Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Géométrie dans l'espace (2) Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

orthonormal de l'espace. 1Produit scalaire dans l'espace 1.1Définition du produit scalaire Definition 1
Soient

\vec{u} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}

deux vecteurs. Le produit

scalaire

\vec{u}

\vec v

est le nombre réel noté

\vec{u}\cdot\vec{v}

tel que :

\vec{u} \cdot \vec{v}

=

xx'

+

yy'

+

zz'.

Exemple 1

Soit $\vec u = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}$ et $\vec v = \begin{pmatrix}5 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ , alors $\vec u \cdot \vec v =$
$1\times 5+3\times (-1)+(-2)\times 1$

$=$

$0$ .

Soit $\vec w = \begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}$ , alors $\vec u \cdot \vec w =$
$1\times (-4) + 3\times(-2)+(-2)\times 0$

$=$

$-10$ .

Remark 1 Le produit scalaire apparaît dans de nombreuses situations et permettra de plus de répondre rapidement à certaines questions.

12 2

1.2Norme d'un vecteur Definition 2
Soit

\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

un vecteur et

M

un point tel que

\vec u =\overrightarrow{OM}

. La

norme

du vecteur

\vec u

est le réel positif :

||\vec u||

=

OM

=

\sqrt{x^2+y^2+z^2}

=

\sqrt{\vec u \cdot \vec u}.

Exemple 2 Avec les vecteurs

\vec u = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}

\vec v = \begin{pmatrix}5 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}

de l'exemple précédent :

||\vec{u}|| =

\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}

=

\sqrt{14}

||\vec v|| =

\sqrt{5^2+(-1)^2+1^2}

=

\sqrt{27}

=

3\sqrt{3}

Definition 3
Soient

A

B

deux points de l'espace. La distance

AB

est définie par la

norme

du vecteur

\overrightarrow{AB}

Exemple 3 Étudions la sphère

\mathscr{S}(A,r)

de centre

A(x_A;y_A;z_A)

et de rayon

r>0

.
On considère un point

M(x;y;z)

\mathscr{S}(A,r)

. On a alors :

M(x;y;z)

\in

\mathscr{S}(A,r)

\Longleftrightarrow

AM=r

\Longleftrightarrow

AM^2=r^2

Or,

\overrightarrow{AM}

a pour coordonnées

\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\end{pmatrix}

ainsi :

AM^2=

(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2

En conclusion,

M(x;y;z)\in \mathscr{S}(A,r)

si et seulement si :

(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2

=

r^2.

Exemple 4 L'équation de

\mathscr{S}(O,1)

, sphère de centre

O

et de rayon

1

est :

x^2+y^2+z^2=1

4 5

1.3Orthogonalité Remark 2 Considérons les deux vecteurs

\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

\vec{v}=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}

, ainsi que les points

A

B

C

tels que

\vec u = \overrightarrow{AB}

\vec v = \overrightarrow{BC}

.
On a alors que :

\overrightarrow{AC}

=

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

=

\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}

De plus, d'après l'équivalence de Pythagore :

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont orthogonaux }$	$\Longleftrightarrow$	$AC^2=AB^2+BC^2$
	$\Longleftrightarrow$	$\\|\overrightarrow{AC}\\|^2$ $=$ $\\|\overrightarrow{AB}\\|^2 + \\|\overrightarrow{BC}\\|^2$
	$\Longleftrightarrow$	$(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2$ $=$ $x^2+y^2+z^2+x'^2+y'^2+z'^2$
	$\Longleftrightarrow$	$x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2$ $=$ $x^2+y^2+z^2+x'^2+y'^2+z'^2$
	$\Longleftrightarrow$	$2xx'+2yy'+2zz'$ $=$ $0$
	$\Longleftrightarrow$	$xx'+yy'+zz'=0$
	$\Longleftrightarrow$	$\vec{u}\cdot\vec{v}=0.$

Ainsi, le produit scalaire défini dans ce cours correspond bien à celui rencontré dans le plan, cette dernière remarque amenant à la propriété suivante. Property 1
Soient

\vec u

\vec v

deux vecteurs de l'espace.

\vec u

\vec v

sont

orthogonaux

si et seulement si

\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Exemple 5 Avec les vecteurs

\vec u = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}

\vec v = \begin{pmatrix}5 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}

\vec w = \begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}

des exemples précédents nous avons donc :
➤

\vec u

\vec v

sont

orthogonaux

car

\vec{u}\cdot\vec{v}=0

➤

\vec u

\vec w

ne sont pas orthogonaux

car

\vec{u}\cdot\vec{w}\neq0

Exercice 1 Soient

A(1;2;3)

B(2;2;5)

C(-1;5;4)

Montrer que $ABC$ est rectangle en $A$ .
Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}\neq\vec{0}$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

Correction

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

$=$

$\begin{pmatrix}2-1\\2-2\\5-3\end{pmatrix}$

$\cdot$

$\begin{pmatrix}-1-1\\5-2\\4-3\end{pmatrix}$

$=$

$\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$

$=$

$-2+2$

$=$

$0$ .

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont donc
orthogonaux
et le triangle $ABC$ est bien
rectangle en $A$ .
Remarquons tout d'abord qu'il existe une
infinité
de vecteurs othogonaux à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . En effet, dès que nous en aurons trouvé un, alors tout vecteur
colinéaire
à celui-ci sera également
orthogonal
à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
On cherche donc
$\vec n$ $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ ,
$x$ , $y$ et $z$ $\in\mathbb{R}$ tel que : On cherche donc $\vec n$ $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ , $x$ , $y$ et $z$ $\in\mathbb{R}$ tel que : $\left\{ \begin{array}{l} \vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \\ \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \end{array}\right.$ .
On a alors : $\left\{ \begin{array}{rcl} x+2z &=&0 \\ -2x+3y+z&=&0. \end{array}\right.$

À partir de la première égalité, on peut choisir
$x=6$

et

$z=-3$ .

La deuxième égalité nous donne alors :
$3y=12+3$

$=$

$15$ ,

donc

$y=5$ .

Ainsi le vecteur
$\vec n \begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}$
convient.

Definition 4
Soient deux vecteurs de base d'un

plan

ou trois vecteurs de base de

l'espace.

Si ces vecteurs sont

orthogonaux

la base est dite

orthogonale

et si de plus les vecteurs sont de norme

1

la base est dite

orthonormée.

Un repère orthonormée est la donnée

d'un point et d'une base orthonormée.

3 1

1.4Propriétés algébriques Property 2

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ :
$\vec u \cdot \vec v$

$=$

$\vec v \cdot \vec u$ .
Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec u'$ et $\vec v$ :
$(\vec u + \vec u')\cdot\vec v$

$=$

$\vec u \cdot\vec v +\vec u' \cdot\vec v$ .
Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ et tout $k \in \mathbb{R}$ :
$(k\vec u)\cdot\vec v$

$=$

$k\times \vec u \cdot \vec v$ .
Pour tout vecteur $\vec u$ :
$\vec{0}\cdot\vec u$

$=$

$\vec u \cdot\vec{0}$

$=$

$0$ .

Preuve
Il suffit d'écrire explicitement les calculs en utilisant la définition du produit scalaire donnée avec les coordonnées des vecteurs. Remark 3 Le point 1. décrit le caractère

symétrique

du produit scalaire.
Les points 2. et 3. décrivent le caractère

linéaire

par rapport à la variable de gauche du produit scalaire. Or, du fait de la symétrie, le produit scalaire est aussi linéaire par rapport à sa variable de

droite.

Ainsi, le produit scalaire est linéaire par rapport à ses

deux

variables, on dit donc qu'il s'agit d'une application

bilinéaire

. Property 3

Pour tout vecteur $\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ :
$\| \vec u \|^2$

$=$

$\vec u \cdot \vec u$

$=$

$x^2 + y^2 +z^2$ .

Pour tout vecteur $\vec u$ et tout $k \in \mathbb{R}$ :
$\| k\vec u \|$

$=$

$|k|\| \vec u \|$ .

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ :
$\| \vec u + \vec v \|^2$

$=$

$\|\vec u \|^2 + 2\vec u . \vec v + \|\vec v \|^2$ .

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ :
$\vec u \cdot \vec v$

$=$

$\dfrac{1}{2}\left(\| \vec u + \vec v \|^2 -\|\vec u \|^2 - \|\vec v \|^2\right)$ .

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ :
$\vec u \cdot \vec v$

$=$

$\dfrac{1}{2}\left(\|\vec u \|^2 + \|\vec v \|^2 - \| \vec u - \vec v \|^2\right)$ .

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ :
$\vec u \cdot \vec v$

$=$

$\dfrac{1}{4}\left(\| \vec u + \vec v \|^2- \| \vec u - \vec v \|^2\right)$ .

Preuve
Pour le point 1 nous utilisons la définition du produit scalaire et pour les points 2 et 3 la propriété précédente.

$\| \vec u \|^2$ $=$
$\vec u \cdot \vec u$

$=$

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

$=$

$x^2+y^2+z^2$ .

$\| k\vec u \|^2$ $=$
$(k\vec u)\cdot(k\vec u)$

$=$

$k(\vec u)(k\vec u)$

$=$

$k^2\vec u\cdot\vec u$

$=$

$k^2\|u\|^2$ .

Ainsi : $\|ku\|$ $=$
$\sqrt{\| k\vec u \|^2}$

$=$

$\sqrt{k^2\|u\|^2}$

$=$

$\sqrt{k^2}\|u\|$

$=$

$|k|\|u\|$ .

$\| \vec u + \vec v \|^2$ $=$
$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$

$=$

$\vec u\cdot\vec u +\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v$

$=$

$\|u\|^2+ \vec u\cdot\vec v+\vec u.\vec v + \|v\|^2$

$=$

$\|\vec u \|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \|\vec v \|^2$ .

On obtient l'égalité à partir de la précédente en changeant de membres certains termes, ou alors en remplaçant $\| \vec u + \vec v \|^2$ par
$\|\vec u \|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \|\vec v \|^2$ .

On remplace $\| \vec u - \vec v \|^2$ par
$\|\vec u \|^2 - 2\vec u \cdot \vec v + \|\vec v \|^2$ .

On effectue les mêmes remplacements que dans les deux calculs précédents.

2 2

1.5Autre expression du produit scalaire Deux vecteurs (plus un point) définissent un plan (si

\vec u

\vec v

ne sont pas

colinéaires

), ou une droite (si

\vec u

\vec v

sont

colinéaires

). Donc pour calculer le produit scalaire

\vec u . \vec v

on peut se placer dans un plan contenant

\vec u

\vec v

. On se retrouve alors à faire de la géométrie plane.

On considère trois points distincts,

A

B

C

de l'espace. On note

H

le projeté orthogonal de

C

sur

(AB)

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=$	$\overrightarrow{AB}\cdot$ $(\overrightarrow{AH}$ $+$ $\overrightarrow{HC})$
$=$	$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ $+$ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HC}$
$=$	$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ $+$ $\vec{0}$	car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HC}$ sont orthogonaux.
$=$	$\overrightarrow{AB} \cdot \left( \dfrac{AH}{AB}\times\overrightarrow{AB} \right)$	les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ étant colinéaires
$=$	$\dfrac{AH}{AB}\times \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$
$=$	$\dfrac{AH}{AB}\times AB^2$
$=$	$AH\times AB$
$=$	$AC\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} )\times AB$	d'après les formules de trigonométrie
$=$	$AB\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} )$ .

Property 4
Soient

A

B

C

trois points de l'espace.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

=

AB

\times

AC

\times

\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

Exercice 2 Toujours avec les points

A(1;2;3)

B(2;2;5)

C(-1;5;4)

, déterminer en degré la mesure de

\widehat{ABC}

Correction

On calcule les coordonnées des vecteurs

\overrightarrow{BA}

\begin{pmatrix} -1\\0\\-2 \end{pmatrix}

\overrightarrow{BC}

\begin{pmatrix} -3\\3\\-1 \end{pmatrix}

On a alors :

	$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$	$=$	$BA \times BC \times \cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$
$\Longleftrightarrow$	$\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$	$=$	$\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA \times BC}$
$\Longleftrightarrow$	$\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$	$=$	$\dfrac{1\times3+0\times3+2\times1}{\sqrt{1+0+4}\times\sqrt{9+9+1} }$
$\Longleftrightarrow$	$\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$	$=$	$\dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{19}}$ .

Ainsi,

\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})

\approx

0,513

et en utilisant la fonction

\cos^{-1}

\arccos

de la calculatrice, réglée en degrés, on obtient

\widehat{ABC}

\approx

59,14^\circ

1 5

2Plans et orthogonalité 2.1Vecteur normal à un plan de l'espace Definition 5
Soit

\vec n

un vecteur

non nul

\mathscr{P}

un plan de l'espace. On dit que

\vec n

est

normal

\mathscr{P}

si et seulement si toute droite de vecteur directeur

\vec n

est

perpendiculaire

\mathscr{P}

. Property 5
Soit

A

un point d'un plan

\mathscr P

\vec n

un vecteur

normal

\mathscr P

. Alors le plan

\mathscr P

est l'ensemble des points

M

de l'espace tels que

\overrightarrow{AM} \cdot \vec n

=

0

Definition 6
Soit

\mathscr{P}

un plan de vecteur

normal

\vec n

A

un point de l'espace.
Supposons

A\not\in \mathscr{P}

et posons

\mathscr{D}

=

< A,\vec{n} >

la droite engendrée par

A

et le vecteur

\vec n

. (Cela signifie que

\mathscr{D}

est la droite passant par

A

et dirigée par le vecteur

\vec n

).
Alors le projeté orthogonal de

A

sur

\mathscr P

est :

H = \mathscr D \cap \mathscr P.

Remark 4 Si

A\in \mathscr{P}

, alors le projeté de

A

dans

\mathscr P

est

lui-même.

Property 6ROC
On considère un plan

\mathscr{P}

de l'espace ainsi qu'un point

A

. On note

H

le projeté orthogonal de

A

sur

\mathscr{P}

.
Pour tout point

M\in\mathscr{P}

AH\leq AM

Ainsi, le projeté orthogonal est le point de

\mathscr{P}

le plus de proche
de

A

.
Preuve.

Pour tout point

M\in\mathscr{P}

$AM^2$	$=$	$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM}$
	$=$	$(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM})\cdot(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM})$
	$=$	$AH^2+\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AH}+HM^2$
	$=$	$AH^2+HM^2$ .

En effet

\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HM}=0

car ces deux vecteurs sont orthogonaux

par définition de

H

Ainsi, puisque

HM^2 \geq 0

on a

AM^2 \geq AH^2

et comme la fonction racine carrée est croissante

sur

[0\,;+\infty[

on a bien

AM \geq AH

3 2

Property 7
Une droite

d

est

orthogonale

à toute droite d'un plan

\mathscr P

si, et seulement si, elle est orthogonale à

deux

droites

sécantes

d_1

d_2

de ce plan.

Preuve
Un sens de l'équivalence est évident :
Si

d

est orthogonale à toute droite du plan

\mathscr P

alors elle est orthogonale à

d_1

d_2

droites du plan

\mathscr P

.

Réciproquement, si

\vec{u}

\vec{v_1}

\vec{v_2}

sont des vecteurs

directeurs,

respectivement des droites

d

d_1

d_2

alors :

\vec{u}\cdot\vec{v_1}

=

0

\vec{u}\cdot\vec{v_2}

=

0

puisque

d

est

orthogonale

d_1

et à

d_2

.

Soit

\Delta

une droite du plan

\mathscr P

\vec{w}

un vecteur

directeur

\Delta

.
Les droites

d_1

d_2

étant

sécantes,

les vecteurs

\vec{v_1}

\vec{v_2}

ne sont pas colinéaires

et forment donc une base
de

\mathscr P

. Il existe alors deux réels

x

y

tels que

\vec{w}=x\vec{v_1} + y \vec{v_2}

On a ainsi :

\vec{u}\cdot\vec{w}=

\vec{u}\cdot(x\vec{v_1} +y\vec{v_2})=

x\vec{u}\cdot\vec{v_1} +y\vec{u}\cdot\vec{v_2}

=

0

On en déduit que les vecteurs

\vec{u}

\vec{w}

sont

orthogonaux

et que la droite

d

est

orthogonale

à la droite

\Delta

. Property 8
Soit

\mathscr P

un plan

dirigé

par deux vecteurs non colinéaires

\vec u

\vec v

. Soit

\vec n

un vecteur de l'espace.
Si

\vec n

est

orthogonal

\vec u

\vec v

alors

\vec n

est

normal

\mathscr P

. Exemple 6 Pour les points des exercices précédents

A(1;2;3)

B(2;2;5)

C(-1;5;4)

, nous avions trouver que le vecteur

\vec n \begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}

était orthogonal à

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

. Puisque

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

ne sont pas colinéaires, le vecteur

\vec n \begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}

est normal à

\mathscr P

1 1

2.2Équation cartésienne d'un plan de l'espace Property 9ROC

Dans un repère orthonormé, un plan $\mathscr P$ de vecteur normal $\vec{n}$ $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ a une
équation cartésienne
de la forme :
$ax + by +cz + d= 0$
où $d \in \mathbb{R}$ fixé.
Réciproquement, si $a$ , $b$ , $c$ ne sont pas tous les trois
nuls,
l'ensemble $(E)$ des points $M(x;y;z)$ tels que
$ax+by+cz+d =0$
est un plan de vecteur normal
$\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ .

Preuve
Soit

A(x_0;y_0;z_0)

un point du plan

\mathscr P

M(x;y;z)

un point de l'espace.
On a :

\overrightarrow{AM}

(x-x_0;y-y_0;z-z_0)

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}

=

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)

Ainsi :

M \in \mathscr P

équivaut à

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0

soit à :

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

c'est-à-dire :

ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0

soit en posant

d=-ax_0-by_0-cz_0

à :

ax+by+cz+d=0

Réciproquement, puisque

a,b

c

ne sont pas tous nuls, on peut supposer par exemple que

a

est différent de

0

.
On peut vérifier que le point

A\left(-\frac{d}{a};0;0\right)

appartient à l'ensemble

(E)

et l'équation

ax+by+cz+d=0

équivaut à

a\left(x-\dfrac{d}{a}\right)+by+cz=0

c'est-à-dire à

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}

=

0

où

\vec{n}(a \,;b\,;c)

(E)

est donc le

plan

passant par

A

et de vecteur normal

\vec{n}(a\,;b\,;c)

Exercice 3 Avec les points

A(1;2;3)

B(2;2;5)

C(-1;5;4)

, déterminer une équation cartésienne du plan

(ABC)

Correction

Nous avions que vu que

\vec n \begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}

est un vecteur

normal

(ABC)

. Ainsi il existe un réel

d

tel qu'une équation cartésienne du plan soit :

6x+5y-3z+d=0.

Il reste à déterminer la valeur de

d

. Pour cela nous allons utiliser les

coordonnées

d'un point du plan

(ABC)

, par exemple

A

6x_A+5y_A-3z_A+d=0

\Longleftrightarrow

6+10-9+d=0

\Longleftrightarrow

d=-7

Le plan

(ABC)

possède donc pour équation cartésienne :

6x+5y-3z-7=0.

5 0

2.3Plan médiateur d'un segment Definition 7
Soient

A

B

deux points distincts de l'espace et soit

M

le milieu du segment

[AB]

. Le plan

médiateur

[AB]

est le plan

perpendiculaire

(AB)

passant par

M

Remark 5 Cette définition rappelle la définition, en géométrie plane, de la

médiatrice

d'un segment.

Exercice 4 Déterminer une équation du plan médiateur de

[AB]

avec

A(0;1;1)

B(4;1;5)

Correction

Nous savons que le vecteur

\overrightarrow{AB}

\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}

est normal au plan

médiateur

[AB]

, ainsi une équation cartésienne du plan médiateur est de la forme :

4x+4z+d=0,

avec

d\in\mathbb{R}

déterminer.

Le milieu de

[AB]

de coordonnées

(2;1;3)

appartient à ce plan, ses coordonnées

vérifient

l'équation du plan, et nous obtenons alors :

4\times2+4\times3+d=0

\Longleftrightarrow

d=-20

Nous trouvons donc que le plan médiateur de

[AB]

a pour équation cartésienne :

4x+4z-20=0

que l'on réduit à :

x+z-5=0.

Property 10
Soient

A

B

deux points distincts de l'espace. Le plan médiateur de

[AB]

est l'ensemble des points

M

de l'espace tels que

AM=BM

0 0

2.4Position relative de deux plans Observons quelques figures. Les vecteurs normaux sont colinéaires et les plans sont parallèles Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et les plans ne sont pas parallèles Les vecteurs normaux sont orthogonaux et les plans sont perpendiculaires Property 11
Soient

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

deux plans ayant pour vecteurs

normaux

respectifs

\vec n_1

\vec n_2

. Alors :

\mathscr{P}_1 // \mathscr{P}_2

\Longleftrightarrow

\overrightarrow n_1

\overrightarrow n_2

sont colinéaires.

Remark 6 La contraposée de cette proposition peut être utilisée pour démontrer que deux plans

ne sont pas parallèles.

Exercice 5 Soient

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

\mathscr{P}_3

trois plans d'équations respectives :

$15x+6y+3z=0$ ,
$21x+7y-z=-4$ ,
$-5x-2y-z=21$ .

Déterminer les positions relatives de

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

\mathscr{P}_3

Correction

Soient

\overrightarrow{n_1}

\begin{pmatrix}15\\6\\3\end{pmatrix}

\overrightarrow{n_2}

\begin{pmatrix}21\\7\\-1\end{pmatrix}

\overrightarrow{n_3}

\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}

des vecteurs

normaux

des plans respectifs

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

\mathscr{P}_3

obtenus à l'aide des

coefficients

des équations cartésiennes.

Nous remarquons que

\overrightarrow{n_1}

=

-3\overrightarrow{n_3}

ainsi

\overrightarrow{n_1}

\overrightarrow{n_3}

sont

colinéaires

et les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_3

sont

parallèles.

Par ailleurs

z_{\overrightarrow{n_1}}

=

-3z_{\overrightarrow{n_2}}

mais

x_{\overrightarrow{n_1}}

\neq

-3x_{\overrightarrow{n_2}}

Les vecteurs

\overrightarrow{n_1}

\overrightarrow{n_2}

ne sont donc pas

colinéaires,

et les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

ne sont pas parallèles.

Puisque

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_3

sont

parallèles,

et que

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

ne sont pas

parallèles,

alors

\mathscr{P}_2

\mathscr{P}_3

ne sont non plus pas

parallèles.

Property 12
Soient

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

deux plans de vecteurs

normaux

respectifs

\overrightarrow{n_1}

\overrightarrow{n_2}

.
les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

sont

perpendiculaires

si et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{n_1}

\overrightarrow{n_2}

sont

orthogonaux.

Exercice 6 Avec les mêmes notations qu'à l'exercice précédent, les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

sont-ils perpendiculaires ?

Correction

Les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

ont pour vecteurs normaux respectifs

\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}15\\6\\3\end{pmatrix}

\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}21\\7\\-1\end{pmatrix}

Calculons leur produit scalaire :

\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}

=

15\times21+6\times7-3\times1

=

354

On peut alors affirmer que les plans

\mathscr{P}_1

\mathscr{P}_2

ne sont pas perpendiculaires.

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