DM ∼ Convexité On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x).$$ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivables sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

1. 1. Déterminer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}f(x)}$.
      Interpréter graphiquement ce résultat.
   2. Déterminer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
2. 1. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x\in]0\,;+\infty[$.
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.
      En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[4\,;5]$.
4. On admet que, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, on a : $f''(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$.
   1. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
      On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
   2. On note $A$ le point de coordonnées $(\sqrt{2}\,;f(\sqrt{2}))$.
      Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq\sqrt{2}$. Soit $M$ le point coordonnées $(t\,; f(t))$.
      En utilisant la question 4.a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.