u'v+v'u$

$\left(\dfrac{1}{v}\right)'$ $=$ $-\dfrac{v'}{v^2}$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$

Définition n°4
-- Fonction composée
Soit $v$ est une fonction définie sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que, pour tout réel $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$.

On appelle fonction composée $v\circ u$ la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $I$ par :

$f(x)$ $=$ $v \circ u(x)$ $=$ $v(u(x)).$

Propriété n°3

Soit $v$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ tel que, pour tout réel $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$. On a alors :
$(v \circ u)'$ $=$ $u'\times (v'\circ u)$.
C'est-à-dire, pour tout réel $x\in I$ tel que $u(x)\in J$ : $(v \circ u)'(x)$ $=$ $u'(x)\times v'( u(x))$.

Propriété n°4

Soient $u$ et $f$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

$(u^n)'$ $=$ $nu'u^{n-1}$ (pour $n\in\mathbb{N}$, $n\geq1$)

$\left(\text{e}^u\right)'$ $=$ $u'\text{e}^u$.

Si $u$ ne s'annule pas sur $I$,

$\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'$ $=$ $-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$ (pour $n\in\mathbb{N}$)

Si $u$ est strictement positive sur $I$,

$(\sqrt{u})'$ $=$ $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Pour tous réels $a$ et $b$, $\displaystyle{\left(f(ax+b)\right)'}$ $=$ $a\times f'(ax+b)$.

Propriété n°5

Soit $f$ une fonction définie sur intervalle $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$ alors $f$ est constante sur $I$.

Propriété n°6
-- Extremun local
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ contenant $x_0$.
Si $f'$ s'annule, en changeant de signe en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un extremum local pour $f$ sur $I$.