Terminale ∼ Spécialité mathématique
Sommes de variables aléatoires
Définition n°1

Une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers probabilisé $\Omega$ est une fonction définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
On peut noter : $$ \begin{array}{rccl} X: & \Omega & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \longmapsto & X(\omega) \\ \end{array} $$
Définition n°2

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$, pour $0\leq i\leq n$, et soient $p_i$ $\in$ $[0\,;1]$ les probabilités associées à ces événements.
L'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs $x_i$ pondérées par leurs probabilités $p_i$. $$E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_n\times p_n$$ ou encore $$\displaystyle{E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.}$$
Définition n°3

Soit $n$ un entier naturel non nul.
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$, pour $0\leq i\leq n$, et soient $p_i\in[0;1]$ les probabilités associées à ces événements. Soit $E(X)$ l'espérance de $X$.

• La variance de la variable aléatoire $X$, noté $V(X)$, est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Cet indicateur représente la dispersion de $X$.
$$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2$$
ou encore $$\displaystyle{V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2.}$$
• On appelle écart-type de $X$ le réel noté $\sigma(X)$ défini par : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$
Propriété n°1

Soient $p\in[0;1]$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On a alors :
$E(X)$ $=$ $p$ et $V(X)$ $=$ $p(1-p)$.
Propriété n°2

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$. Soit $a$ un réel. Alors $X+a$ est également une variable aléatoire et son espérance vérifie : $E(X+a)$ $=$ $E(X)+a.$
Propriété n°3

Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V(X)$. Soit $a$ un réel. Alors $X+a$ est également une variable aléatoire et sa variance vérifie : $V(X+a)$ $=$ $V(X).$ Et donc : $\sigma(X+a)$ $=$ $\sigma(X).$
Définition n°4

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé $\Omega$.
On définit la variable aléatoire $Z$ pour tout élément $\omega\in\Omega$ par $Z(\omega)$ $=$ $X(\omega)+Y(\omega)$.
La variable aléatoire $Z$ s'appelle alors la somme des variables aléatoires $X$ et $Y$ et on la note $Z$ $=$ $X+Y$.
Propriété n°4

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé $\Omega$. On a :
  • $E(X+Y)$ $=$ $E(X)+E(Y)$.
  • Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors : $V(X+Y)$ $=$ $V(X)+V(Y)$.
Propriété n°5

Soient $n$ un entier naturel non nul et $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ des variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé $\Omega$. On a alors :
  • $E(X_1+X_2+\dots+X_n)$ $=$ $E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)$.
  • $V(X_1+X_2+\dots+X_n)$ $=$ $V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)$, si les variables $X_i$ sont indépendantes.
Propriété n°6

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$. Soit $a$ un réel non nul. Alors $a\times X$ est également une variable aléatoire et son espérance vérifie : $E(aX)$ $=$ $aE(X).$
Propriété n°7

Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V(X)$. Soit $a$ un réel non nul. Alors $a\times X$ est également une variable aléatoire et sa variance vérifie : $V(aX)$ $=$ $a^2V(X).$ Et donc : $\sigma(aX)$ $=$ $|a|\sigma(X).$
Définition n°5

Soient $n$ un entier naturel non nul et $X$ une variable aléatoire définie sur un univers probabilisé $\Omega$.
Un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ est une liste $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ de variables aléatoires identiques et indépendantes suivant la même loi que $X$.
Définition n°6

Soient $n$ un entier naturel non nul, $X$ une variable aléatoire et $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$.
  • La variable aléatoire somme de l'échantillon $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ est définie par : $$S_n = X_1+X_2+\cdots+X_n.$$

  • La variable aléatoire moyenne de l'échantillon $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ est définie par : $$M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}.$$
Propriété n°8

Soient un entier naturel non nul et $S_n$ la variable aléatoire somme associée à un échantillon et de taille $n$ d'une variable aléatoire $X$. On a alors :
  • $E(S_n)$ $=$ $nE(X)$,
  • $V(S_n)$ $=$ $nV(X)$ et $\sigma(S_n)$ $=$ $\sqrt{n}\sigma(X)$.
Propriété n°9

Soient un entier naturel non nul et $M_n$ la variable aléatoire moyenne associée à un échantillon et de taille $n$ d'une variable aléatoire $X$. On a alors :
  • $E(M_n)$ $=$ $E(X)$,
  • $V(M_n)$ $=$ $\dfrac{V(X)}{n}$ et $\sigma(V_n)$ $=$ $\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.
Propriété n°10

Soient $n$ un entier naturel non nul, $p\in[0;1]$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On a alors :
  • $E(X)$ $=$ $np$,
  • $V(X)$ $=$ $np(1-p)$.