Terminale ∼ Spécialité mathématique
Sommes de variables aléatoires
Définition n°1
Une variable aléatoire réelle
X
X
X
définie sur un univers probabilisé
Ω
\Omega
Ω
est une fonction définie sur
Ω
\Omega
Ω
à valeurs dans
R
\mathbb{R}
R
.
On peut noter :
X
:
Ω
⟶
R
ω
⟼
X
(
ω
)
\begin{array}{rccl} X: & \Omega & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \longmapsto & X(\omega) \\ \end{array}
X
:
Ω
ω
⟶
⟼
R
X
(
ω
)
Définition n°2
Soit
X
X
X
une variable aléatoire prenant les valeurs
x
i
x_i
x
i
, pour
0
≤
i
≤
n
0\leq i\leq n
0
≤
i
≤
n
, et soient
p
i
p_i
p
i
∈
\in
∈
[
0
;
1
]
[0\,;1]
[
0
;
1
]
les probabilités associées à ces événements.
L'espérance de la variable aléatoire
X
X
X
, notée
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
, est la moyenne des valeurs
x
i
x_i
x
i
pondérées par leurs probabilités
p
i
p_i
p
i
.
E
(
X
)
=
x
1
×
p
1
+
x
2
×
p
2
+
⋯
+
x
n
×
p
n
E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_n\times p_n
E
(
X
)
=
x
1
×
p
1
+
x
2
×
p
2
+
⋯
+
x
n
×
p
n
ou encore
E
(
X
)
=
∑
i
=
0
n
x
i
×
p
i
.
\displaystyle{E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.}
E
(
X
)
=
i
=
0
∑
n
x
i
×
p
i
.
Définition n°3
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul.
Soit
X
X
X
une variable aléatoire prenant les valeurs
x
i
x_i
x
i
, pour
0
≤
i
≤
n
0\leq i\leq n
0
≤
i
≤
n
, et soient
p
i
∈
[
0
;
1
]
p_i\in[0;1]
p
i
∈
[
0
;
1
]
les probabilités associées à ces événements. Soit
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
l'espérance de
X
X
X
.
• La variance de la variable aléatoire
X
X
X
, noté
V
(
X
)
V(X)
V
(
X
)
, est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Cet indicateur représente
la dispersion
de
X
X
X
.
V
(
X
)
=
p
1
(
x
1
−
E
(
X
)
)
2
+
p
2
(
x
2
−
E
(
X
)
)
2
+
⋯
+
p
n
(
x
n
−
E
(
X
)
)
2
V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2
V
(
X
)
=
p
1
(
x
1
−
E
(
X
)
)
2
+
p
2
(
x
2
−
E
(
X
)
)
2
+
⋯
+
p
n
(
x
n
−
E
(
X
)
)
2
ou encore
V
(
X
)
=
∑
i
=
1
n
p
i
(
x
i
−
E
(
X
)
)
2
.
\displaystyle{V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2.}
V
(
X
)
=
i
=
1
∑
n
p
i
(
x
i
−
E
(
X
)
)
2
.
• On appelle écart-type de
X
X
X
le réel noté
σ
(
X
)
\sigma(X)
σ
(
X
)
défini par :
σ
(
X
)
=
V
(
X
)
.
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
σ
(
X
)
=
V
(
X
)
.
Propriété n°1
Soient
p
∈
[
0
;
1
]
p\in[0;1]
p
∈
[
0
;
1
]
et
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre
p
p
p
. On a alors :
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
=
=
=
p
p
p
et
V
(
X
)
V(X)
V
(
X
)
=
=
=
p
(
1
−
p
)
p(1-p)
p
(
1
−
p
)
.
Propriété n°2
Soit
X
X
X
une variable aléatoire d'espérance
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
. Soit
a
a
a
un réel. Alors
X
+
a
X+a
X
+
a
est également une variable aléatoire et son espérance vérifie :
E
(
X
+
a
)
E(X+a)
E
(
X
+
a
)
=
=
=
E
(
X
)
+
a
.
E(X)+a.
E
(
X
)
+
a
.
Propriété n°3
Soit
X
X
X
une variable aléatoire de variance
V
(
X
)
V(X)
V
(
X
)
. Soit
a
a
a
un réel. Alors
X
+
a
X+a
X
+
a
est également une variable aléatoire et sa variance vérifie :
V
(
X
+
a
)
V(X+a)
V
(
X
+
a
)
=
=
=
V
(
X
)
.
V(X).
V
(
X
)
.
Et donc :
σ
(
X
+
a
)
\sigma(X+a)
σ
(
X
+
a
)
=
=
=
σ
(
X
)
.
\sigma(X).
σ
(
X
)
.
Définition n°4
Soient
X
X
X
et
Y
Y
Y
deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé
Ω
\Omega
Ω
.
On définit la variable aléatoire
Z
Z
Z
pour tout élément
ω
∈
Ω
\omega\in\Omega
ω
∈
Ω
par
Z
(
ω
)
Z(\omega)
Z
(
ω
)
=
=
=
X
(
ω
)
+
Y
(
ω
)
X(\omega)+Y(\omega)
X
(
ω
)
+
Y
(
ω
)
.
La variable aléatoire
Z
Z
Z
s'appelle alors la
somme des variables aléatoires
X
X
X
et
Y
Y
Y
et on la note
Z
Z
Z
=
=
=
X
+
Y
X+Y
X
+
Y
.
Propriété n°4
Soient
X
X
X
et
Y
Y
Y
deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé
Ω
\Omega
Ω
. On a :
E
(
X
+
Y
)
E(X+Y)
E
(
X
+
Y
)
=
=
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
E(X)+E(Y)
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
.
Si
X
X
X
et
Y
Y
Y
sont indépendantes alors :
V
(
X
+
Y
)
V(X+Y)
V
(
X
+
Y
)
=
=
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
V(X)+V(Y)
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
.
Propriété n°5
Soient
n
n
n
un entier naturel non nul et
X
1
X_1
X
1
,
X
2
X_2
X
2
,
…
\ldots
…
,
X
n
X_n
X
n
des variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé
Ω
\Omega
Ω
. On a alors :
E
(
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
)
E(X_1+X_2+\dots+X_n)
E
(
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
)
=
=
=
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
+
⋯
+
E
(
X
n
)
E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
+
⋯
+
E
(
X
n
)
.
V
(
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
)
V(X_1+X_2+\dots+X_n)
V
(
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
)
=
=
=
V
(
X
1
)
+
V
(
X
2
)
+
⋯
+
V
(
X
n
)
V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)
V
(
X
1
)
+
V
(
X
2
)
+
⋯
+
V
(
X
n
)
, si les variables
X
i
X_i
X
i
sont indépendantes.
Propriété n°6
Soit
X
X
X
une variable aléatoire d'espérance
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
. Soit
a
a
a
un réel non nul. Alors
a
×
X
a\times X
a
×
X
est également une variable aléatoire et son espérance vérifie :
E
(
a
X
)
E(aX)
E
(
a
X
)
=
=
=
a
E
(
X
)
.
aE(X).
a
E
(
X
)
.
Propriété n°7
Soit
X
X
X
une variable aléatoire de variance
V
(
X
)
V(X)
V
(
X
)
. Soit
a
a
a
un réel non nul. Alors
a
×
X
a\times X
a
×
X
est également une variable aléatoire et sa variance vérifie :
V
(
a
X
)
V(aX)
V
(
a
X
)
=
=
=
a
2
V
(
X
)
.
a^2V(X).
a
2
V
(
X
)
.
Et donc :
σ
(
a
X
)
\sigma(aX)
σ
(
a
X
)
=
=
=
∣
a
∣
σ
(
X
)
.
|a|\sigma(X).
∣
a
∣
σ
(
X
)
.
Définition n°5
Soient
n
n
n
un entier naturel non nul et
X
X
X
une variable aléatoire définie sur un univers probabilisé
Ω
\Omega
Ω
.
Un échantillon de taille
n
n
n
de la loi de
X
X
X
est une liste
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
de variables aléatoires identiques et indépendantes suivant la même loi que
X
X
X
.
Définition n°6
Soient
n
n
n
un entier naturel non nul,
X
X
X
une variable aléatoire et
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
un échantillon de taille
n
n
n
de la loi de
X
X
X
.
La variable aléatoire somme de l'échantillon
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
est définie par :
S
n
=
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
.
S_n = X_1+X_2+\cdots+X_n.
S
n
=
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
.
La variable aléatoire moyenne de l'échantillon
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)
(
X
1
;
X
2
;
⋯
;
X
n
)
est définie par :
M
n
=
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
n
.
M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}.
M
n
=
n
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
n
.
Propriété n°8
Soient un entier naturel non nul et
S
n
S_n
S
n
la variable aléatoire somme associée à un échantillon et de taille
n
n
n
d'une variable aléatoire
X
X
X
. On a alors :
E
(
S
n
)
E(S_n)
E
(
S
n
)
=
=
=
n
E
(
X
)
nE(X)
n
E
(
X
)
,
V
(
S
n
)
V(S_n)
V
(
S
n
)
=
=
=
n
V
(
X
)
nV(X)
n
V
(
X
)
et
σ
(
S
n
)
\sigma(S_n)
σ
(
S
n
)
=
=
=
n
σ
(
X
)
\sqrt{n}\sigma(X)
n
σ
(
X
)
.
Propriété n°9
Soient un entier naturel non nul et
M
n
M_n
M
n
la variable aléatoire moyenne associée à un échantillon et de taille
n
n
n
d'une variable aléatoire
X
X
X
. On a alors :
E
(
M
n
)
E(M_n)
E
(
M
n
)
=
=
=
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
,
V
(
M
n
)
V(M_n)
V
(
M
n
)
=
=
=
V
(
X
)
n
\dfrac{V(X)}{n}
n
V
(
X
)
et
σ
(
V
n
)
\sigma(V_n)
σ
(
V
n
)
=
=
=
σ
(
X
)
n
\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}
n
σ
(
X
)
.
Propriété n°10
Soient
n
n
n
un entier naturel non nul,
p
∈
[
0
;
1
]
p\in[0;1]
p
∈
[
0
;
1
]
et
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres
n
n
n
et
p
p
p
. On a alors :
E
(
X
)
E(X)
E
(
X
)
=
=
=
n
p
np
n
p
,
V
(
X
)
V(X)
V
(
X
)
=
=
=
n
p
(
1
−
p
)
np(1-p)
n
p
(
1
−
p
)
.
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