Définition n°1

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur intervalle $I$.
Une équation différentielle est une équation qui met en relation la variable, la fonction $f$, sa dérivée $f'$, ainsi qu'éventuellement ses dérivées d'ordre supérieur.

Une équation différentielle est une équation ou l'inconnue est une fonction.
Généralement, l'inconnue d'une équation différentielle est notée $y$, sa dérivée $y'$, sa dérivée seconde $y''$, etc. On peut les noter également $y$, $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$, $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$, $\dots$.

Définition n°2

Soit $n$ un entier naturel. Une équation différentielle d'ordre $n$ est une équation différentielle où la dérivée de plus grand ordre est $n$.

Définition n°3

Toute fonction $f$ qui vérifie une équation différentielle est appelée solution de cette équation.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions solutions.

Définition n°4

Soit $n$ un entier naturel. On considère une équation différentielle d'ordre $n$ d'inconnue $y$ sur un intervalle $I$, ainsi qu'un réel $x_0\in I$.
La donnée de $y(x_0)$, ou d'une des dérivées de $y$ en $x_0$ (par exemple $y'(x_0)$, ou $y''(x_0)$, $\dots$) s'appelle une condition initiale.

Définition n°5

Soient $f$ et $F$ des fonctions définies sur un intervalle $I$.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle $y'=f$.

Propriété n°2

Soit $f$ une fonction continue définie sur un intervalle $I$.
Les primitives de $f$ différent toutes d'une constante.

Propriété n°3

Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x\longmapsto F(x)+k$, pour tout $k\in\mathbb{R}$.

Fonction $f$	Primitive $F$	Domaine de définition
$k$ constante	$kx$	$\mathbb{R}$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$	$\mathbb{R}$
$x^n$, $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^3}$	$-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}^*$	$-\dfrac{1}{n-1}\times\dfrac{1}{x^{n-1}}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0\,;+\infty[$
$\mathrm{exp}(x)$	$\mathrm{exp}(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$

Fonction	Primitive
$u'\times(v'\circ u)$	$v \circ u$
$u'u^n$, $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^n}$, $n\in\mathbb{N}$	$-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}(x)}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln \|u\|$
$u'\mathrm{e}^u$	$\mathrm{e}^u$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt{u}$
$u'\cos(u)$	$\sin(u)$
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)$

Définition n°6

L'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay$, où $a$ est un nombre réel, avec $a\neq0$, est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Propriété n°4

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay$, avec $a\neq0$.

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.

Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$.
Cette condition permet de déterminer la constante $C$ de $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$.

Propriété n°5

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay$, avec $a\neq0$. On note $y_1$ et $y_2$ deux solutions de $(E)$ et $k$ un réel.
La fonction somme $y_1+y_2$ et la fonction $ky_1$ sont également des solutions de $(E)$.

Définition n°7

L'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay+b$, avec $a$ et $b$ non nuls, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété n°6

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay+b$, avec $a$ et $b$ non nuls.

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.

Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$.

Propriété n°7

Soient $a$ un réel non nul et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On note $(E)$ l'équation différentielle $y'=ay+f$ et $\varphi$ une solution particulière de $(E)$.
On a alors :
$y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-\varphi$ est une solution de l'équation homogène $y'=ay$.