Terminale ∼ Spécialité mathématique
Démonstration par récurrence Exercice 1 Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.
  1. Pour tout entier naturel nn, ∑k=1nk=n(n+1)2\,\displaystyle{\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}}.
  2. Pour tout entier naturel n≥1n\geq1, 2n≥n\,2^n \geq n.
Exercice 2 Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x−x2f(x)=2x-x^2.
La suite (un)(u_n) est définie par u0=23u_0=\dfrac{2}{3} et pour tout entier nn, un+1=un(2−un)u_{n+1}=u_n(2-u_n).
  1. Étudier les variations de ff sur [0;1][0\,;1].
  2. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite (un)(u_n) est croissante.
Exercice 3 On considère la suite (un)n∈N\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}} définie par u0=400u_0 = 400 et pour tout entier naturel nn : un+1=0,9un+60.u_{n+1} = 0,9u_n + 60.
  1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite (un)n∈N\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}.
  3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a l'inégalité 0⩽un⩽un+1⩽600.0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600.