Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024
Jour 1 Exercice 15 points Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer P(R∩E)P(R \cap E).
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
Partie B Un joueur remporte 3030 défis.
On note XX la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 3030 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire XX. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
  2. Déterminer P(X<6)P(X < 6). Arrondir le résultat au millième.
  3. Déterminer la plus grande valeur de kk telle que P(X⩾k)⩾0,5P(X \geqslant k) \geqslant 0,5. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer NN objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
    Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces NN tirages soit supérieure ou égale à 0,950,95.
    Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
Exercice 24 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}).
  1. On considère les points A(1 ; 0 ; 3)A(1~;~0~;~3) et B(4 ; 1 ; 0)B(4~;~1~;~0).
    Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

    a. {x=−3+ty=−1z=−3+3t\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}3 + t \\ y &=& \phantom{-}1\\ z &=& - 3 +3t \end{array}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    b. {x=1+4ty=1+4tz=3\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+4t\\ y &=&\phantom{1 + 4}t\\ z &=& 3\end{array}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    c. {x=1+3ty=1+3tz=3−3t\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 3t\\ y &=&\phantom{1 + 3}t\\ z&=&3 - 3t \end{array}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    d. {x=4+ty=1z=3−3t\left\{\begin{array}{l c l} x&=&4 + t\\ y&=&1\\ z&=&3 - 3t \end{array}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    2. On considère la droite (d)(d) de représentation paramétrique

    {x=3+4ty=3+6tz=4−2t\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3 + 4t\\ y&=&\phantom{3 + }6t\\ z&=&4 - 2t \end{array}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

  2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite (d)(d) ?
    a. M(7 ; 6 ; 6)M(7~;~6~;~6)
    b. N(3 ; 6 ; 4)N(3~;~6~;~4)
    c. P(4 ; 6 ; −2)P(4~;~6~;~-2)
    d. R(−3 ; −9 ; 7)R(-3~;~-9~;~7)
  3. On considère la droite (d′)(d') de représentation paramétrique

    {x=−2+3ky=−1−2kz=−1+k\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + 3k\\ y&=&- 1 - 2k\\ z&=&\phantom{-}1 + k \end{array}\right. avec k∈Rk \in \mathbb{R}

    Les droites (d)(d) et (d′)(d') sont:
    a. sécantes
    b. non coplanaires
    c. parallèles
    d. confondues
  4. On considère le plan (P)(P) passant par le point I(2 ; 1 ; 0)I(2~;~1~;~0) et perpendiculaire à la droite (d)(d).
    Une équation du plan (P)(P) est :
    a. 2x+3y−z−7=02x + 3y - z - 7=0
    b. −x+y−4z+1=0- x + y - 4z + 1 = 0
    c. 4x+6y−2z+9=04x + 6y - 2z + 9 = 0
    d. 2x+y+1=02x + y + 1 = 0
Exercice 35 points Le but de cet exercice est d'étudier la fonction ff définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ par : f(x)=xln⁡(x2)−1x. f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x. Partie A : lectures graphiques On a tracé ci-dessous la courbe représentative (Cf)(\mathcal{C}_f) de la fonction ff, ainsi que la droite (T)(T), tangente à la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) au point A de coordonnées (1 ; −1)(1~;~-1).
Cette tangente passe également par le point B(0 ; −4)B(0~;~-4).
00.511.522.533.5−0.5246−2−4−6
A
Cf\mathcal{C}_f
TT
  1. Lire graphiquement f′(1)f'(1) et donner l'équation réduite de la tangente (T)(T).
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction ff semble convexe ou concave.
    Que semble représenter le point A pour la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) ?
Partie B : étude analytique
  1. Déterminer, en justifiant, la limite de ff en +∞+\infty, puis sa limite en 00.
  2. On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
    1. Déterminer f′(x)f'(x) pour xx appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
    2. Montrer que pour tout xx appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[,
      3. f′′(x)=2(x+1)(x−1)x3. f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.
    1. Étudier la convexité de la fonction ff sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
    2. Étudier les variations de la fonction f′f', puis le signe de f′(x)f'(x) pour xx appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
      En déduire le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
    1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[.
    2. Donner la valeur arrondie au centième de α\alpha et montrer que α\alpha vérifie : α2=exp(1α2). \alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).
Exercice 46 points Pour tout entier naturel nn, on considère les intégrales suivantes : In=∫0πe−nxsin⁡(x)dx,Jn=∫0πe−nxcos⁡(x)dx. I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.
  1. Calculer I0I_0.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel nn , on a In⩾0I_n \geqslant 0.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel nn , on a In+1−In⩽0I_{n+1} - I_n \leqslant 0.
    3. Déduire des deux questions précédentes que la suite (In)\left(I_n\right) converge.
    3. Montrer que, pour tout entier naturel nn , on a : In⩽∫0πe−nxdx. I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel n⩾1n \geqslant 1, on a : ∫0πe−nxdx=1−e−nπn.\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n \pi}}{n}.
    2. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite (In)\left(I_n\right).
    1. En intégrant par parties l'intégrale InI_n de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel n⩾1n \geqslant 1 :
      2. In=1+e−nπ−nJnI_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n\quad et In=1nJn\quad I_n = \dfrac 1n J_n
    2. En déduire que, pour tout entier naturel n⩾1n \geqslant 1, on a In=1+e−nπn2+1 I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n \pi}}{n^2 + 1}
  5. On souhaite obtenir le rang nn à partir duquel la suite (In)\left(I_n\right) devient inférieure à 0,1.
    Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.
    Exécuter
    



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