Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Succession d’épreuves indépendantes / Schéma de Bernoulli
On considère dans ce paragraphe un univers probabilité $\Omega$ ainsi que $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$.

$P(\overline{A})$ $=$ $1-P(A)$ ;

$P(A \cup B)$ $=$ $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;

$P_B(A)$ $=$ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ si $B\neq\emptyset$ ;

$P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P_A(B)$ si $A\neq\emptyset$.

Dans l'arbre ci-dessous la formule des probabilités totales nous donne :

$P(B)$ $=$ $P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$,

ou encore :

$P(B)$ $=$ $P(A)\times P(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)$.
Définition n°1
-- Événements indépendants
Dire que $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants, avec $A\neq\emptyset$ et $B\neq\emptyset$ signifie que : $P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$.
Propriété n°1

Soient $n$ un entier naturel supérieur à $2$ et $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ $n$ évènements indépendants. On a alors :

$P\left( A_1\cap A_2 \cap \dots \cap A_n \right)$ $=$ $P(A_1)\times P(A_2) \times\dots\times P(A_n)$.
Propriété n°2

Soient $n$ un entier naturel supérieur à $2$ et $E_1$, $E_2$, $\ldots$, $E_n$ $n$ épreuves indépendantes définies respectivement sur les univers probabilisés $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\ldots$, $\Omega_n$.
L'univers des possibles est alors le produit cartésien $\Omega_1\times\Omega_2\times\dots\times\Omega_n$ et une issue possibles est un $n$-uplet $(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n)$ avec $e_i$ une issue de $E_i$.
La propabilité d'obtenir le $n$-uplet $(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n)$ est alors égale au produit des probabilités de chaque issue $e_i$, c'est-à-dire : $P(e_1)\times P(e_2)\times\dots\times P(e_n)$.
Définition n°2

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p\in[0\,;1]$, est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée « succés », qui a pour probabilité $p$, et l'autre appelée « échec », qui a pour probabilité $1-p$.
Définition n°3

Soient $n$ un entier naturel non nul et $p\in[0\,;1]$.
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter de manière indépendante $n$ épreuves de Bernoulli identiques de paramètres $p$, s'appelle un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
Définition n°4

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0\,;1]$.
La loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi les $n$ répétitions du schéma de Bernoulli s'appelle loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Propriété n°3

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p\in[0\,;1]$.
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Pour tout entier $k\leq n$, on a : $P(X=k)$ $=$ $\displaystyle{{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}$.