DM ∼ Méthode d'Euler
On s'intéresse dans ce devoir à une fonction $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Cette fonction vérifie $f(0)=4$ et pour chacun des point de sa courbe $\mathscr{C}$, le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ est égale à l'opposé de la moitié de son ordonnée.
Pour tout réel $x$ trouver une relation entre $f'(x)$ et $f(x)$.
En partant du principe que localement une courbe et sa tangente sont très proche, on admet qu'étant donné un point $M$ de $\mathscr{C}$ et la tangente correspondante $T$, un point de $T$ proche de $M$ est aussi proche de $\mathscr{C}$.
Dans le graphique ci-dessous on a tracé le point $(0\,;4)$ de $\mathscr{C}$.
Cliquer sur ce point pour faire apparaître la tangente à $\mathscr{C}$ associée. On remarquera que son coefficient directeur vaut bien $-2$ qui est la moitié de l'opposé de $4$.
Cliquer ensuite sur un point de cette tangente qui est proche du point de coordonnées $(0\,;4)$, tout en étant à sa droite.
On obtient alors un point qui est proche d'un point de $\mathscr{C}$.
Répéter l'opération une dizaine de fois avec chaque nouveau point créé, en allant jusqu'à la droite du graphique pour obtenir une approximation de $\mathscr{C}$.
Repartir du point initial $(0\,;4)$ mais en allant cette fois-ci vers la gauche pour compléter l'approximation de $\mathscr{C}$.
Imprimer ou envoyer le graphique.
À partir du graphique précédent, conjecturer la famille de fonction à laquelle semble appartenir $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_0$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$.
Déterminer l'ordonnée du point d'abscisse $0,5$ de $T_0$ et expliquer pourquoi ce nombre peut être considéré comme une valeur approchée de $f(0,5)$.
Déterminer alors, en utilisant cette valeur approchée de $f(0,5)$, l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0,5$.
En déduire selon la même méthode une valeur approchée de $f(1)$.
Compléter le tableau suivant :
$x_0$
Équation de la tangente en $x_0$
Valeur approchée de $f(x_0+0,5)$
$0$
$0,5$
$1$
$1,5$
$2$
$2,5$
$3$
$3,5$
$4$
Placer les points obtenus dans le tableau précédent dans le repère ci-dessous :
Pour obtenir un plus grand nombre de points, la méthode précédente est difficilement applicable avec de tels calculs à la main. On utilise donc un algorithme en Python.
On cherche à établir tout d'abord des résultats qui nous serons utiles pour cet algorithme.
On considère un point $M(t\,;f(t))$ de $\mathscr{C}$. Montrer que l'équation réduite de la tangente $T_t$ à $\mathscr{C}$ en $M$ est : $y=-\dfrac{1}{2}f(t)(x-t)+f(t)$.
Déterminer une expression simple des coordonnées du point de $T_t$ d'abscisse $t+0,1$.
On applique dans cette question la méthode de la question 4 pour un pas de $0,1$ à la place de $0,5$.
En utilisant la question précédente, compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la liste de toutes les coordonnées de tous les points obtenus par cette méthode entre $0$ et $4$.
x = 0
y = 4
L = [ [x,y] ]
while x < 4:
x = x+0.1
y =
L.append([x,y])
print( )
L'algorithme suivant, n'est pas écrit en Python, mais permet de tracer les points obtenus par la méthode précédente. Compléter le pour obtenir le graphique associé.
Xmin = -0.5
Xmax = 4.2
Ymin = -0.5
Ymax = 5
traceG()
traceX()
traceY()
couleur = bleu
x = 0
y = 4
point([x,y])
while( x < 4 ){
x = x + 0.1
y =
point([x,y])
}
Modifier cet algorithme pour obtenir plus d'une centaine de points sur $[0\,;10]$. On pensera à modifier, entre autre, la ligne n°2.
Xmin = -0.5
Xmax = 4.2
Ymin = -0.5
Ymax = 5
traceG()
traceX()
traceY()
couleur = bleu
trait = 0.2
x = 0
y = 4
point([x,y])
while( x < 4 ){
x = x + 0.1
y =
point([x,y])
}