Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Fonction logarithme népérien
Définition n°1

Pour tout nombre réel bb strictement positif, il existe un unique réel α\alpha tel que exp⁡(α)=b\exp(\alpha)=b.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de bb.
On le note α=ln⁡(b)\alpha=\ln(b).
  • ln⁡(1)\ln(1) == 00.
  • ln⁡(e)\ln(\text{e}) == 11.
  • Pour tout xx strictement positif, eln⁡(x)\text{e}^{\ln(x)} == xx.
  • Pour tout xx réel, ln⁡(ex)\ln(\text{e}^{x}) == xx.
Propriété n°1
-- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel aa et bb strictement positifs, on a : ln⁡(ab)\ln(ab) == ln⁡(a)+ln⁡(b).\ln(a)+\ln(b).
Propriété n°2
-- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel aa strictement positif, on a : ln⁡(1a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) == −ln⁡(a).- \ln(a).
Propriété n°3
-- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels aa et bb strictement positifs, on a : ln⁡(ab)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) == ln⁡(a)−ln⁡(b).\ln(a) - \ln(b).
Propriété n°4
-- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel aa strictement positif et tout entier naturel nn, on a : ln⁡(an)\ln(a^{n}) == n×ln⁡(a).n\times \ln(a).
Propriété n°5
-- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel aa strictement positif, on a : ln⁡(a)\ln(\sqrt{a}) == 12×ln⁡(a).\dfrac{1}{2} \times \ln(a).
Définition n°2

On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel xx de l'intervalle ]0;+∞[]0\, ; +\infty [ associe le réel ln⁡(x)\ln(x).
Propriété n°6

La fonction ln⁡\ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[]0\, ;+\infty [ et pour tout réel xx strictement positif, (ln⁡(x))′(\ln(x))' == 1x.\dfrac{1}{x}.
Propriété n°7

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[]0\,; +\infty[.
Propriété n°8

  • Si x<1x<1 alors ln⁡(x)<0\ln(x)<0.
  • Si x>1x>1 alors ln⁡(x)>0\ln(x)>0.
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
1234512−1−2−3−4
Propriété n°9

Pour tout réel a>0a>0 et pour tout réel b>0b>0 :
a<b a < b ⟺\Longleftrightarrow ln⁡(a)<ln⁡(b). \ln(a) < \ln(b).
Propriété n°10

Soit uu une fonction définie sur un intervalle II.
Si uu est dérivable et strictement positive sur II alors la fonction ln⁡(u)\ln (u) est définie et dérivable sur II et : (ln⁡(u))′(\ln(u))' == u′u.\dfrac{u'}{u}.
Propriété n°11
-- Croissances comparées 1
lim⁡x→+∞ln⁡(x)x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}} == 00 et lim⁡x→0xln⁡(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)} == 00.
Propriété n°12
-- Croissances comparées 2
Pour tout entier n≥1n\geq1, lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}} == 00 et lim⁡x→0xnln⁡(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)} == 00.