Définition n°1

Pour tout nombre réel $b$ strictement positif, il existe un unique réel $\alpha$ tel que $\exp(\alpha)=b$.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de $b$.
On le note $\alpha=\ln(b)$.

$\ln(1)$ $=$ $0$.
$\ln(\text{e})$ $=$ $1$.
Pour tout $x$ strictement positif, $\text{e}^{\ln(x)}$ $=$ $x$.
Pour tout $x$ réel, $\ln(\text{e}^{x})$ $=$ $x$.

Propriété n°1
-- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs, on a : $\ln(ab)$ $=$ $\ln(a)+\ln(b).$

Propriété n°2
-- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ $=$ $- \ln(a).$

Propriété n°3
-- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ $=$ $\ln(a) - \ln(b).$

Propriété n°4
-- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout entier naturel $n$, on a : $\ln(a^{n})$ $=$ $n\times \ln(a).$

Propriété n°5
-- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a : $\ln(\sqrt{a})$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times \ln(a).$

Définition n°2

On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle $]0\, ; +\infty [$ associe le réel $\ln(x)$.

Propriété n°6

La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0\, ;+\infty [$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $(\ln(x))'$ $=$ $\dfrac{1}{x}.$

Propriété n°7

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,; +\infty[$.

Propriété n°8

Si $x<1$ alors $\ln(x)<0$.
Si $x>1$ alors $\ln(x)>0$.

Courbe représentative de la fonction logarithme népérien

Propriété n°9

Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b>0$ :
$ a < b $ $\Longleftrightarrow$ $ \ln(a) < \ln(b). $

Propriété n°10

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ alors la fonction $\ln (u)$ est définie et dérivable sur $I$ et : $(\ln(u))'$ $=$ $\dfrac{u'}{u}.$

Propriété n°11
-- Croissances comparées 1
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}$ $=$ $0$.

Propriété n°12
-- Croissances comparées 2
Pour tout entier $n\geq1$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)}$ $=$ $0$.