Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Succession d’épreuves indépendantes / Schéma de Bernoulli
On considère dans ce paragraphe un univers probabilité Ω\Omega ainsi que AA et BB deux évènements de Ω\Omega.

P(A‾)P(\overline{A}) == 1−P(A)1-P(A) ;

P(A∪B)P(A \cup B) == P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A)+P(B)-P(A\cap B);

PB(A)P_B(A) == P(A∩B)P(B)\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} si B≠∅B\neq\emptyset ;

P(A∩B)P(A\cap B) == P(A)×PA(B)P(A)\times P_A(B) si A≠∅A\neq\emptyset.

Dans l'arbre ci-dessous la formule des probabilités totales nous donne :

P(B)P(B) == P(A∩B)+P(A‾∩B)P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right),

ou encore :

P(B)P(B) == P(A)×P(A)×PA(B)+P(A‾)×PA‾(B)P(A)\times P(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B).
AA
A‾\overline{A}
BB
B‾\overline{B}
B‾\overline{B}
BB
P(A)P(A)
1−P(A)1-P(A)
PA(B)PA(B)
PA(B‾)PA(\overline{B})
PA‾(B)P\overline{A}(B)
PA‾(B‾)P\overline{A}(\overline{B})
Définition n°1
-- Événements indépendants
Dire que AA et BB sont deux évènements indépendants, avec A≠∅A\neq\emptyset et B≠∅B\neq\emptyset signifie que : P(A∩B)P(A\cap B) == P(A)×P(B)P(A)\times P(B).
Propriété n°1

Soient nn un entier naturel supérieur à 22 et A1A_1, A2A_2, …\ldots, AnA_n nn évènements indépendants. On a alors :

P(A1∩A2∩⋯∩An)P\left( A_1\cap A_2 \cap \dots \cap A_n \right) == P(A1)×P(A2)×⋯×P(An)P(A_1)\times P(A_2) \times\dots\times P(A_n).
Propriété n°2

Soient nn un entier naturel supérieur à 22 et E1E_1, E2E_2, …\ldots, EnE_n nn épreuves indépendantes définies respectivement sur les univers probabilisés Ω1\Omega_1, Ω2\Omega_2, …\ldots, Ωn\Omega_n.
L'univers des possibles est alors le produit cartésien Ω1×Ω2×⋯×Ωn\Omega_1\times\Omega_2\times\dots\times\Omega_n et une issue possibles est un nn-uplet (e1;e2;…;en)(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n) avec eie_i une issue de EiE_i.
La propabilité d'obtenir le nn-uplet (e1;e2;…;en)(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n) est alors égale au produit des probabilités de chaque issue eie_i, c'est-à-dire : P(e1)×P(e2)×⋯×P(en)P(e_1)\times P(e_2)\times\dots\times P(e_n).
Définition n°2

Une épreuve de Bernoulli de paramètre pp, avec p∈[0;1]p\in[0\,;1], est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée « succés », qui a pour probabilité pp, et l'autre appelée « échec », qui a pour probabilité 1−p1-p.
Définition n°3

Soient nn un entier naturel non nul et p∈[0;1]p\in[0\,;1].
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter de manière indépendante nn épreuves de Bernoulli identiques de paramètres pp, s'appelle un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.
Définition n°4

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp, n∈N∗n\in\mathbb{N}^* et p∈[0;1]p\in[0\,;1].
La loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi les nn répétitions du schéma de Bernoulli s'appelle loi binomiale de paramètres nn et pp.
Propriété n°3

Soit nn un entier naturel non nul et p∈[0;1]p\in[0\,;1].
On considère une variable aléatoire XX suivant la loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier k≤nk\leq n, on a : P(X=k)P(X=k) == (nk)pk(1−p)n−k\displaystyle{{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}.