Document de travail pour le voyage à Venise Des calculs commerciaux aux rudiments de l'algèbre Source : https://irma.math.unistra.fr/~baumann/polyh.pdf

La civilisation romaine, contrairement à celle développée en Orient ou en Grèce durant l'Antiquité, n'a pas eu d'École de mathématique. Ses sciences, généralement empiriques, ne se sont pas basées sur des savoirs mathématiques. Mais à partir du XIIIe siècle, l'Italie devient la plaque tournante du commerce entre l'Orient, l'Afrique du nord et l'Europe. De ces intenses échanges pratiqués par des cités-états telles que Florence, Gênes ou encore Sienne vont naître les mathématiques italiennes.
L’activité commerciale nécessite de savoir calculer efficacement. Il faut notamment tenir les comptes, répartir les profits et les pertes d’une affaire au prorata de la participation des différents associés, et régler les problèmes de monnaie, de change et de crédit. À l’activité commerciale s’ajoutent en outre des activités bancaires et d’assurance, surtout après les dégâts causés au milieu du XIVe siècle par la guerre de Cent Ans et la grande épidémie de peste noire.
Les enfants des marchands reçoivent une éducation adaptée à cette activité. Des écoles de calcul sont créées : par exemple à Florence, une vingtaine de telles écoles accueillent plus de mille élèves du XIVe au XVIe siècle, un nombre impressionnant pour une ville qui a moins de cent mille habitants. Les enfants des plus riches familles ont même leur précepteur particulier. Les meilleurs des professeurs de calcul, ou « maîtres d’abaque », sont des personnages estimés dans leur ville et comptent parmi les plus riches de la classe moyenne.
Illustration du XVe siècle représentant le départ des Polo de Venise en 1291
Outre leur enseignement, les maîtres d’abaques écrivent des ouvrages, qui reprennent les notions abordées en cours. Il peut s’agir de traités destinés à servir de référence au marchand qui l’a acquis, ou bien d’un livre permettant à son auteur de montrer publiquement son talent d’enseignant et son habileté de calculateur. Ces traités suivent tous le même plan, inspiré du Liber abaci de Leonardo Fibonacci (1170 - 1250). L’auteur commence par exposer les règles permettant d’effectuer les opérations arithmétiques de base : écriture avec les chiffres arabes, quatre opérations arithmétiques, manipulation des fractions, extraction des racines carrées. Puis il continue en expliquant comment ces techniques permettent de résoudre les problèmes pratiques qui se posent aux marchands. Des méthodes simples comme la règle de trois sont expliquées sur de nombreux cas pratiques, par exemple pour calculer comment les gains et les pertes réalisés par une société doivent être répartis entre les associés. Le maniement des fractions est pour sa part très utile pour tout ce qui est calcul avec les monnaies, car le système de subdivision monétaire est compliqué : une livre vaut 20 sous, tandis qu’un sou vaut 12 deniers. La pluralité des monnaies existantes (chaque ville et chaque duché peut frapper sa monnaie) ne simplifie du reste pas les choses. Le caractère pédagogique de l’ouvrage est renforcé par la présence de nombreux conseils expliquant comment simplifier au mieux les calculs délicats.
Extrait du liber Abaci de Fibonacci où est présente sa célèbre suite

De tels traités d’arithmétique à l’usage des marchands se multiplient en Italie à partir du milieu du XIVe siècle ; parmi les auteurs, on trouve un certain Piero della Francesca (1416 – 1492) : le plus grand peintre du quattrocento italien est aussi un mathématicien. Le phénomène se reproduit dans d’autres villes d’Europe à partir du milieu du XVe siècle. Ainsi un dénommé Johann Certain écrit en français son Kadran aux marchans en 1485 dans le but de donner un « guide, enseignement et declaracion a tous marchans de bien savoir compter ». L’imprimerie arrive alors ; vers 1480, des traités d’arithmétique marchande sont imprimés en Italie, en Allemagne et en France.
La plupart de ces hommes ne font pas accomplir de réels progrès aux mathématiques, mais par leur enseignement, ils répandent l’utilisation du calcul en Europe. Grâce à eux, l’usage du système de numération positionnel basé sur les chiffres arabes et des opérations posées sur papier remplace celui des chiffres romains et de l’abaque. En étudiant les dispositions les plus commodes pour la conduite des opérations, ils fixent les règles du calcul arithmétique (multiplication, division, preuve par neuf, « règle de trois » par le « produit en croix ») que nous utilisons encore aujourd’hui.
Le dernier chapitre du Liber abaci de Fibonacci, intitulé « La géométrie et les questions d’algèbre » comprend non seulement quelques exemples de procédures géométriques pour déterminer les aires et les volumes, ce qui est utile pour déterminer les quantités de marchandise, mais aussi toute la théorie des équations du second degré développée par Al-Khwârizmî (~780 - ~850). À l’instar de ce dernier, Fibonacci classe les équations du second degré en six types, donne la méthode de résolution pour chacun des types, justifie la méthode par un argument de nature géométrique, ne dispose d’aucun formalisme, et ne s’intéresse qu’aux racines strictement positives des équations.
Un grand nombre d’auteurs de traités d’arithmétique marchande suivent cette démarche et ajoutent un chapitre d’algèbre à leur traité. Petit à petit, le matériau évolue. Le degré des équations considérées augmente, quitte à devoir allonger la liste des types d’équations possibles. Les possibilités de simplification des équations sont au début mal comprises. Ainsi le traité intitulé Summa écrit en 1463 par un certain Maître Benedetto de Florence présente les procédures de résolution pour trente-six types d’équations, qui comprennent entre autres les formes suivantes que nous écrivons en notations modernes : $$x^2+c=bx,$$ $$x^3+cx=bx^2,$$ $$x^4+cx^2=bx^3,$$ $$x^5+cx^3=bx^4,$$ $$x^6+cx^4=bx^5.$$ Cette évolution en amène une autre remarquable : jusque là, toute équation devait provenir d'une situation géométrique. C'est pour cela, par exemple, qu'une équation de la forme $x^2+bx=c$ n'était pas la même qu'une de la forme $x^2-bx=c$ (avec $b$ et $c$ positifs). Les carrés apparaissent naturellement dans des situations de calculs d'aires, mais à partir des cubes ou plus, aucune configuration géométrique naturelle ne peut être utilisée. Ainsi, progressivement la justification géométrique des équations disparaît (en Italie tout du moins) et des rudiments d'algèbre apparaissent donc.
Question 1
Donner plusieurs pays dans lesquels Fibonnaci a vécu durant son enfance. Quels liens peut-on établir avec les éléments nouveaux en mathématiques qu'il expose dans le Liber Abaci ?
Question 2
À partir de quel exemple Fibonacci introduit-il sa célèbre suite ? Donner la relation de récurrence qui la définit puis calculer ses sept premiers termes.
Question 3
De quelle ville était issu Marco Polo ? Donner les dates de son voyage en Extrême-Orient puis situer quelques éléments architecturaux du tableau présenté dans cette partie concernant ce personnage.
Histoire des équations : la contribution italienne Sources :
L'histoire des équations mathématiques est longue et riche, diverses civilisations ont contribué à leur résolution, et la période de la Renaissance italienne permettra de semer les graines de futurs théories mathématiques fondamentales aujourd'hui.
L'un des acteurs de cette épopée s'appelle Niccolo Fontana Tartaglia. Il est née à Brescia en 1499 et passera sa vie à Venise où il décédera en 1557. Mais avant d'entrer dans les détails de son histoire faisons auparavant l'état de la question des équations à cette époque.
Le XVIe siècle voit la renaissance de la mathématique européenne après la léthargie du Moyen Âge. Pendant mille ans, les travaux des grands géomètres grecs ont été oubliés; certains ont été perdus à jamais. Grâce aux textes arabes, les Européens apprennent à connaître la mathématique orientale, ainsi que la mathématique antique. Les marchands jouent un grand rôle dans la diffusion de la mathématique en Europe; les voyages étant pour eux l'occasion de recueillir et de répandre des informations. Dans ce contexte le personnage de Léonard de Pise (1180-1240) plus connu sous le nom de Fibonacci (fils de Bonacci) a un relief tout particulier. Son nom est resté attaché à la suite de Fibonacci.
Il peut arriver que le niveau de la science baisse rapidement, et qu'ensuite il faille des siècles pour qu'on retrouve le niveau antérieur. Pendant trois siècles, les mathématiciens européens restèrent des disciples de l'Antiquité quoique Fibonacci ait fait certaines observations intéressantes. Ce n'est qu'au XVIe siècle que l'on obtient en Europe des résultats mathématiques d'une portée immense et inconnus jusque-là : on parvient à résoudre les équations du troisième et quatrième degré.
Les acquisitions des mathématiques européennes ont trait à l'algèbre, nouveau domaine des mathématiques venu de l'Orient, qui n'en est qu'à ses premiers pas. En géométrie, il faudra encore attendre cent ans avant que les mathématiciens d'Europe soient capables de réaliser quelque chose de comparable aux œuvres d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius, et même d'assimiler les résultats des grands géomètres.
Selon la légende, Pythagore aurait dit : « Tout est nombre. »
Mais après lui la mathématique grecque se soumet peu à peu à la géométrie. Chez Euclide on trouve des éléments d'algèbres sous forme géométrique. En décomposant un carré de côté $(a+b)$ on obtient la formule : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Bien sûr, cette symbolique n'existait pas et l'expression en termes de surfaces restait imparfaite et lourde.

Les problèmes de de constructions à l'aide d'une règle et d'un compas amènent à résoudre les équations du second degré et à étudier les expressions contenant des racines carrées. Par exemple, Euclide étudie en détail les expressions du type : $$\sqrt{a+\sqrt{b}}.$$ Les géomètres grecs comprenaient, dans une certaine mesure, le lien entre certains problèmes classiques de construction (duplication du cube et trisection d'un angle) et les équations du troisième degré.
Chez les mathématiciens arabes, l'algèbre se détache peu à peu de la géométrie. Encore que la résolution des équations du troisième degré ait été obtenue par une approche géométrique. C'est pour résoudre des problèmes issus de la vie quotidienne (problème d'héritages, etc.) que les méthodes algébriques apparaissent chez les mathématiciens arabes. Les règles sont formulées à partir d'un exemple concret mais de telle façon qu'on puisse grâce à elles résoudre d'autres problèmes semblables.
La formulation de règles sous forme générale exige une symbolique développée dont on était encore loin. Les mathématiciens arabes se sont arrêtés à la résolution des équations du second degré et de quelques équations du troisième degré.
Kitad al-jabr wa-l muqabala d'Al Khwawarizmi (écrit entre 813 et 833)
La résolution des équations du troisième degré intéresse les mathématiciens arabes tout comme leurs disciples européens. Léonard de Pise obtient dans ce domaine un résultat étonnant : il prouve que l'on ne peut pas exprimer les solutions de l'équation $x^3+2x^2+10x=20$ en utilisant les nombres irrationnels d'Euclide du type : $\sqrt{a+\sqrt{b}}$.
Ce résultat impressionnant (nous ne sommes qu'au début du XIIIe siècle) annonce le cas général qui ne sera entièrement traité que beaucoup plus tard.
Les mathématiciens ne voient pas comment résoudre toutes les équations du troisième degré. Le livre de Luca Pacioli (1445-1514) Summade arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, publié en 1494 à Venise, l'un des tous premiers livres imprimés, rassemble toutes les connaissances mathématiques du temps. C'est l'un des premiers ouvrages traitant de mathématiques qui soit écrit en italien et non en latin. À la fin de son livre, l'auteur conclut que l'algèbre n'a encore le moyen ni de résoudre les équations du troisième degré ni d'effectuer la quadrature du cercle. Cette comparaison est impressionnante (le lien entre la quadrature du cercle et la résolution d'une équation polynomiale ne sera démontré que quelques siècles plus tard) et l'autorité de Pacioli est si grande que la majorité des mathématiciens considéreront qu'il est en général impossible de résoudre les équations du troisième degré.
Il se trouve cependant un homme qui ne se laisse pas arrêter par l'autorité de Pacioli. Scipione Del Ferro (1465-1526), professeur de mathématiques à Bologne, trouve une méthode pour résoudre les équations : $$x^3+ax=b.$$ A cette époque, on n'utilisait pas de nombres négatifs et l'équation $x^3=ax+b$ était considérée comme entièrement différente.
On ne dispose que de renseignements indirects sur cette résolution. Del Ferro en parle à son gendre et successeur de chaire, Hannibal della Nave, et à son élève Antonio Maria Fiore. Ce dernier, après la mort de son professeur, décide d'utiliser le secret qui lui avait été confié pour gagner des concours scientifiques qui, à l'époque, étaient fréquents. Le 12 février 1535, il manque de vaincre le célèbre Niccolo Tartaglia dont nous allons évoquer la vie maintenant.

Niccolo Fontana Tartaglia
Niccolo Fontana (qui sera appelé plus tard Tartaglia) est issu d'une famille modeste de Brescia. Lors du sac de cette ville par les Français en 1512, il se réfugie avec son père dans la cathédrale pour échapper aux envahisseurs. Rien n'y fait, les soldats de Louis XII pénètrent dans le lieu sacré, massacrent son père, et Niccolo est laissé pour mort avec une fracture du crâne et un coup de sabre à travers la mâchoire et le palais. Sa mère le soigne mais la blessure au palais lui laisse un défaut de parole qu'il conserve toute sa vie, ce qui lui vaut son surnom « Tartaglia », tartagliare signifiant bégayer en italien.
Très tôt sa mère l'a donc à sa charge et économise pour permettre à son fils de suivre des études mais l'argent vint vite à manquer et il quitte l'école sans même savoir écrire son nom. Le jeune Niccolo vole alors des livres et des cahiers pour continuer à apprendre en autodidacte. Manquant de papier, il utilise même des pierres tombales comme ardoise.
Devenu adulte, il gagne sa vie en tant que magister abaca en enseignant les mathématiques dans différentes villes d'Italie et en participant à des concours. Il finit après de nombreux voyages dans le pays par s'installer à Venise en 1534.
La fréquentation d'ingénieurs et d'artilleurs du célèbre arsenal de Venise stimule alors ses activités scientifiques. Par exemple, on lui demande un jour de combien il faut incliner un canon afin qu'il tire le plus loin possible. À l'étonnement de tous, il répond 45°. On ne le croit pas, mais quelques expériences privés prouvent qu'il a raison. Tartaglia prétendra que son affirmation reposait sur des arguments mathématiques, mais c'est plus vraisemblablement le résultat d'une observation empirique (le résultat sera prouvé par Galilée).
Tartaglia publie deux livres, La Nuova Scientia (la Nouvelle Science [de l'artillerie], 1537) et Quesiti et inventioni diverse (Problèmes et inventions diverses 1546), qui sont l'un la suite de l'autre et dans lesquels il promet au lecteur « ... de nouvelles inventions non pas volées à Platon, Plotin ou tout autre Grec ou Latin mais obtenues grâce à l'art, la mesure et la raison ».
Ses ouvrages sont écrits en italien et se présentent sous la forme d'un dialogue, procédé qui sera repris plus tard par Galilée.
Sur de nombreux points Tartaglia est le précurseur de Galilée; quoiqu'il reprenne dans son premier livre l'affirmation d'Aristote selon laquelle « un projectile lancé obliquement sur un plan incliné se déplace d'abord le long d'un segment de droite, puis sur un axe de circonférence et finalement tombe suivant la ligne de plus grande pente», il écrit dans le second qu'«aucune section de la trajectoire n'est parfaitement droite ».
Tartaglia s'intéresse à l'équilibre des corps sur un plan incliné, à la chute libre des corps (son élève Benedetti démontre que le comportement d'un corps en chute libre ne dépend pas de son poids). Ses traductions d'Archimède et d'Euclide en italien et ses commentaires détaillés jouent un grand rôle à l'époque. Du point de vue humain, il n'est pas irréprochable et il a un caractère difficile. Bombelli, qui, il faut le reconnaître, est loin d'être impartial, écrit : « Cet homme a tendance, de part sa nature, à mal parler et même lorsqu'il dénigre quelqu'un il pense émettre un jugement flatteur ».
Revenons-en à notre joute contre Antonio Maria Fiore. Tartaglia est un concurrent expérimenté et espère vaincre Fiore facilement. Il ne s'inquiète pas en voyant que les trente problèmes proposés par Fiore comportent des équations de la forme $x^3+ax=b$ avec des valeurs différentes pour $a$ et $b$.
Tartaglia, persuadé que son adversaire ne s'est pas les résoudre espère le démasquer : « Je pensais qu'aucune d'entre elles ne pouvait être résolue car Luca Pacioli affirmait dans son ouvrage qu'il était impossible de trouver une formule générale s'appliquant aux équations de ce type ».
Alors que le délai de cinquante jours, au-delà duquel il faut remettre les solutions à un notaire, est presque écoulé, Tartaglia entend dire que Fiore a une méthode secrète. La perspective d'offrir à Fiore et à ses amis des repas en nombre égal à celui des problèmes résolus par le vainqueur (telles sont les règles) ne plaît guère à Tartaglia. Il déploie d'immenses efforts, et huit jours avant la date fixée (12 février 1535) découvre la méthode. Deux heures plus tard, les problèmes sont résolus. Son adversaire, lui n'en a résolu aucun. Bizarrement il n'avait pas trouvé la solution d'un problème que la formule de Del Ferro permettait de résoudre. Tartaglia renonce cependant au prix de sa victoire — trente banquets successifs.
Par ailleurs, le lendemain, Tartaglia trouvait le moyen de résoudre les équations du type $x^3=ax+b$.
Beaucoup de gens étaient au courant du duel entre Tartaglia et Fiore. Ainsi l'arme secrète pouvait être un inconvénient aussi bien qu'un atout. En effet qui accepterait à l'avenir de concourir contre lui ? Tartaglia refusa plusieurs fois de dévoiler son secret.

Gerolamo Cardano, dit en français Jérôme Cardan

Cet épisode sera suivi avec grand intérêt par Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano) à qui l'on devra l'ouvrage majeur Ars Magna.
Cardan doit sa réputation de savant et joueur au fait que ces deux activités ont tenu dans sa vie une place essentielle. L'homme était à la fois génial et dévoyé, Son parcours est une succession sidérante de sommets très hauts et de creux très bas. Sa mère, en pratiquant un avortement, avait essayé de ne pas le mettre au monde ; son fils finirait décapité pour avoir tué sa propre femme et entre-temps il avait dilapidé le patrimoine familial aux tables de jeu. On l‘a accuse d‘hérésie pour avoir établi le thème astral de Jésus. Dans le même temps, cela ne l'a pas empêché de devenir recteur de l‘université de Padoue, de se faire élire au Collège des physiciens de Milan. de gagner deux mille couronnes d'or pour avoir soigné l‘asthme de l‘archevêque de Saint-Andrews en Écosse, et de recevoir une rente du pape Gregoire XIII. Il a aussi inventé le cadenas à combinaison et le joint d‘articulation du gyroscope qui porte son nom, et écrit quelques livres dont une autobiographie extraordinaire, De vita propria (Ma vie). L'ouvrage qui nous intéresse ici est l‘Ars magna paru en 1545. le « grand art » désignant l'algèbre. Cardan y a rassemblé les notions algébriques les plus avancées de son temps. dont des méthodes de résolution d‘équation nouvelles et spectaculaire; certaines inventées par l'un de ses élèves, d‘autres obtenues auprès de diverses personnes, dans des circonstances parfois controversées, comme avec Tartaglia.
Avant de décrire la résolution des équations du troisième degré publiée par Cardan, il nous faut rapporter comment celui-ci a pu obtenir la méthode de Tartaglia.

Vers 1539, Cardan était en train d'achever son premier livre de mathématiques, Practica arithmeticae qui devait selon lui remplacer le livre de Luca Pacioli. Ayant entendu parler du secret de Tartaglia concernant les équations du troisième degré, il fut pris du violent désir d'en faire un des ornements de son livre.
Il charge le libraire J.Antonio de rencontrer le savant et de le convaincre de lui révéler son secret. Le 2 janvier 1539, à Venise, Antonio demande à Tartaglia « au nom d'un homme d'honneur, médecin de la ville de Milan appelé Messer Jérôme Cardan » de lui transmettre cette formule, soit pour la publier dans son livre soit sous la promesse du secret. Tartaglia refuse : « Veuillez dire à son Excellence qu'il me pardonne, mais si je désire un jour publier ma découverte, je le ferai dans mon propre ouvrage, et non dans le livre d'un autre ». Il n'accepte pas non plus de lui remettre la solution des trente problèmes de la joute contre Fiore, ni de résoudre sept problèmes que lui avait posés Cardan.
Le 12 février 1539 Cardan lui envoie ses remarques critiques à propos de son livre Nuova Scientia et réitère sa requête. Tartaglia reste inflexible et n'accepte de résoudre que deux des problèmes de Cardan.
Le 13 mars Cardan invite tartaglia chez lui, exprime son intérêt pour ses travaux dans le domaine de l'artillerie et parle de le présenter au marquis Del Vasto, gouverneur espagnol de Lombardie. Apparemment, cette perspective flatte Tartaglia et il accepte l'invitation.
L'explication décisive a lieu le 25 mars, dans la maison de Cardan. Voici un extrait du dialogue entre les deux hommes, rapporté par Tartaglia dans ses notes rédigées après coup. Ferrari, l'élève de Cardan, affirme que ces notes ne correspondent pas tout à fait à la réalité.
◄ Je vous le dis, ce n'est pas seulement à cause de ce chapitre et des découvertes qu'il recèle que je vous ai refusé le secret, mais à cause de toutes les autres choses que, le connaissant, on peut découvrir, car c'est la clé qui ouvre la voie à l'étude d'un nombre incalculable d'autres sujets. J'aurais déjà trouvé une règle générale pour de nombreux problèmes, si je n'étais occupé à traduire Euclide dans notre langue. J'en suis actuellement à la fin du livre XIII. Mais après cela je projette de publier le travail pour ses applications, ainsi qu'une nouvelle algèbre. Si je la donne à un savant comme votre Excellence, il pourrait facilement trouver d'autres chapitres à l'aide de cette explication et publier sous son nom le fruit de mon travail. Tous mes plans seraient détruits.
Je vous jure par les Saints Évangiles, et non seulement je vous donne ma parole d'honnête homme de ne jamais publier votre découverte, si vous me la confiez, mais je vous promets, que ma conscience de chrétien vous en soit garante, de la chiffrer de telle façon qu'après ma mort nul ne puisse lire ce que j'aurai écrit. Si, selon votre opinion je le mérite alors dites moi votre secret, sinon arrêtons-là. ►
◄ Si je ne croyais pas votre serment, je mériterais d'être considéré comme un athée.


Tartaglia finit donc par se laisser convaincre, et il dévoile sa formule à Cardan sous la forme d'un poème en latin. N'est-il pas vrai qu'il est difficile à partir de ces notes de comprendre ce qui a poussé Tartaglia à revenir sur sa décision ? Fut-il réellement si impressionné par le serment de Cardan ? Ce qui s'est passé ensuite n'est pas très clair. Tartaglia repart immédiatement pour Venise, après avoir renoncé à l'entrevue avec le marquis alors qu'il ne semblait avoir accepté l'invitation de Cardan que pour pouvoir le rencontrer. Se pourrait-il que Cardan l'ait hypnotisé ? Le compte rendu que Tartaglia nous a laissé de cet entretien est vraisemblablement inexact.
Toujours est-il que Tartaglia se sentit un peu rassuré quand il reçut le 12 mai, sortant des presses, Practica arithmeticae où ne figurait pas sa formule. Dans sa lettre d'accompagnement, Cardan écrit : « J'ai vérifié votre formule. Je considère qu'elle a une signification d'ordre général ».
Cardan obtient ainsi de Tartaglia une « recette » pour résoudre les équations de la forme : $x^3+ax=b$ sans la moindre allusion à quelques démonstrations que ce soit. Il dépense beaucoup d'efforts pour la vérifier et l'argumenter. De notre point de vue, il est difficile de comprendre où était le problème : il nous suffit de reporter dans l'équation et de vérifier ! Cependant l'absence d'une symbolique algébrique développée faisait que ce que n'importe quel lycéen d'aujourd’hui exécute d'une façon automatique n'était alors accessible qu'à quelques élus. Si l'on ne connaît pas les textes originaux de l'époque, on ne peut apprécier ce que l'appareil algébrique permet d'économiser de réflexion.
Pendant des années, Cardan travaillera d'arrache-pied à comprendre la résolution des équations du troisième degré. En voici maintenant la méthode algébrique décrite dans son ouvrage Ars magna, (car oui il finira par rompre la promesse faite à Tartaglia lorsqu'il découvrit que la méthode était connue de Del Ferro, ce qui ne manquera pas de susciter une grande polémique entre les deux hommes) mais écrite avec des notations modernes.

Considérons l'équation cubique suivante : $$x^3+ax+b=0,$$ avec $a$ et $b$ donnés.
La solution donnée par Cardan est : $$x=\sqrt[3]{ -\dfrac{b}{2}+\sqrt{ \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a^3}{27} } } + \sqrt[3]{ -\dfrac{b}{2}-\sqrt{ \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a^3}{27} } }$$

La résolution de ce type d'équation peut paraître insuffisante, il manque les «$x^2$». Elle permet cependant de résoudre toutes les équations de la forme : $$ax^3+bx^2+cx+d=0,$$ en posant le changement de variable : $X=x-\dfrac{b}{3a}$, nous avons alors

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \Longleftrightarrow X^3+pX+q=0,$$ avec $X=x+\dfrac{b}{3a}$, $p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{3a^2}$ et $q=\dfrac{2b^3}{27a^3}+\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{3a^2}$.

En effet :
$X^3+pX+q$ $=$ $0$
$\Longleftrightarrow$ $\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)^3+$ $\left( \dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{3a^2} \right)\left(x+\dfrac{b}{3a}\right) +$ $\dfrac{2b^3}{27a^3}+$ $\dfrac{d}{a}-$ $\dfrac{bc}{3a^2}$ $=$ $0$
$\Longleftrightarrow$ $x^3+\dfrac{b}{a}x^2+$ $\dfrac{b^2}{3a^2}x+\dfrac{b^3}{27a^3}+$ $\left( \dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{3a^2} \right)\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)+$ $\dfrac{2b^3}{27a^3}+$ $\dfrac{d}{a}-$ $\dfrac{bc}{3a^2}$ $=$ $0$
$\Longleftrightarrow$ $x^3 + \dfrac{b}{a}x^2+ \dfrac{c}{a}x + \dfrac{c}{a}$ $=$ $0$
$\Longleftrightarrow$ $ax^3+bx^2+cx+d$ $=$ $0$
Bien que révolutionnaire, la méthode de Cardan posa rapidement des problèmes aux mathématiciens. Cardan avait remarqué le problème, et plusieurs autres personnes ont tenté de l'expliquer; tous ont échoué. La formule fonctionne parfois à merveille, mais il arrive qu'elle soit aussi énigmatique que l'oracle de Delphes. Supposons qu'on l'applique à l'équation : $$x^3-15x- 4= 0.$$
Le résultat est : $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$.
On voit donc bien qu'il y a un petit problème... Le nombre $-121$ ne possède pas de racine carrée. Mais pour corser le mystère, nous pouvons voir qu'il y a une solution très simple pour cette équation : $x=4$.
Un coin du voile a été levé en 1572, quand Bombelli a publié l'Algebra. Son objectif principal était de clarifier le livre de Cardan, mais en atteignant cette question particulièrement épineuse, il a remarqué une chose qui avait échappé à son prédécesseur. Si, ignorant ce que signifient les symboles de racine carrée, on se borne à accomplir les calculs habituels, les règles usuelles de l'algèbre nous disent que :
$\left( 2+\sqrt{-1} \right)^3$ $=$ $2^3+$ $3\times4\sqrt{-1}+$ $3\times2\sqrt{-1}^2+$ $\sqrt{-1}^3$
$=$ $8+12\sqrt{-1}-6-\sqrt{-1} $
$=$ $2 + 11\sqrt{-1}$
$=$ $2+\sqrt{-121}.$
On peut donc écrire : $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}$.
On démontre de même que : $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}$.
A présent la formule déconcertante de Cardan $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$ peut se réécrire : $(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$.

ATTENTION : le rédacteur de ces calculs a éprouvé de grandes difficultés à écrire des racines carrées de nombres négatifs, les élèves qui ont lu attentivement les lignes précédentes ne feront jamais de même.

Revenons à nos calculs de Bombelli, et à la remarque qu'ils aboutissent au bon résultat. Un nouveau problème se posait, de quelques façon, en faisant comme si les racines carrées de nombres négatifs avaient un sens, alors que de toute évidence elles n'en avaient pas, on aboutissait à un résultat logique. Pourquoi ?
Pour répondre à cette question, il a fallu que les mathématiciens portent un nouveau regard sur les racines carrées de quantités négatives et élaborent un moyen d'effectuer des calculs avec elles. Descartes et Newton avaient interprété ces nombres "imaginaires" comme le signe qu'un problème n'avait pas de solution. Si l'on trouvait un nombre dont le carré soit $-1$, la solution formelle « racine carrée de $-1$ » était imaginaire, alors il n'y avait pas de solutions. Mais le calcul de Bombelli impliquait que les nombres imaginaires cachaient autre chose : ils pouvaient servir à trouver des solutions; ils pouvaient surgir parmi les éléments du calcul de solutions qui existaient bel et bien.
Pour Leibniz, l'importance des nombres imaginaires ne faisait aucun doute. En 1702, il écrivait : « L'Esprit Divin a inventé cet expédient élégant et admirable, ce miracle de l'Analyse, prodige du monde des idées, objet presque amphibie entre L’Être et le Non-Être, que nous appelons racine imaginaire d'une unité négative. » Mais l'éloquence du propos dissimule mal un problème fondamental : il n'avait pas la moindre idée de ce qu'étaient vraiment les nombres imaginaires.
La Renaissance italienne a donc amené les mathématiciens à résoudre les équations du troisième et quatrième degré, et par là même et les a conduit sur le chemin des nombres complexes.
Question 4
Décrire brièvement la politique des rois de France en Italie de Louis XI à François Ier.
Question 5
  1. De quels domaines traitent les ouvrages publiés par Tartaglia ? Dans quelle langue sont-ils écrits ?
  2. Quel secret Cardan veut-il obtenir de Tartaglia ?
  3. Quelle difficulté créée par les équations du troisième degré a permis de construire bien plus tard les nombres complexes ?
Des requins et des sardines en mer Adriatique L'étude de la dynamique des populations est un domaine assez récent. Bien que Fibonacci s'y attela avec sa célèbre suite modélisant l'évolution d'une population de lapins, ce n'est qu'au XIXe siècle que des modèles mathématiques commencent à être proposés et au début du XXe que des travaux d'importances vont être publiés. En effet, nous entrons à cette époque dans l'ère des statistiques, et celles-ci vont permettre, associées à des outils mathématiques tel que le calcul différentiel, d'obtenir des modèles prédictifs.
Le zoologiste Umberto d'Ancona (1896 - 1964), gendre du célèbre mathématicien italien Vito Volterra (1860 - 1940), s'occupait depuis quelques années de statistiques portant sur la pêche dans le nord de la mer Adriatique. Ces données concernaient le pourcentage de poissons prédateurs (sélaciens) péchés dans trois ports italiens : Trieste, Fiume (actuelle Rijeka en Croatie) et Venise pendant la période 1905 - 1923.
Elles prouvaient que pendant la période 1915 - 1920, où la pêche était moins intense à cause de la guerre, il y avait eu un accroissement relatif de la classe des Sélaciens. Selon l'hypothèse de D'Ancona, la pêche perturbait l'équilibre naturel entre les espèces. Elle favorisait une augmentation relative des espèces « proies », c'est-à-dire des poissons qui se nourrissent seulement de plancton, et une diminution des espèces « prédatrices », c'est-à-dire des poissons qui se nourrissent d'autres poissons. La diminution de la pêche due à la première guerre mondiale avait donc rétabli, au moins en partie, l'équilibre naturel.
D'Ancona s'adressa à son beau-père Volterra en lui demandant de trouver une démonstration mathématique de son hypothèse.
Vito Volterra

Volterra, spécialiste des systèmes dynamiques et des équations différentielles qui les décrivent, a eu vite fait de construire un modèle d'évolution de ces populations, qu'il publia en 1926. Un mathématicien américain, Alfred James Lotka, publia indépendamment en 1924 (ou 25 les dates varient selon les sources), un modèle équivalent (mais concernant des végétaux). On le désigne aujourd'hui sous le nom de "modèle de Lotka-Volterra". Il a été étendu à plusieurs domaines de la dynamique des populations et est utilisé aujourd'hui très largement en biologie, écologie et même chimie. À savoir que les auteurs américains, citent Lotka et pas Volterra.

Essayons, suivant les travaux de Volterra, maintenant de mettre en équation ce phénomène.

La problématique est d'étudier l'évolution dans le temps de deux populations, celle des proies que l'on note $X(t)$ et celle des prédateurs que l'on note $Y(t)$.
Ces deux fonctions sont des fonctions de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{N}$, le nombre d'individus d'une population étant entier.
Il n'est pas évident de travailler sur ce genre de fonctions, pour lesquelles nous ne disposons pas d'outils simples. Nous allons donc, en effectuant des approximations travailler avec des fonctions de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$.

Ce qui nous intéresse, c'est d'étudier les variations des populations pour un intervalle de temps très petit.
Pour la population de proies (resp. prédateurs), cette variation s'écrit $\dfrac{\Delta X(t)}{\Delta t}$, (resp $\dfrac{\Delta Y(t)}{\Delta t}$ ).
Lorsque $\Delta t$ tend vers $0$ (c'est-à-dire pour des intervalles de temps infinitésimaux), nous trouvons alors les dérivées de $X$ et de $Y$. Ceci n'étant réaliste que si les populations $X(t)$ et $Y(t)$ sont suffisamment grandes.
C'est une limite du modèle: pas question de l'appliquer sur un groupe de 10 lapins et 5 renards.

Supposons donc que les conditions mentionnées ci-dessus sont remplies et mettons en équation le problème à l'aide des hypothèses tirées de l'écologie du système : On obtient alors le système différentiel autonome, c'est à dire dans lequel le temps n'apparaît pas explicitement, ci-dessous: $$\left\{\begin{array}{rcl} X'(t) & = & X(t)(a - bY(t)) \\ Y'(t) & = & Y(t)(-c + dX(t)) \\ \end{array}\right.$$ avec $X_0$ et $Y_0$ les populations initiales de proies et de prédateurs.
Ceci est ce qu'on appelle le système de Lokta-Volterra.

On peut programmer un algorithme pour obtenir les courbes d'évolution des populations de proies et de prédateurs au cours du temps. Voici un exemple de courbes que l'on peut obtenir en donnant certaines valeurs aux divers coefficients ainsi qu'à $X_0$ et $Y_0$.
Évolution des populations de proies et de prédateurs au cours du temps
Question 6
Expliquer ce qu'est une équation différentielle.
Question 7
Suivant le modèle de Volterra, décrire les cycles réciproques d'évolution des proies et des prédateurs. En déduire alors pourquoi la pêche permet une augmentation du nombre de proies.
Question 8
À quel mouvement politique Vito Volterra s'est-il opposé ? Quelles en ont été les conséquences pour sa carrière ?
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