Définition n°1

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ (c'est-à-dire que : $\forall$ $x\in[a\,;b]$, $f(x)\geq 0$).
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire du domaine du plan compris entre la droite d'équation $x=a$, la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite d'équation $x=b$ et l'axe $(Ox)$. On note ce nombre : $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}$

Définition n°2

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Le nombre réel $\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}$ est l'aire du domaine du plan précédent comptée positivement lorsque $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $(Ox)$, et négativement lorsque $\mathcal{C}_f$ est au dessous.

Définition n°3

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
On pose alors : $\displaystyle{\int_b^a f(t)\mathrm{d}t}$ $=$ $\displaystyle{-\int_a^bf(t)\mathrm{d}t.}$

Propriété n°1
-- Relation de Chasles
Soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue, et soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $I$. On a alors : $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \int_b^cf(x)\mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{\int_a^cf(x)\mathrm{d}x.}$

Propriété n°2
-- Linéarité
Soient $f:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}$ et $g:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}$ deux fonctions continues, et $\lambda\in\mathbb{R}$.

$\displaystyle{\int_a^b (f(x)+g(x))\mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x}$.
$\displaystyle{\int_a^b\lambda f(x)\mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{\lambda\int_a^bf(x)\mathrm{d}x.}$

Propriété n°3
-- Positivité
Soit $f:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. Si pour tout $x\in[a\,;b]$, $f(x)\geq0$, alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x}$ $\geq 0$.

Propriété n°4
-- Positivité
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;b]$.
Si pour tout $x\in[a\,;b]$, $f(x)\leq g(x)$ alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}$ $\leq$ $\displaystyle{\int_a^b g(x)\mathrm{d}x.}$

Définition n°4

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est donnée par le nombre réel : $\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}$

Propriété n°5
-- Inégalité de la moyenne
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. On considère $m$ et $M$ deux réels tels que : pour tout $x\in[a\,;b]$, $m\leq f(x)\leq M$. On a alors : $\displaystyle{m\leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leq M.}$

Propriété n°6

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors la fonction $F$ définie sur $[a\,;b]$ par : $\displaystyle{\int_a^x f(t)\mathrm{d}t}$ est dérivable sur $[a\,;b]$ et a pour dérivée $f$.

Propriété n°7

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Propriété n°8

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$, et soit $F$ une primitive de $f$. Alors : $\displaystyle{\int_a^b f(t)dt}$ $=$ $F(b)-F(a).$

Propriété n°9

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Soit $x_0\in I$ fixé. Alors, la fonction $F$ définie sur $I$ par $\displaystyle{F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t,}$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $x_0$.

Propriété n°10

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a\,;b]$ telles ques $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a\,;b]$. On a alors :

$\displaystyle{\int_a^b u(x)v'(x)\text{d}x}$ $=$ $\left[ u(x)v(x) \right]_a^b-\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x)\text{d}x}$.