DM ∼ Probabilités Exercice 1 Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsqu'un sondage permet la découverte de vestiges, il est dit positif.
On note VnV_n l'événement : « le nimeeˋn^{\text{ième}} sondage est positif » et pnp_n sa probabilité.

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : p1=1p_1=1.
  1. Calculer les probabilités des événements suivants :

    AA : « les deuxième et troisième sondages sont positifs »;

    BB : « les deuxième et troisième sondages sont négatifs ».

    On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
  2. Calculer la probabilité p3p_3 pour que le troisième sondage soit positif.
  3. Le nombre nn désigne un entier naturel, n≥2n\geq2.
    1. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
      Vn
      Vn
      —
      Vn+1
      Vn+1
      —
      Vn+1
      —
      Vn+1
    2. Établir pour tout entier naturel nn non nul, que pn+1=0,5pn+0,1p_{n+1} = 0,5p_n+0,1.
  4. On note (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn non nul par un=pn−0,2u_n=p_n-0,2.
    1. Démontrer que (un)(u_n) est une suite géométrique.
    2. Exprimer unu_n, puis pnp_n en fonction de nn.
    3. Calculer la limite de la suite (pn)(p_n) quand nn tend vers +∞+\infty. Interpréter le résultat.
    4. Écrire un algorithme Python pour déterminer le premier entier nn tel que pn<0,2−10−12p_n<0,2-10^{-12}.
      On pourra s'inspirer de la correction de l'exercice 1 du cours n°1.
      Exécuter
      





      5. 


    


    5. 














Exercice 2


Soit bb un entier naturel choisi aléatoirement entre 11 et 1010.




On définit sur R\mathbb{R} la fonction ff, pour tout xx par : 


f(x)=(x+b)e−bx.f(x)=(x+b)\text{e}^{-bx}.




    

  1. 
Montrer que pour tout xx, f′(x)=(1−b2−bx)e−bxf'(x)=(1-b^2-bx)\text{e}^{-bx}.

    2. 


  2. 
Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et +∞+\infty.

    3. 


  3. 
Justifier que ff atteint son maximun en x=1b−bx=\dfrac{1}{b}-b.

    4. 


  4. 
Quelle est la probabilité que ff ne soit pas majorée par 10001\,000 ?

    5. 









Exercice 3

Soient aa et cc deux entiers choisis aléatoirement entre 00 et 1010.




Quelle est la probabilité que le polynôme P(x)=ax2+5x+cP(x)=ax^2+5x+c possède deux racines distinctes ?