Terminale ∼ Spécialité mathématique
Sommes de variables aléatoires
Définition n°1

Une variable aléatoire réelle XX définie sur un univers probabilisé Ω\Omega est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R\mathbb{R}.
On peut noter : X:ΩRωX(ω) \begin{array}{rccl} X: & \Omega & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \longmapsto & X(\omega) \\ \end{array}
Définition n°2

Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs xix_i, pour 0in0\leq i\leq n, et soient pip_i \in [0;1][0\,;1] les probabilités associées à ces événements.
L'espérance de la variable aléatoire XX, notée E(X)E(X), est la moyenne des valeurs xix_i pondérées par leurs probabilités pip_i. E(X)=x1×p1+x2×p2++xn×pnE(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_n\times p_n ou encore E(X)=i=0nxi×pi.\displaystyle{E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.}
Définition n°3

Soit nn un entier naturel non nul.
Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs xix_i, pour 0in0\leq i\leq n, et soient pi[0;1]p_i\in[0;1] les probabilités associées à ces événements. Soit E(X)E(X) l'espérance de XX.

• La variance de la variable aléatoire XX, noté V(X)V(X), est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Cet indicateur représente la dispersion de XX.
V(X)=p1(x1E(X))2+p2(x2E(X))2++pn(xnE(X))2V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2
ou encore V(X)=i=1npi(xiE(X))2.\displaystyle{V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2.}
• On appelle écart-type de XX le réel noté σ(X)\sigma(X) défini par : σ(X)=V(X).\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Propriété n°1

Soient p[0;1]p\in[0;1] et XX une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre pp. On a alors :
E(X)E(X) == pp et V(X)V(X) == p(1p)p(1-p).
Propriété n°2

Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)E(X). Soit aa un réel. Alors X+aX+a est également une variable aléatoire et son espérance vérifie : E(X+a)E(X+a) == E(X)+a.E(X)+a.
Propriété n°3

Soit XX une variable aléatoire de variance V(X)V(X). Soit aa un réel. Alors X+aX+a est également une variable aléatoire et sa variance vérifie : V(X+a)V(X+a) == V(X).V(X). Et donc : σ(X+a)\sigma(X+a) == σ(X).\sigma(X).
Définition n°4

Soient XX et YY deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé Ω\Omega.
On définit la variable aléatoire ZZ pour tout élément ωΩ\omega\in\Omega par Z(ω)Z(\omega) == X(ω)+Y(ω)X(\omega)+Y(\omega).
La variable aléatoire ZZ s'appelle alors la somme des variables aléatoires XX et YY et on la note ZZ == X+YX+Y.
Propriété n°4

Soient XX et YY deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé Ω\Omega. On a :
  • E(X+Y)E(X+Y) == E(X)+E(Y)E(X)+E(Y).
  • Si XX et YY sont indépendantes alors : V(X+Y)V(X+Y) == V(X)+V(Y)V(X)+V(Y).
Propriété n°5

Soient nn un entier naturel non nul et X1X_1, X2X_2, \ldots, XnX_n des variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé Ω\Omega. On a alors :
  • E(X1+X2++Xn)E(X_1+X_2+\dots+X_n) == E(X1)+E(X2)++E(Xn)E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n).
  • V(X1+X2++Xn)V(X_1+X_2+\dots+X_n) == V(X1)+V(X2)++V(Xn)V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n), si les variables XiX_i sont indépendantes.
Propriété n°6

Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)E(X). Soit aa un réel non nul. Alors a×Xa\times X est également une variable aléatoire et son espérance vérifie : E(aX)E(aX) == aE(X).aE(X).
Propriété n°7

Soit XX une variable aléatoire de variance V(X)V(X). Soit aa un réel non nul. Alors a×Xa\times X est également une variable aléatoire et sa variance vérifie : V(aX)V(aX) == a2V(X).a^2V(X). Et donc : σ(aX)\sigma(aX) == aσ(X).|a|\sigma(X).
Définition n°5

Soient nn un entier naturel non nul et XX une variable aléatoire définie sur un univers probabilisé Ω\Omega.
Un échantillon de taille nn de la loi de XX est une liste (X1;X2;;Xn)(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n) de variables aléatoires identiques et indépendantes suivant la même loi que XX.
Définition n°6

Soient nn un entier naturel non nul, XX une variable aléatoire et (X1;X2;;Xn)(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n) un échantillon de taille nn de la loi de XX.
  • La variable aléatoire somme de l'échantillon (X1;X2;;Xn)(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n) est définie par : Sn=X1+X2++Xn.S_n = X_1+X_2+\cdots+X_n.

  • La variable aléatoire moyenne de l'échantillon (X1;X2;;Xn)(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n) est définie par : Mn=X1+X2++Xnn.M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}.
Propriété n°8

Soient un entier naturel non nul et SnS_n la variable aléatoire somme associée à un échantillon et de taille nn d'une variable aléatoire XX. On a alors :
  • E(Sn)E(S_n) == nE(X)nE(X),
  • V(Sn)V(S_n) == nV(X)nV(X) et σ(Sn)\sigma(S_n) == nσ(X)\sqrt{n}\sigma(X).
Propriété n°9

Soient un entier naturel non nul et MnM_n la variable aléatoire moyenne associée à un échantillon et de taille nn d'une variable aléatoire XX. On a alors :
  • E(Mn)E(M_n) == E(X)E(X),
  • V(Mn)V(M_n) == V(X)n\dfrac{V(X)}{n} et σ(Vn)\sigma(V_n) == σ(X)n\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}.
Propriété n°10

Soient nn un entier naturel non nul, p[0;1]p\in[0;1] et XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres nn et pp. On a alors :
  • E(X)E(X) == npnp,
  • V(X)V(X) == np(1p)np(1-p).