Terminale ∼ Spécialité mathématique IntégrationAire sous une courbeMéthode des rectangles
Étant donnée la courbe d'une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$, nous cherchons à approcher l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
Une idée est d'approcher la valeur de cette aire en construisant plusieurs rectangles entre l'axe des abscisses et la courbe.
Déplacer le curseur pour modifier le nombre de rectangles
Nous remarquons alors, que plus le nombre de rectangles est important, plus nous nous approchons de l'aire du domaine cherchée. Cependant, ceci est une méthode itérative et nous souhaiterions obtenir des résultats théoriques, valables pour un grand nombre de fonctions.
Le but de ce chapitre sera donc de déterminer les conditions (quels types de fonctions ?) pour lesquelles nous pourrons déterminer la valeur de l'aire sous une courbe, mais nous verrons également les conséquences de ces résultats que nous pourrons exploiter au delà du domaine du calcul d'aire.
Calcul d'aire dans un repère orthogonal
On se place dans le repère orthogonal ci-dessous, où l'unité sur l'axe des abscisses mesure $2$ cm et celle sur l'axe des ordonnés $1$ cm.
Déterminer la mesure en unité d'aire du rectangle construit.
Déterminer cette mesure en $\text{cm}^2$.
Ce rectangle a pour dimensions 3 unités en longueur et 2 unités en largeur, son aire est donc de 6 unités d'aires.
En comptant sur le graphique nous voyons bien que le "grand" rectangle vert est composé de six "petits" rectangles unités.
Sachant que l'unité sur l'axe des abscisses mesure $2$ cm et celle sur l'axe des ordonnées $1$ cm, nous avons que le rectangle unité d'aire mesure $2$ $\text{cm}^2$. Ainsi le rectangle considéré possède une aire de $6\times2$$=$$12$$\text{cm}^2$.
On fera attention à bien faire la différence entre les unités utilisées. La démarche la plus sûre étant de calculer dans un premier temps en unité d'aire, puis de convertir dans l'unité demandée.
Définition et propriétésDéfinition
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ (c'est-à-dire que : $\forall$ $x\in[a\,;b]$,$f(x)\geq 0$).
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire du domaine du plan compris entre la droite d'équation $x=a$, la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite d'équation $x=b$ et l'axe $(Ox)$. On note ce nombre :
$\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}$
Pour toute fonction $f$ positive et continue sur un intervalle $[a\,;b]$, $\displaystyle{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}$ est un nombre réelpositif.
La variable $x$ dans l'écriture d'une intégrale est muette, on pourrait la noter avec une autre lettre :
$\displaystyle{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}$$=$$\displaystyle{\int_a^bf(t)\mathrm{d}t.}$
Déterminer la valeur des intégrales suivantes :
$\displaystyle{\int_0^1x\mathrm{d}x}$ 4 $\displaystyle{\int_0^11\times \mathrm{d}x}$ 4$\displaystyle{\int_0^1(x+1)\mathrm{d}x}$.
Il nous faut construire ici les courbes représentatives des fonctions : $x\mapsto x$,$x\mapsto 1$ et
$x\mapsto x+1$ et calculer les aires des domaines entre les courbes, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
À l'aide des formules des aires d'un triangle base$\times$hauteur/2, d'un carré, et d'un trapèze (b+B)$\times$h/2, on obtient :
Nous remarquons ici que : $\displaystyle{\int_0^1x\mathrm{d}x}+\displaystyle{\int_0^11\times\mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{\int_0^1(x+1)\mathrm{d}x}$, ce que l'on peut voir sur les graphiques en imaginant que le triangle et le carré "s'ajoutent" pour former le trapèze.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Le nombre réel $\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}$ est l'aire du domaine du plan précédent comptée positivement lorsque $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $(Ox)$, et négativement lorsque $\mathcal{C}_f$ est au dessous.
Déterminer la valeur de $\displaystyle{\int_0^2(2x-1)\mathrm{d}x}$.
Observons tout d'abord la courbe de la fonction $x\mapsto 2x-1$sur $[0\,;2]$.
Nous voyons que la fonction s'annule en $\dfrac{1}{2}$. L'intégrale cherchée sera donc la différence entre l'aire du triangle bleu et l'aire du triangle rouge. $\displaystyle{\int_0^2(2x-1)\mathrm{d}x}$$=$$\dfrac{\frac{3}{2}\times3}{2}-\dfrac{\frac{1}{2}\times1}{2}$$=$$\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}$$=$$\dfrac{8}{4}$$=$$2$.
Ce résultat se vérifie en ajoutant les carreaux (ou demi-carreau) bleus et en soustrayant les rouges.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
On pose alors :
$\displaystyle{\int_b^a f(t)\mathrm{d}t}$$=$$\displaystyle{-\int_a^bf(t)\mathrm{d}t.}$
Nous avions vu que $\displaystyle{\int_0^1x\mathrm{d}x}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$, donc d'après cette définition : $\displaystyle{\int_1^0x\mathrm{d}x}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$. -- Relation de Chasles
Soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue, et soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $I$. On a alors :
$\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \int_b^cf(x)\mathrm{d}x}$$=$$\displaystyle{\int_a^cf(x)\mathrm{d}x.}$
Cette propriété signifie que si on découpe un domaine en deux alors la somme des aires des deux nouveaux domaines est égale à l'aire totale.
Dans le graphique précédent l'aire du domaine entre $a$ et $c$ est égale à la somme des aires des domaines coloriés en vert (entre $a$ et $b$) et en orange (entre $b$ et $c$).
À l'aide de la relation de Chasles montrer que $\displaystyle{\int_{-1}^1 x^3\mathrm{d}x=0}$.
La fonction cube étant impaire les aires des domaines sur $[-1\,;0]$ et $[0\,;1]$ sont opposées.
En effet, la courbe étant symétriquepar rapportà l'origine du repère les aires sont égales. La partie de gauche de la courbe étant en dessous de l'axe des abscisses l'aire du domaine sur $[-1\,;0]$ est compté négativement. On a alors :
Nous avions déjà vu que : $\displaystyle{\int_0^1x\mathrm{d}x}+\displaystyle{\int_0^11\times\mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{\int_0^1(x+1)\mathrm{d}x}$.
Et pour illustrer le deuxième point, nous avons, par exemple :
$\displaystyle{\int_0^1 5x^2 \mathrm{d}x}$ $=$ $\displaystyle{5\int_0^1x^2\mathrm{d}x}$. -- Positivité
Soit $f:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$.
Si pour tout $x\in[a\,;b]$, $f(x)\geq0$, alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x}$$\geq 0$.
Si pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leq0$, alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x}$ $\leq 0$.
En effet, si $f(x)\leq0$ alors $-f(x)$ $\geq0$, et donc : $\displaystyle{\int_a^b -f(x)\mathbb{d}x}$ $\geq 0$.
Par linéarité nous avons alors : $-\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x}$ $\geq 0$.
Et : $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x}$ $\leq 0$. -- Positivité
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;b]$.
Si pour tout $x\in[a\,;b]$, $f(x)\leq g(x)$ alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}$$\leq$$\displaystyle{\int_a^b g(x)\mathrm{d}x.}$Preuve
Pour tout $x\in[a;b]$, on a :
Nous avons que : $\displaystyle{\int_1^{10} x^2\mathrm{d}x}$ $\leq$ $\displaystyle{\int_1^{10} x^3\mathrm{d}x}$.
En effet sur l'intervalle $[1\,;10]$, $x^2$ $\leq$ $x^3$.
Nous avons également : $\displaystyle{\int_0^1 x^2\mathrm{d}x}$ $\geq$ $\displaystyle{\int_0^1 x^3\mathrm{d}x}$ car sur l'intervalle $[0\,;1]$: $x^3$ $\leq$ $x^2$.
Valeur moyenne d'une fonction
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est donnée par le nombre réel :
$\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}$
La vitesse $v$, exprimée en $\text{km.h}^{-1}$ d'un véhicule est définie par $v(t)=20t$, où $t$ représente le temps exprimé en heure sur l'intervalle $[0\,;4]$.
Déterminer la vitesse moyenne du véhicule entre $0$h et $4$h.
D'après la définition précédente la vitesse moyenne du véhicule sur l'intervalle $[0\,;4]$ est donnée par : $\displaystyle{\dfrac{1}{4-0}\int_0^4v(t)\mathrm{d}t}$.
Calculons l'intégrale à l'aide du graphique suivant :
L'aire du triangle bleu (et donc de l'intégrale) vaut : $\dfrac{1}{2}\times4\times80$$=$$160$. Ainsi la vitesse moyenne cherchée vaut : $\dfrac{1}{4}\times160$$=$$40$ $\text{km.h}^{-1}$. -- Inégalité de la moyenne
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. On considère $m$ et $M$ deux réels tels que : pour tout $x\in[a\,;b]$, $m\leq f(x)\leq M$. On a alors :
$\displaystyle{m\leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leq M.}$
Propriété que l'on peut traduire en disant que la valeur moyenne d'une fonction est comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de cette fonction.
Pour tout réel $t>0$, $\displaystyle{4\ln(2) \leq \int_1^5\ln(1+t)\mathrm{d}t \leq 4\ln(6)}$.
En effet, la fonction $t\mapsto\ln(1+t)$ est croissante sur $[1\,;5]$, sa dérivée étant $\dfrac{1}{t+1}$$>0$.
Cette fonction est donc minorée par sa valeur en $1$ et majorée par sa valeur en 5. C'est-à-dire, que pour tout réel $t\in[1\,;5]$ : $\ln(2)\leq\ln(1+t)\leq\ln(6)$.
Ainsi, en appliquant l'inégalité de la moyenne, on obtient :
$\displaystyle{\ln(2) \leq \dfrac{1}{4}\int_1^5\ln(1+t)\mathrm{d}t \leq \ln(6)}$.
Ce qui donne :
$\displaystyle{4\ln(2) \leq \int_1^5\ln(1+t)\mathrm{d}t \leq 4\ln(6)}$.
Intégration et primitivesExemple
Soit $x\in\mathbb{R}$. Déterminons $\displaystyle{\int_0^xt\mathrm{d}t}$.
Construisons le graphique pour calculer l'aire du domaine considéré.
L'aire du domaine vaut : $\dfrac{1}{2}x\times x$, et donc $\displaystyle{\int_0^xt\mathrm{d}t}$$=$$\dfrac{1}{2}x^2$.
Nous remarquons donc, dans ce cas précis qu'il y a un lien entre la fonction dont on cherche à calculer l'intégrale, et une primitive de cette fonction. Ici nous avons bien que la dérivée de $t\mapsto\dfrac{1}{2}t^2$ est $t\mapsto t$ et on se pose la question si ce résultat peut se généraliser à toute fonction continue dont on chercherait à calculer une intégrale.
Intégrale et primitive
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors la fonction $F$ définie sur $[a\,;b]$ par :
$\displaystyle{\int_a^x f(t)\mathrm{d}t}$
est dérivable sur $[a\,;b]$ et a pour dérivée $f$.Preuve
On démontre ce résultat dans le cas où $f$ est continue, positive et croissante.
Notre but est de montrer que
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{F(x)-F(a)}{x-a} = f(a) .}$
Nous avons : $F(x)-F(a)$$=$$F(x)-0$$=$$F(x).$
La fonction $f$ étant croissante, l'aire sous la courbe, $F(x)$, ici hachurée, est encadrée par l'aire des deux rectangles vert et bleu ci-dessous :
L'aire du rectangle vert vaut : $(x-a)f(a)$ et celle du rectangle bleu : $(x-a)f(x)$.
On obtient donc l'encadrement suivant :
$(x-a)f(a)$
$\leq$
$F(x)$
$\leq$
$(x-a)f(x)$
$(x-a)f(a)$
$\leq$
$F(x)-F(a)$
$\leq$
$(x-a)f(x)$
$f(a)$
$\leq$
$\dfrac{F(x)-F(a)}{x-a}$
$\leq$
$f(x)$
Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(a)=}$$f(a)$et$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=}$$f(a)$car $f$ est continue en $a$.
Ainsi, par encadrement de limites :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{F(x)-F(a)}{x-a}} $$=$$f(a).$
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Preuve
La proposition précédente (la numéro 6) nous permet d'obtenir le résultat :
« Toute fonction positive et continue possède une primitive ».
Il nous reste donc à démontrer le résultat pour une fonction de signe quelconque.
On admettra pour cela que sur un intervalle $[a\,;b]$, toute fonction continue possède un minimum.
Soit $f$, une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$, et $m$sonminimum.
Si $m$ est positif, alors $f$ l'est aussi, et d'après la propriété précédente, $\displaystyle{x\rightarrow\int_a^x f(t)\mathrm{d}t}$ est une primitive de $f$.
Si $m$ est négatif, on définit alors sur $[a\,;b]$ la fonction $g$, par $g(x)=f(x)-m$.
Le minimum de $f$ étant $m$, celui de $g$ est $m-m$$=$$0$, cette dernière fonction est donc positive et possède une primitive que l'on note $G$.
On définit alors la fonction $F$ par $F(x)=G(x)+mx$.
On obtient : $F'(x)$$=$$G'(x)+ m$$=$$g(x)+m$$=$$f(x)$.
Ainsi, nous avons bien déterminé une primitive pour $f$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$, et soit $F$ une primitive de $f$. Alors :
$\displaystyle{\int_a^b f(t)dt}$$=$$F(b)-F(a).$Preuve
D'après la propriété 7 la fonction $G$ définie pour tout $x\in[a\,;b]$ par $G(x)=\displaystyle{\int_a^x f(t)\text{d}t}$est la primitive de $f$de $[a\,;b]$qui s'annule en $a$.
Ainsi, on a bien $G(b)-G(a)$$=$$\displaystyle{\int_a^b f(t)\text{d}t-\int_a^a f(t)\text{d}t}$$=$$\displaystyle{\int_a^b f(t)\text{d}t}$.
Soit $F$ une autre primitive de $f$ sur $[a\,;b]$.On sait qu'il existe $\lambda\in\mathbb{R}$tel que pour tout $x\in[a\,;b]$,$F(x)$$=$$G(x)+\lambda$. On a alors :$F(b)-F(a)$$=$$G(b)+\lambda-(G(a)+\lambda)$$=$$G(b)-G(a)$$=$$\displaystyle{\int_a^b f(t)\text{d}t}$.
Graphiquement, nous avons vu que $\displaystyle{\int_0^1x\mathrm{d}x}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Une primitive de la fonction $f:x\mapsto x$ est $F:x\mapsto\dfrac{x^2}{2}$, et :
$\displaystyle{F(1)-F(0)}$$=$$\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}$$=$$\dfrac{1}{2}.$
Ce résultat illustre donc la propriété.
On notera, de manière plus condensée : $\displaystyle{F(b)-F(a)}$$=$$\displaystyle{\left[F(t)\right]_a^b}$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Soit $x_0\in I$ fixé. Alors, la fonction $F$ définie sur $I$ par
$\displaystyle{F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t,}$
est la primitive de $f$ qui s'annule en $x_0$.
Nous avons, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$ :
$\ln(x)$$=$$\displaystyle{\int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{d}t.}$
Intégration par parties
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a\,;b]$ telles ques $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a\,;b]$. On a alors :
$\displaystyle{\int_a^b u(x)v'(x)\text{d}x}$$=$$\left[ u(x)v(x) \right]_a^b-\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x)\text{d}x}$.Preuve
Pour tout $x\in[a\,;b]$, on a $(uv)'(x)$$=$$u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
C'est-à-dire : $u(x)v'(x)$$=$$(uv)'(x)-u'(x)v(x)$.
Par hypothèse chacune des fonctions de l'égalité précédente sont continues, elles admettent donc des primitives et on peut calculer leur intégrale sur $[a\,;b]$.
On a ainsi :