DM ∼ Géométrie dans l'espace Exercice 1 Dans un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right) de l'espace, on considère les points A(−3 ; 1 ; 3)\text{A}(-3~;~1~;~3), B(2 ; 2 ; 3),\text{B}(2~;~2~;~3),\, C(1 ; 7 ; −1),\text{C}(1~;~7~;~-1), \, D(−4 ; 6 ; −1)\text{D}(-4~;~6~;~-1) et K(−3 ; 14 ; 14).\text{K}(-3~;~14~;~14).
    1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB→,DC→\overrightarrow{\text{AB}},\: \overrightarrow{\text{DC}} et AD→\overrightarrow{\text{AD}}.
    2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
    3. Calculer l'aire du rectangle ABCD.
    1. Justifier que les points A, B et D définissent un plan.
    2. Montrer que le vecteur n⃗(−2 ; 10 ; 13)\vec{n}(-2~;~10~;~13) est un vecteur normal au plan (ABD).
    3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.
    2. Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).
    3. Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut 273\sqrt{273}.
  4. Calculer le volume VV de la pyramide KABCD. On rappelle que le volume VV d'une pyramide est donné par la formule: V=13×aire de la base×hauteur.V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.