Définition n°1

Soit

f

une fonction définie et dérivable sur intervalle

I

.
Une équation différentielle est une équation qui met en relation la variable, la fonction

f

, sa dérivée

f'

, ainsi qu'éventuellement ses dérivées d'ordre supérieur.

Une équation différentielle est une équation ou l'inconnue est une fonction.
Généralement, l'inconnue d'une équation différentielle est notée $y$ , sa dérivée $y'$ , sa dérivée seconde $y''$ , etc. On peut les noter également $y$ , $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ , $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ , $\dots$ .

Définition n°2

Soit

n

un entier naturel. Une équation différentielle d'ordre

n

est une équation différentielle où la dérivée de plus grand ordre est

n

Définition n°3

Toute fonction

f

qui vérifie une équation différentielle est appelée solution de cette équation.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions solutions.

Définition n°4

Soit

n

un entier naturel. On considère une équation différentielle d'ordre

n

d'inconnue

y

sur un intervalle

I

, ainsi qu'un réel

x_0\in I

.
La donnée de

y(x_0)

, ou d'une des dérivées de

y

x_0

(par exemple

y'(x_0)

, ou

y''(x_0)

\dots

) s'appelle une condition initiale.

Définition n°5

Soient

f

F

des fonctions définies sur un intervalle

I

.
On dit que

F

est une primitive de

f

sur

I

F

est dérivable sur

I

et qu'elle est solution de l'équation différentielle

y'=f

Propriété n°2

Soit

f

une fonction continue définie sur un intervalle

I

.
Les primitives de

f

différent toutes d'une constante.

Propriété n°3

Soient

f

une fonction définie sur

I

F

une primitive de

f

sur

I

.
Les primitives de

f

sur

I

sont les fonctions de la forme

x\longmapsto F(x)+k

, pour tout

k\in\mathbb{R}

Fonction $f$	Primitive $F$	Domaine de définition
$k$ constante	$kx$	$\mathbb{R}$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^3}$	$-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^n}$ , $n\in\mathbb{N}^*$	$-\dfrac{1}{n-1}\times\dfrac{1}{x^{n-1}}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0\,;+\infty[$
$\mathrm{exp}(x)$	$\mathrm{exp}(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$

Fonction	Primitive
$u'\times(v'\circ u)$	$v \circ u$
$u'u^n$ , $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^n}$ , $n\in\mathbb{N}$	$-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}(x)}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln \|u\|$
$u'\mathrm{e}^u$	$\mathrm{e}^u$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt{u}$
$u'\cos(u)$	$\sin(u)$
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)$

Définition n°6

L'équation différentielle

(E)

y'=ay

, où

a

est un nombre réel, avec

a\neq0

, est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Propriété n°4

On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay

, avec

a\neq0

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$ , où $C$ est une constante réelle.

Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$ .
Cette condition permet de déterminer la constante $C$ de $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$ .

Propriété n°5

On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay

, avec

a\neq0

. On note

y_1

y_2

deux solutions de

(E)

k

un réel.
La fonction somme

y_1+y_2

et la fonction

ky_1

sont également des solutions de

(E)

Définition n°7

L'équation différentielle

(E)

y'=ay+b

, avec

a

b

non nuls, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété n°6

On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay+b

, avec

a

b

non nuls.

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ , où $C$ est une constante réelle.

Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$ .

Propriété n°7

Soient

a

un réel non nul et

f

une fonction définie sur un intervalle

I

.
On note

(E)

l'équation différentielle

y'=ay+f

\varphi

une solution particulière de

(E)

.
On a alors :

y

est solution de

(E)

si et seulement si

y-\varphi

est une solution de l'équation homogène

y'=ay