Terminale ∼ Spécialité mathématique
Continuité / Fonctions convexes
Définition n°1
-- Fonction continue
Soient II un intervalle de R\mathbb{R}, ff une fonction définie sur II, et aa un réel appartenant à l'intervalle II.
ff est continue en aa si lim⁡x→af(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)} existe et vaut f(a)f(a).
ff est continue sur II si pour tout réel a∈Ia\in I : ff est continue en aa.
Propriété n°1

Les fonctions polynômes, rationnelles et racines sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Il en est de même des fonctions construites à partir de celles-ci par addition, multiplication et composition.
Définition n°2
-- Fonction partie entière
La fonction partie entière est la fonction, fréquemment notée EE, qui à tout réel xx associe l'unique entier nn tel que :

n≤x<n+1.n\leq x < n+1.
Par ailleurs, comme nous pouvons le voir sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction partie entière ressemble à un "escalier". Nous y observons des "sauts" au niveau de chacun des entiers. Nous parlons ici de discontinuité.
1234−1−2−3−41234−1−2−3−4
Propriété n°2
-- Théorème des valeurs intermédiaires

Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle II, et soient aa et bb deux réels de II.
Si kk est un réel compris entre les valeurs f(a)f(a) et f(b)f(b), alors l'équation f(x)=kf(x)=k admet au moins une solution sur l'intervalle II.
Propriété n°3
-- Théorème de la bijection
Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a;b][a;b]. Si ff est continue et strictement monotone sur l'intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b) l'équation f(x)=kf(x)=k admet une unique solution sur l'intervalle [a;b][a;b].
Propriété n°4

Toute fonction dérivable sur un intervalle II est continue sur II.
Propriété n°5

Soit ff une fonction définie sur intervalle II de R\mathbb{R}, continue en a∈Ia\in I. Soit (un)(u_n) une suite convergeant vers aa. On a alors :

lim⁡n→+∞f(un) \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) } == f(lim⁡n→+∞un)\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)} == f(a)f(a).
Propriété n°6

Soient une fonction ff continue sur un intervalle II telle que pour tout x∈Ix\in I, f(x)∈If(x)\in I, et (un)(u_n) la suite définie par u0∈Iu_0\in I et pour tout entier nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).
Si (un)(u_n) converge vers ℓ∈I\ell\in I, alors ℓ\ell est une solution de l'équation f(x)=xf(x)=x.
Définition n°3

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère du plan.
  • On dit que ff est convexe sur II, si pour tous réels aa et bb de II, la portion de C\mathcal{C} comprise entre les points A(a;f(a))A(a\,;f(a)) et B(b;f(b))B(b\,;f(b)) est en dessous du segment [AB][AB].
  • On dit que ff est concave sur II, si pour tous réels aa et bb de II, la portion de C\mathcal{C} comprise entre les points A(a;f(a))A(a\,;f(a)) et B(b;f(b))B(b\,;f(b)) est au-dessus du segment [AB][AB].
12345−1−2−32468−2
A
B
Graphe d'une fonction convexe
1234−1−2−3−42468−2
A
B
Graphe d'une fonction concave
Définition n°4

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II et C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère et a∈Ia \in I.
Le point A(a;f(a))A(a;f(a)) de C\mathcal{C} est un point d'inflexion de C\mathcal{C} si et seulement si f′′f'' s'annule en changeant de signe en aa. Graphiquement, C\mathcal{C} admet une tangente qui traverse la courbe C\mathcal{C} en ce point AA.
1234−1−2−3−42468−2
Point d'inflexion en x=1x=1
Propriété n°7

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
  • ff est convexe sur II,
  • f′f' est croissante sur II,
  • f′′f'' est positive sur II.
Propriété n°8

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
  • ff est concave sur II,
  • f′f' est décroissante sur II,
  • f′′f'' est négative sur II.
Propriété n°9

Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle [a;b][a\,;b] de R\mathbb{R}.
Si f′′f'' est positive, alors la courbe représentative de ff est au-dessus de ses tangentes.