Définition n°1
-- Fonction continue
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $I$, et $a$ un réel appartenant à l'intervalle $I$.
$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ existe et vaut $f(a)$.
$f$ est continue sur $I$ si pour tout réel $a\in I$ : $f$ est continue en $a$.

Propriété n°1

Les fonctions polynômes, rationnelles et racines sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Il en est de même des fonctions construites à partir de celles-ci par addition, multiplication et composition.

Définition n°2
-- Fonction partie entière
La fonction partie entière est la fonction, fréquemment notée $E$, qui à tout réel $x$ associe l'unique entier $n$ tel que :

$n\leq x < n+1.$

Par ailleurs, comme nous pouvons le voir sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction partie entière ressemble à un "escalier". Nous y observons des "sauts" au niveau de chacun des entiers. Nous parlons ici de discontinuité.

Propriété n°2
-- Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.
Si $k$ est un réel compris entre les valeurs $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur l'intervalle $I$.

Propriété n°3
-- Théorème de la bijection
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$. Si $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[a;b]$.

Propriété n°5

Soit $f$ une fonction définie sur intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, continue en $a\in I$. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $a$. On a alors :

$ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }$ $=$ $\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}$ $=$ $f(a)$.

Propriété n°6

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x\in I$, $f(x)\in I$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in I$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$, alors $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=x$.

Définition n°3

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

On dit que $f$ est convexe sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de $\mathcal{C}$ comprise entre les points $A(a\,;f(a))$ et $B(b\,;f(b))$ est en dessous du segment $[AB]$.
On dit que $f$ est concave sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de $\mathcal{C}$ comprise entre les points $A(a\,;f(a))$ et $B(b\,;f(b))$ est au-dessus du segment $[AB]$.

Définition n°4

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère et $a \in I$.
Le point $A(a;f(a))$ de $\mathcal{C}$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$. Graphiquement, $\mathcal{C}$ admet une tangente qui traverse la courbe $\mathcal{C}$ en ce point $A$.

Propriété n°7

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$,
$f'$ est croissante sur $I$,
$f''$ est positive sur $I$.

Propriété n°8

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est concave sur $I$,
$f'$ est décroissante sur $I$,
$f''$ est négative sur $I$.

Propriété n°9

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $[a\,;b]$ de $\mathbb{R}$.
Si $f''$ est positive, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.