DM ∼ Suites et probabilités Syagria utilise deux modes de transport pour se rendre à son travail : sa voiture ou son vélo.
Lorsqu'un jour elle a utilisé sa voiture, la probabilité qu'elle la prenne le lendemain est de $0,3$, alors que si elle s'est rendue au travail en vélo, la probabilité qu'elle l'utilise le lendemain est de $0,6$.
On note $A_n$ l'évènement : « Syagria a utilisé sa voiture le $n^{\text{e}}$ jour » et $a_n = P(A_n)$.
Le premier jour Syagria se rend au travail en voiture.

1. Donner la valeur de $a_1$ et déterminer celle de $a_2$ puis de $a_3$.
2. Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
3. Montrer alors que $a_{n+1}=0,4-0,1a_n$.
4. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=a_n-\dfrac{4}{11}$.
   1. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $u_1$ et la raison.
   2. Montrer alors que pour tout entier $n$, $a_n=\dfrac{7}{11}\times(-0,1)^{n-1}+\dfrac{4}{11}$.
5. Une collègue de Syagria prédit que dans plus de six mois il y aura moins d'une chance sur trois que cette dernière prenne sa voiture. A-t-elle raison ?

Dans une course de fond de niveau départemental, $10$ % des coureurs ont plus de $50$ ans.
Un temps minimal doit être effectué pour se qualifier pour la compétition régionale.
Les éditions des années précédentes permettent d'affirmer que $5$ % des coureurs de plus de $50$ ans réussissent à se qualifier pour la compétition régionale alors que $14$ % de l'ensemble des participants y arrivent.

Partie 1
On choisit au hasard un participant à cette course de recrutement et on note :

• $V$ l'évènement « le participant a plus de $50$ ans » ;
• $R$ l'évènement « le participant se qualifie pour la compétition de niveau régionale » ;
• $\overline{V}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements $V$ et $R$ respectivement.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Déterminer $P_{\overline{V}}(R)$.
3. Après la course, un participant est qualifié pour la compétition régionale. Qu'elle est la probabilité qu'il ait plus de $50$ ans ?

Partie 2

1. On considère un échantillon de dix coureurs choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les coureurs qui se qualifient pour la compétition régionale.
   1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$. Quels sont ses paramètres ?
   2. Déterminer $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. Calculer la probabilité qu'un seul des $10$ coureurs se qualifie ?
   4. Calculer la probabilité qu'au moins deux coureurs se qualifient ?
2. Un club d'athlétisme présente $n$ participants à la course départementale, $n$ étant un entier non nul.
   1. Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu'aucun participant issu de ce club ne se qualifie pour la compétition régionale.
   2. L'algorithme ci-dessous affiche $31$. Comment interpréter ce résultat pour le club d'athlétisme ? n = 1 while 1-0.86**n <= 0.99: n = n+1 print(n)